2022-11-01
Existen series temporales financieras que poseen determinadas características que los procesos lineales clásicos, como los procesos ARMA, no las tienen en cuenta en su modelado.
Entre los supuestos de los modelos lineales clásicos se debe garantizar una varianza constante sobre los residuos. Sin embargo, algunas series de tiempo que no cumplen este supuesto como por ejemplo: las acciones, tasas de interés y tipos de cambio.
El modelo de heteroscedasticidad condicional autorregresiva (ARCH) es un modelo estadístico utilizado para estudiar series de tiempo donde la varianza condicional del término de error depende del valor anterior del error al cuadrado.
En otras palabras, el modelo ARCH es un modelo que involucra los residuales al cuadrado del modelo de predicción ARMA.
\[\sigma^2_t = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon^2_{t-1}+ ... + \alpha_q \epsilon^2_{t-q}\]
\[\sigma^2_t = \sum_{i=1}^{q}\alpha_i \epsilon^2_{t-i}\]
donde \(\alpha_i \geq 0 , \forall i \geq 0\).
Los modelos ARCH aparecen en la década de los 80 y fue propuesto por Robert F. Engle, un economista, estadístico y profesor universitario. Gracias a su modelo, fue posible analizar la volatilidad condicional que presentan las series del mercado financiero, en las cuales aparecen períodos turbulentos, cambios bruscos y períodos de calma con apenas fluctuaciones.
Engle fue galardonado con el Premio Nobel de Economía el año 2003.
Adicional a los supuestos del modelo ARMA sobre la estacionariedad, causalidad e invertibilidad, un modelo ARCH debe cumplir los siguientes supuestos:
Existen efectos de ARCH en las series. Es decir, se garantiza que la varianza de los errores no es constante (heteroscedasticidad condicional). También es equivalente a verificar que los rezagos de los errores al cuadrado son significativos o distintos a cero.
La varianza condicional de los errores debe ser positiva. Por lo tanto omega, debe ser mayor o igual a cero \(\omega \geq 0\) y alfa debe ser mayor o igual a cero \(\alpha \geq 0\).
Activision Blizzard, Inc. es una empresa de videojuegos estadounidense. La compañía es el resultado de la fusión entre Activision y Blizzard, acuerdo que se hizo público el 2 de diciembre de 2007, por un montante total de 18.800 millones de dólares.
Entre los juegos más populares de la compañía se encuentran:
Usando la base de datos de Yahoo Finance, se importó el precio de cierre de la acción de Activision Blizzard entre el Enero de 2015 y Mayo de 2020, periodo agitado para las acciones de esta compañía.
El rendimiento de una acción es un indicador que mide la ganancia o pérdida que puede generar una acción respecto al precio de bolsa actual. En otras palabras es la relación, expresada en porcentaje, entre el dividendo pagado y la cotización en bolsa de la acción en cuestión.
Se pueden observar 4 cambios marcados en los rendimientos diarios de la acción:
Además, se observa que para el 2020 hubo movimiento del mercado de la compañía, pues durante la pandemia no hubieron complicaciones para el sector de videojuegos.
Para determinar si una serie de tiempo tiene efectos ARCH, se realiza los siguiente:
Usando la función \(auto.arima\) se determina el modelo ARMA que se ajusta a los rendimientos diarios de la acción. Como resultado, se obtiene un modelo ARMA (2,0,3) con los siguientes coeficientes:
## ar1 ar2 ma1 ma2 ma3 ## -1.1194647 -0.9004903 1.0355328 0.7388065 -0.1134818
## ## Ljung-Box test ## ## data: Residuals from ARIMA(2,0,3) with non-zero mean ## Q* = 9.7524, df = 5, p-value = 0.08256 ## ## Model df: 5. Total lags used: 10
Se observa que la varianza no es constante, pues los errores al cuadrado muestran que al pasar los días la varianza llega a ser heterocedastica.
Se puede observar que en ACF hay autocorrelación de las medias moviles, pues existe una dependencia hasta el resago 50.
Algo similar sucede para el gráfico de ACFP, lo que podría dar indicios de ausencia de modelo ARCH.Sin embargo, este método es empírico, por lo que es necesario realizar una prueba.
Usando la librería \(FinTS\), se realiza el test \(ArchTest\) para verificar los efectos de heteroscedasticidad del modelo.
\(H_0\): No hay efectos ARCH
\(H_1\): Sí hay efectos ARCH
ArchTest(Rendimiento, lags = 1, demean = TRUE)
## ## ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects ## ## data: Rendimiento ## Chi-squared = 10.425, df = 1, p-value = 0.001243
De acuerdo con el resultado, \(p<0.05\), por lo que se rechaza la hipotesis nula y se garantiza que hay efectos ARCH.
Después de garantizar la presencia de efectos ARCH en la serie de tiempo, se construye el modelo de los residuos al cuadrado utilizando la función \(garchFit\) de la librería \(fGarch\).
En primera instancia, se modelará un \(ARCH(1)\) mostrando las líneas de código requeridas.
arch.fit1 <- garchFit(~garch(1,0), data = Rendimiento, trace = F) arch.fit1@fit$coef
## mu omega alpha1 ## 0.0011790123 0.0003542752 0.2917578414
Por lo que el modelo ARCH(1) para los rendimientos diarios de la acción de Activision Blizzard es:
\[\sigma^2 = 0.00035 + 0.2917 \epsilon^2_{t-1}\]
Repitiendo el proceso para ARCH(2), se tiene que:
arch.fit2 <- garchFit(~garch(2,0), data = Rendimiento, trace = F) arch.fit2@fit$coef
## mu omega alpha1 alpha2 ## 0.001420019 0.000268051 0.213552766 0.321724416
Por lo que el modelo ARCH(2) para los rendimientos diarios de la acción de Activision Blizzard es:
\[\sigma^2 = 0.000268 + 0.2135 \epsilon^2_{t-1} + 0.3217 \epsilon^2_{t-2}\]
A continuación, se resumen los resultados de los modelos desarrollados:
| Modelo | \(\omega\) | \(\alpha_1\) | \(\alpha_2\) | \(\alpha_3\) | \(\alpha_4\) | AIC | BIC |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ARCH (1) | 0.000354 | 0.291759 | -4.881517 | -4.869818 | |||
| ARCH (2) | 0.000268 | 0.21355 | 0.321723 | -4.919310 | -4.903711 | ||
| ARCH (3) | 0.000247 | 0.198766 | 0.301332 | 0.076947 | -4.926476 | -4.906977 | |
| ARCH (4) | 0.000238 | 0.116281 | 0.269983 | 0.065689 | 0.111367 | -4.936305 | -4.912906 |
Los índices AIC (criterio de información de Akaike) y BIC (criterio de información Bayesiano) proporcionan dos criterios de uso frecuente para la selección de modelos. [3] Lo que manifiestan ambos criterios es que cuando el valor resultante de los índices sea negativo, el mejor modelo será el que posea los índices más negativos.
Por lo tanto, se dice que de acuerdo con los criterios AIC y BIC el mejor modelo es el ARCH(4).
\[\sigma^2 = 0.000238 + 0.116281 \epsilon^2_{t-1} + 0.269983 \epsilon^2_{t-2} + ... \]
\[...+ 0.065689 \epsilon^2_{t-3} + 0.111367\epsilon^2_{t-4}\]
El modelo ARCH es una herramienta que nos permite estudiar series de tiempo que no cumplen con el supuesto de varianza condicional constante en los residuos.
Este grupo de modelos es útil para el estudio de series del mercado financiero, en las cuales aparecen períodos turbulentos, cambios bruscos y períodos de calma con apenas fluctuaciones como por ejemplo: la volatilidad de las acciones.
A pesar de que el modelo considera la construcción de la varianza a partir de los errores cuadráticos, puede que esto no sea suficiente para obtener una buena simulación del escenario real. Es por esto, que el modelo ARCH tiene extensiones más generalizadas como los modelos GARCH y EARCH, los cuales incluyen otros factores que incrementan el ajuste.
[1] K. Amate Vicente, MODELOS ARCH Y GARCH: Aplicación a series financiera, Barcelona: Facultad de Matemáticas e Informática Universidad de Barcelona, 2018.
[2] Library of Statistical Techniques (LOST), «Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model (ARCH),» 2020. [En línea]. Available: https://lost-stats.github.io/Time_Series/ARCH_Model.html.
[3] A. Montesinos López , «Estudio del AIC y BIC en la Selección de Modelos de Vida con Datos Censurados,» 2011.
[4] J. Angelares González, «Analisis de Volatilidad Modelos ARCH-GARCH,» 2020. [En línea]. Available: https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/630545_9fcf73c766004bbe9b9a59d30734b755.html.
[5] V. Morales-Oñate, «Modelización de Series Univariantes: (G)ARCH,» Series de Tiempo, 2022. [En línea]. Available: https://bookdown.org/victor_morales/SeriesdeTiempo/modelizaci%C3%B3n-de-series-univariantes-garch.html#arch1.
[6] A. Madin Rivera, «Introducción a los Modelos ARCH,» 2021. [En línea]. Available: https://rpubs.com/AlbertoMadinRivera/710259.
[7] R. Perrelli, «Introduction to ARCH & GARCH models,» University of Illinois, 2001.