Sección 1

1.- Considera un vector aleatorio \(\mathbf{X}\) con distribución \(N_5(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})\) donde \[ \mu^{\prime}=(100,95,230,400,86) \text { y } \boldsymbol{\Sigma}=\left[\begin{array}{ccccc} 10 & -2 & 1 & 0 & 3 \\ -2 & 9 & -3 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & 15 & 7 & -2 \\ 0 & 4 & 7 & 20 & 2 \\ 3 & 5 & -2 & 2 & 5 \end{array}\right] \text {. } \] a) Obtener \(P\left(90<X_2<100\right)\). b)Obtener \(P\left(3 X_1+4 X_3-5 X_5>800\right)\) c)Sea el vector aleatorio \(\mathbf{Y}=\left[\begin{array}{c}X_1+3 X_2-4 X_3+6 X_4+X_5 \\ 2 X_1+9 X_2-10 X_3+X_4-X_5 \\ X_2+X_4-X_5\end{array}\right]\), obtener la distribución de \(\mathbf{Y}\). d)Obtener la distancia estadistica de \(\mathbf{X}_1^{\prime}(110,97,230,396,85)\) a \(\mathbf{X}_2^{\prime}(96,93,237,408,90)\). e)Indicar que componentes de \(\mathbf{X}\) son independientes.

Ejercicio A

miu <- matrix(c(100,95,230,400,86),ncol = 1,byrow = TRUE)
sigma <- matrix(c(10,-2,1,0,3,-2,9,-3,4,5,1,-3,15,7,-2,0,4,7,20,2,3,5,-2,2,5),ncol = 5,byrow = TRUE)

miuA <- miu[2,1] #obteniendo media de x2
sigmaA <- sqrt(sigma[2,2]) # #obteniendo desviaci?n std de x2// Se sac? raiz dado que la matriz es de varianzas
A <- pnorm(100,miuA,sigmaA)-pnorm(90,miuA,sigmaA)
A
## [1] 0.9044193

Ejercicio B

miuB <- 3*100+0*95+4*230+0*400-5*86 #media de la combinaci?n lineal
cmatrix <- matrix(c(3,0,4,0,-5),ncol = 5,byrow = TRUE) #matrix de coeficientes de combinaci?n lineal
tcmatrix <- t(cmatrix) #transpuesta matriz coeficientes
sigmaB <- sqrt(cmatrix %*% sigma %*% tcmatrix) # desviaci?n std de la combinaci?n lineal
B <- pnorm(800,miuB,sigmaB)
B
## [1] 0.6778722

Ejercicio C

# Slide 18 - vectores y matrices aleatorias y la distribucion normal multivariada (primera parte)
cmatrixC <- matrix(c(1,3,-4,6,1,2,9,-10,1,-1,0,1,0,1,-5),ncol = 5,byrow = TRUE)
# Y = aX
# miuY = amiux
miuC <- cmatrixC %*% miu
# sigmay = c*sigma*CT
sigmaC <- cmatrixC %*% sigma %*% t(cmatrixC)
miuC
##      [,1]
## [1,] 1951
## [2,] -931
## [3,]   65
sigmaC
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  992  943  -43
## [2,]  943 2508 -250
## [3,]  -43 -250   92

Ejercicio D

x1 <-  matrix(c(110,97,230,396,85),ncol = 5,byrow = TRUE)
x2 <-  matrix(c(96,93,237,408,90),ncol = 5,byrow = TRUE)
invsigma <- solve(sigma)
d <- sqrt((x1-x2) %*% invsigma %*% t(x1-x2))
d
##          [,1]
## [1,] 22.40339

Ejercicio E

Covarianza 0 en una multivariada indica independencia. La variable 1 y 4 son independientes entre ellas

Sección 2

Ejecicio A

# El vector de medias muestral es el mimso que el vector de medias poblacional dado que esta es una estimacion insesgada
n <- 40
Sn <- ((n-1)/n) * sigma
S <- (n/(n-1)) * Sn #Esto me devuelve el valor de sigma original obviamente 

miu2A <- miu[3,1] #obteniendo media de x2
sigma2A <- sqrt(S[3,3])
A2 <- pnorm(229,miu2A,sigma2A)
A2
## [1] 0.3981267

Ejercicio B

miu2B <- 4*100+0*95+3*230-1*400+0*86 #media de la combinaci?n lineal
cmatrix2B <- matrix(c(4,0,3,-1,0),ncol = 5,byrow = TRUE) #matrix de coeficientes de combinaci?n lineal
tcmatrix2B<- t(cmatrix2B) #transpuesta matriz coeficientes
S2B <- sqrt(cmatrix2B %*% S %*% tcmatrix2B) # desviaci?n std de la combinaci?n lineal
B2 <- pnorm(687,miu2B,S2B)
B2
## [1] 0.4309022

Ejercicio C

C2 <-  matrix(c(99.5,96,231,400,86.2),ncol = 5,byrow = TRUE)
miu2 <- t(miu)
invS <- solve(S)
d2 <- sqrt((C2-miu2) %*% invS %*% t(C2-miu2))
d2
##           [,1]
## [1,] 0.6874447

Ejercicio D

# Slide 18 - vectores y matrices aleatorias y la distribucion normal multivariada (primera parte)
cmatrixD2 <- matrix(c(1,0,2,-4,0,0,1,0,0,1),ncol = 5,byrow = TRUE)
# Y = aX
# miuY = amiux
miu2D <- cmatrixD2 %*% miu
# sigmay = c*sigma*CT
sigma2D <- cmatrixD2 %*% S %*% t(cmatrixD2)
miu2D
##       [,1]
## [1,] -1040
## [2,]   181
sigma2D
##      [,1] [,2]
## [1,]  282  -33
## [2,]  -33   24

Sección 3

Ejercicio A

#install.packages("MVN")
#library(MVN)
#mvn(A3,mvnTest = "mardia",univariateTest = "SW",univariatePlot="histogram",multivariatePlot = "qq")


# $multivariateNormality
#              Test          Statistic           p value Result
# 1 Mardia Skewness   15.8891714021933 0.723475642004926    YES
# 2 Mardia Kurtosis 0.0286205780877024  0.97716719986555    YES
# 3             MVN               <NA>              <NA>    YES
# 
# $univariateNormality
#           Test  Variable Statistic   p value Normality
# 1 Shapiro-Wilk    X1        0.9626    0.1138    YES   
# 2 Shapiro-Wilk    X2        0.9771    0.4372    YES   
# 3 Shapiro-Wilk    X3        0.9657    0.1540    YES   
# 4 Shapiro-Wilk    X4        0.9756    0.3846    YES   
# 
# $Descriptives
#     n     Mean  Std.Dev  Median    Min    Max     25th     75th      Skew    Kurtosis
# X1 50  79.8770 3.229307  79.825  74.22  86.95  76.9200  82.8650 0.1543652 -1.00576687
# X2 50  40.2440 2.042492  39.955  35.80  45.17  39.0050  41.7700 0.2663509 -0.39414257
# X3 50 100.5982 2.477647 100.045  94.87 107.22  99.0475 101.6225 0.5391567  0.19347555
# X4 50 120.5870 3.623060 119.985 112.78 130.32 118.3100 123.3650 0.1389550 -0.03762874
# ```


#Se confirma una distribución normal multivariada