La distribución beta es posible para una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo [0,1], lo que la hace muy apropiada para modelar proporciones. En la inferencia bayesiana, por ejemplo, es muy utilizada como distribución a priori cuando las observaciones tienen una distribución binomial.
Uno de los principales recursos de esta distribución es el ajuste a una gran variedad de distribuciones empíricas, pues adopta formas muy diversas dependiendo de cuáles sean los valores de los parámetros de forma \(\alpha\) y \(\beta\), mediante los que viene definida la distribución.
Su origen en un trabajo de Ballestero en 1973, relacionado con un método utilizado en la Teoría General de Valoración, denominado, por Ballestero y Caballer (1982), método de las dos distribuciones beta. Este método se ha extendido a otros tipos de distribuciones, tales como la triangular y uniforme, Romero (1977), a la distribución trapezoidal (Herrerías, García, Cruz y Herrerías (2000)), y a la distribución trapezoidal CPR Callejón, Pérez, Ramos (1996) utilizada por García, Evangelista y Gómez (1999).
Esta subfamilia puede emplearse, con ventajas evidentes, en el método PERT para ajustar la distribución básica, debido a que es triparamétrica y amplía el marco de subfamilias de distribuciones beta usadas en el método PERT, junto con las de varianza constante y mesocúrticas, introducidas por Herrerías, Pérez, Callejón y Herrerías (1999).
\(\text{Campo de variación:}\)
\[0 \le x \le 1\]
\(\text{Parámetros:}\)
\[\alpha:\text{parámetro de forma,}\hspace{.5cm} \alpha > 0\]
\[\beta:\text{parámetro de forma,}\hspace{.5cm} \beta > 0\]
Si y solo si la funcion densidad de X está representada por la expresión:
\[f(x)= \left \{ \begin{matrix} \dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, & \mbox{0< }x\mbox{ <1}\\0, & \text{en cualquier otro caso.}\end{matrix}\right.\]
donde una funcion beta es definida por
\[B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\hspace{.2cm}dx= \dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)} ,\hspace{.5cm}\text{para }\alpha,\beta > 0\]
La media y la varianza de una distribución beta en la que los parámetros y son
\[\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \hspace{.5cm}\text{y}\hspace{.5cm} \sigma^{2}=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}\]
Un distribuidor mayorista de gasolina tiene tanques de almacenamiento de gran capacidad con un abastecimiento fijo, los cuales se llenan cada lunes. Él, desea saber el porcentaje de gasolina vendido durante la semana.
Después de varias semanas de observación, el mayorista descubre que este porcentaje podría describirse mediante una distribución beta con \(\alpha = 4\) y \(\beta = 2\)
Calcule la probabilidad de que venda:
Sea la variable aleatoria discreta X, ventas de gasolina durante la semana. Dicha variable aleatoria, sigue una distribución Beta: X ~ (4, 2)
Apartado a)
Para resolver este apartado, necesitamos resolver: P( X > 0.9), empleamos para tal propósito, la función de distribución con el área de cola hacia la derecha:
pbeta(0.9, 4, 2, lower.tail = F) [1] 0.08146
Por lo tanto, la probabilidad de que venda más al menos el 90% de la existencia de gasolina en una semana es muy baja: 0.08146.
Apartado b)
Para resolver este apartado, necesitamos resolver: P( X <. 0.5), empleamos para tal propósito, la función de distribución con el área de cola hacia la izquierda:
pbeta(0.5, 4, 2, lower.tail = T) [1] 0.1875
Por lo tanto, la probabilidad de que venda menos del 50% de la existencia de gasolina en una semana es: 0.1875.
Apartado c)
Necesitamos obtener el valor de x (Ventas de gasolina en una semana) para satisfacer: P( X <. x) = 1/5, empleamos para tal propósito, la función de cuantiles con el área de cola hacia la izquierda:
qbeta(1/5, 4, 2, lower.tail = T) [1] 0.5098077
Por lo tanto, la cantidad de gasolina vendida que sea inferior para obtener una probabilidad de 1/5 son: 0.5098077.
Es decir, para una probabilidad de 1/5, hay que vender menos del 50.98077% de sus existencias de gasolina en una semana.
Apartado d)
Necesitamos obtener el valor de x (Ventas de gasolina en una semana) para satisfacer: P( X > x) = 2/5, empleamos para tal propósito, la función de cuantiles con el área de cola hacia la derecha:
qbeta(2/5, 4, 2, lower.tail = F) [1] 0.7344313
Por lo tanto, la cantidad de gasolina vendida que se rebase para obtener una probabilidad de 2/5 son: 0.7344313.
Es decir, para una probabilidad de 2/5, hay que vender más de 73.44313% de sus existencias de gasolina en una semana.
Los gerentes de proyectos utilizan por lo general un método llamado PERT (Program Evoluation and Review Technique) para coordinar las diversas actividades que conforman un gran proyecto (Una aplicacion exitosa fue la construccion de la nave espacial Apolo). Una suposicion estándar en el análisis PERT, es que el tiempo necesario para completar cualquier actividad particular, una vez que se haya iniciado, tiene una distribucion Beta con A= tiempo optimista (Si todo va bien) y B= Tiempo pesimista (Si todo sale mal).
La distribucion beta estandar se utiliza por lo comun para modelar la variación en la proporcion o porcentaje de una cantidad que se presenta en muestras diferentes, tales como la proporción de horas que duerme un individuo o la proporcion de cierto elemento de un compuesto químico.
Un caso particular de la distribución beta es la distribución uniforme en (0,1), que corresponde a una distribución beta de parámetros =1 y =1, denotada Beta(1,1).
Para la distribución uniforme sobre (0,1), la media y la varianza son
\[\mu=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\hspace{.5cm}\text{y}\hspace{.5cm}\sigma^{2}=\frac{(1)(1)}{(1+1)^{2}(1+1+1)}=\frac{1}{12},\] respectivamente.
DEVORE,Jay L.Probabilidad y estadistica para la ingenieria y ciencias. En: la distrbucíon beta. 5 edicíon. California Polytechnic State University. P. 179-181. ISBN 970-686-067-3.
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Sintaxis para la inclusión de fórmulas matemáticas en los foros [en linea].[citado el 17 de marzo del 2016]. disponible en: http://rinconmatematico.com/instructivolatex/formulas.htm.
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