Analisis Survival
Tugas 2
| *Kontak | : \(\downarrow\)* |
| naufal3433@gmail.com | |
| https://www.instagram.com/m_naufalardiansyah/ | |
| RPubs | https://rpubs.com/muhamad_naufal/ |
2.6. Distribusi Campuran
Pada bagian ini, akan mempelajari cara :
- Menentukan distribusi campuran ketika komponen pencampuran didasarkan pada jumlah sub-grup yang terbatas.
- Menghitung probabilitas distribusi campuran dari proporsi pencampuran dan pengetahuan tentang distribusi masing-masing sub-grup.
- Menentukan distribusi campuran ketika komponen pencampuran kontinu.
Dalam banyak aplikasi, populasi dasar terdiri dari sub-grup yang ditentukan secara alami dengan beberapa homogenitas dalam setiap sub-grup. Dalam kasus seperti itu, lebih mudah untuk memodelkan masing-masing sub-grup, dan dengan cara dasar memodelkan seluruh populasi. Seperti yang akan dijelaskan di bawah, di luar daya tarik estetika dari pendekatan,ini juga memperluas jangkauan aplikasi yang dapat dipenuhi oleh distribusi parametrik standar.
Apabila \(k\) menunjukkan jumlah sub-grup yang ditentukan dalam suatu populasi, dan \(F_i\) menunjukkan distribusi pengamatan yang diambil dari sub-grup \(i\). Jika kita biarkan \(α_i\) menunjukkan proporsi populasi di subgrup \(i\), dengan \(\sum_{i=1}^{k} α_i = 1\), maka distribusi pengamata yang dipilih secara acak dari populasi dilambangkan dengan \(F\). Maka didapatkan
\(F(x) = \sum_{i=1}^{k} α_i . F_i(x)\)
Pada rumus di atas dapat dilihat sebagai penerapan langsung dari Hukum Probabilitas Total. Sebagai contoh, terdapat populasi pengemudi yang terbagi menjadi dua sub-grup. Mereka dibedakan dengan pengalaman mengemudi paling lama lima tahun dan yang memiliki pengalaman lebih dari lima tahun. Apabila \(a\) menunjukkan proporsipengemudi dengan pengalaman kurang dari 5 tahun, dan \(F≤5\) dan \(F>5\) menunjukkan distribusi jumlah klaim dalam satu tahun untuk pengemudi dimasing-masing kelompok. Kemudian distribusi jumlah klaim pengemudi yang dipilih secara acak sehingga didapatkan
\(α⋅F_{≤5}(x)+(1−α)_{F>5}(x)\).
Definisi alternatif dari distribusi campuran adalah sebagai berikut. Biarkan \(N_i\) menjadi variabel acak dengan distribusi distribusi \(F_i , i=1,…,k\) . Biarkan \(I\) menjadi variabel acak mengambil nilai \(1,2,…,k\) dengan probabilitas \(α_1,…,α_k\) , masing-masing. Kemudian variabel acak \(N_I\) memiliki distribusi yang diberikan oleh persamaan (2.6).
Pada (2.6) kita melihat bahwa fungsi distribusi merupakan kombinasi konveks dari fungsi distribusi komponen. Hasil ini dengan mudah meluas ke fungsi massa probabilitas, fungsi survival, the raw moments, dan ekspektasi karena ini semua adalah pemetaan linier dari fungsi distribusi. Hal ini mencatat bahwa ini tidak berlaku untuk momen sentral seperti varians, dan tindakan bersyarat seperti fungsi hazard rate. Dalam kasus varians, dapat dilihat sebagai
\(Var[N_I]=E[Var[N_I|I]]+Var[E[N_I|I]]=\sum_{i=1}^{k}α_iVar[N_i]+Var[E[N_I|I]].\)
Contoh Soal Ujian Aktuaria
Di kota tertentu jumlah flu biasa yang akan diderita seseorang dalam setahun mengikuti distribusi Poisson yang bergantung pada usia dan status merokok individu tersebut. Distribusi penduduk dan jumlah rata-rata pilek adalah sebagai berikut:
Jawaban 1
Dengan menggunakan Law of Total Probability, kita dapat menuliskan probabilitas yang diperlukan sebagai \(Pr(N_I=3)\) , dengan \(I\) menunjukkan kelompok individu yang dipilih secara acak dengan 1,2 dan 3 menandakan kelompok Anak-anak, Dewasa Bukan Perokok, dan Perokok Dewasa, masing-masing. Sekarang dengan pengkondisian kita dapatkan
\(Pr(N_I=3)=0.3⋅Pr(N_1=3)+0.6⋅Pr(_N2=3)+0.1⋅Pr(N_3=3)\)
dengan \(N_1\),\(N_2\) dan \(N_3\) mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 3,1 , dan 4 . Menggunakan di atas, kita mendapatkan \(Pr(N_I=3)∼0.1235\).
Jawaban 2
Probabilitas bersyarat dari peristiwa A diberikan peristiwa B, \(Pr(A|B) = \frac{(Pr(A,B))}{(Pr(B)})\). Probabilitas bersyarat yang diperlukan dalam soal ini kemudian dapat ditulis sebagai \(Pr(I=3|N_I=3)\) , yang sama dengan
\(Pr(I=3|N_I=3)= \frac{Pr(I=3,N_3=3)}{Pr(N_I=3)}∼\frac{0.1×0.1954}{0.1235}∼0.1581\)
Dalam contoh di atas, jumlah sub-grup \(k\) sama dengan tiga. Secara umum, \(k\) dapat berupa bilangan asli apa pun, tetapi ketika \(k\) besar, ini adalah sedikit dari sudut pandang pemodelan untuk mengambil pendekatan subgrup tak terhingga. Untuk memotivasi pendekatan ini, misalkan subgrup \(i\) sedemikian rupa sehingga distribusi komponennya \(F_i\) diberikan oleh \(G_\bar{θ_{{i}}}\) , di mana G adalah bagian dari distribusi parametrik dengan ruang parameter \(Θ⊆R^d\) . Dengan asumsi ini, fungsi distribusi \(F\) dari pengamatan yang diambil secara acak dari populasi maka didaptkan
\(F(x)=\sum_{i=1}^k = α_iG_\bar{θ_{{i}}}(x),∀x∈R\)
mirip dengan persamaan (2.6). Bergantian, dapat ditulis sebagai
\(F(x)=E[G_\bar{θ_{{i}}}(x)],∀x∈R\)
di mana \(\barϑ\) mengambil nilai \(\barθ_i\) dengan probabilitas \(α_i\) , untuk \(i=1,…,k\) . Hal di atas memperjelas bahwa ketika \(k\) besar, seseorang dapat memodelkan di atas dengan memperlakukan \(\barϑ\) sebagai variabel acak kontinu.
Untuk mengilustrasikan pendekatan ini, misalkan kita memiliki populasi pengemudi dengan distribusi klaim untuk pengemudi individu yang didistribusikan sebagai Poisson. Setiap orang memiliki jumlah klaim yang diharapkan (pribadi) mereka sendiri \(λ\) - nilai yang lebih kecil untuk pengemudi yang baik, dan nilai yang lebih besar untuk orang lain. Ada distribusi \(λ\) dalam populasi; pilihan populer dan nyaman untuk memodelkan distribusi ini adalah distribusi gamma dengan parameter \((α,θ)\). Dengan spesifikasi tersebut ternyata distribusi yang dihasilkan \(N\) , klaim driver yang dipilih secara acak, adalah binomial negatif dengan parameter \((r=α,β=θ)\) . Ini dapat ditunjukkan dalam banyak cara, tetapi argumen langsungnya adalah sebagai berikut:
Perhatikan bahwa derivasi di atas secara implisit menggunakan yang berikut ini:
\(f_{N|Λ=λ}(N=k)=\frac{e^{−λ}λ^k}{k!},k≥0;andfΛ(λ)=\frac{λ^{α−1}e^{−λ/θ}}{Γ(α)θ^α},λ>0\)
Dengan mempertimbangkan campuran dari kelas distribusi parametrik, kita meningkatkan kekayaan kelas tersebut. Perluasan distribusi ini menghasilkan kelas campuran yang mampu melayani lebih banyak aplikasi daripada kelas parametrik yang kita gunakan sebelumnya. Pemodelan campuran adalah teknik pemodelan yang penting dalam aplikasi asuransi dan bab-bab berikutnya akan membahas lebih banyak aspek dari teknik pemodelan ini.