Origen

Esta distribución tuvo su origen en el año 1973 a partir de un trabajo realizado por Ballestero, trabajo relacionado con un método usado en la teoría general de la valoración, denominado por el mismo Ballestero y Caballer en 1982 como método de las dos distribuciones Beta.

Caracteristicas

La distribución Beta tiene es una familia de distribuciones de probabilidad definida en el intervalo [0,1]. Se usa en variables continuas no negativas.

\(B(\alpha, \beta) = \int_{0}^{1} x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx\)

f[x] = \(\begin{cases} & \text{Para 0 < x < 1, } \frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha, \beta)}\\ & \text{ Para cualquier otro caso, } 0 \end{cases}\)
F[x] = \(\begin{cases} & \text{x < 0, } 0\\ & \text{Para 0 < x < 1, } \int_{0}^{x} \frac{t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}{B(\alpha, \beta)}\\ & \text{ x ≥ 1, } 1 \end{cases}\)
E[x] = \(\frac{\alpha}{\alpha + \beta}\)
V[x] = \(\frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}\)

Ejercicio de ejemplo

Un distribuidor mayorista de gasolina tiene tanques de almacenamiento de gran capacidad con un abastecimiento fijo, los cuales se llenan cada lunes. Él, desea saber el porcentaje de gasolina vendido durante la semana.

Después de varias semanas de observación, el mayorista descubre que este porcentaje podría describirse mediante una distribución beta con α=4 y β=2

Calcule la probabilidad de que venda:

Al menos, el 90% de sus existencias en una semana.
Menos del 50% de sus existencias en una semana.
P(X <. x) = 1/5.
P(X > x) = 2/5.

Solución

Sea la variable aleatoria discreta X, ventas de gasolina durante la semana. Dicha variable aleatoria, sigue una distribución Beta: X ~ (4, 2)

a)

Para resolver este apartado, necesitamos resolver: P( X > 0.9), empleamos para tal propósito, la función de distribución con el área de cola hacia la derecha:

pbeta(0.9, 4, 2, lower.tail = F)

[1] 0.08146

Por lo tanto, la probabilidad de que venda más al menos el 90% de la existencia de gasolina en una semana es muy baja: 0.08146.

b)

Para resolver este apartado, necesitamos resolver: P( X <. 0.5), empleamos para tal propósito, la función de distribución con el área de cola hacia la izquierda:

pbeta(0.5, 4, 2, lower.tail = T)

[1] 0.1875

Por lo tanto, la probabilidad de que venda menos del 50% de la existencia de gasolina en una semana es: 0.1875.

c)

Necesitamos obtener el valor de x (Ventas de gasolina en una semana) para satisfacer: P( X <. x) = 1/5, empleamos para tal propósito, la función de cuantiles con el área de cola hacia la izquierda:

qbeta(1/5, 4, 2, lower.tail = T)

[1] 0.5098077

Por lo tanto, la cantidad de gasolina vendida que sea inferior para obtener una probabilidad de 1/5 son: 0.5098077.

Es decir, para una probabilidad de 1/5, hay que vender menos del 50.98077% de sus existencias de gasolina en una semana.

d)

Necesitamos obtener el valor de x (Ventas de gasolina en una semana) para satisfacer: P( X > x) = 2/5, empleamos para tal propósito, la función de cuantiles con el área de cola hacia la derecha:

qbeta(2/5, 4, 2, lower.tail = F)

[1] 0.7344313

Por lo tanto, la cantidad de gasolina vendida que se rebase para obtener una probabilidad de 2/5 son: 0.7344313.

Es decir, para una probabilidad de 2/5, hay que vender más de 73.44313% de sus existencias de gasolina en una semana.

Aplicación en la ingeniería

Los gerentes de proyectos utilizan por lo general un método llamado PERT (Program Evoluation and Review Technique) para coordinar las diversas actividades que conforman un gran proyecto (Una aplicacion exitosa fue la construccion de la nave espacial Apolo). Una suposicion estándar en el análisis PERT, es que el tiempo necesario para completar cualquier actividad particular, una vez que se haya iniciado, tiene una distribucion Beta con A= tiempo optimista (Si todo va bien) y B= Tiempo pesimista (Si todo sale mal).

La distribucion beta estandar se utiliza por lo comun para modelar la variación en la proporcion o porcentaje de una cantidad que se presenta en muestras diferentes, tales como la proporción de horas que duerme un individuo o la proporcion de cierto elemento de un compuesto químico.

Relaciones con otras distribuciones

Una de las principales relaciones de la distribución Beta es con la Gamma:

Además tiene relación con la distribución normal y la estándar uniforme.

Distribución Beta