Teori Resiko
~ Tugas Teori Resiko ~
| Kontak | : \(\downarrow\) |
| dsciencelabs@outlook.com | |
| https://www.instagram.com/dsciencelabs/ | |
| RPubs | https://rpubs.com/dsciencelabs/ |
Frequency Modeling
Frequency Distributions
Pada dasarnya frekuensi distribusi yang kita ketahui adalah menjelaskan tentang jumlah pengamatan untuk setiap nilai dari sebuah variabel yang digambarkan menggunakan grafik dan tabel frekuensi atau dengan kata lain, tampilan visual yang menyajikan jumlah frekuensi di setiap rentang atau persentase penhgamatan sehingga informasi dapat diartikan lebih mudah.
Bagaimana Frekuensi menambah infromasi pada tingkat keparahan suatu kejadian
Basic Terminology
Loss menunjukkan jumlah kerugian finansial yang diderita oleh tertanggung dimana klaim digunakan untik menunjukkan ganti rugi atas terjadinya peristiwwa yang diasuransikan sehingga jumlah yahg dibayarkan oleh perusahaan asuransi. Frekuensi mewakili seberapa sering peristiwa yang diasuransikan terjadi, biasanya dalam kontrak polis(menghitung variabel acak yang mewakili jumlah klaim, yaitu seberapa sering suatu peristiwa terjadi). Serevity menunjukkan jumlah, atau ukuran, dari setiap pembayaran untuk kejadian yang diasuransikan.
Pentingnya Frekuensi
Frekuensi disini dijelaskan bahwa setiap biaya yang diharapkan untuk asuransi dapat ditentukan sebagai jumlah klaim yuang diharapkan dikalikan jumlah per klaim, artinya adalah frekuensi x tingkat keparahan. dalam asuransi, penetapan harga dimulai dengan biaya yang diharapkan kemudian memperhitungkan keberesikoan produk, biaya yang dikeluarkan untuk melayani produk dan tunjangan surplus untuk perusahaan asuransi. Jadi frekuensi difokuskan pada perhitungan klaim yang memungkinkan penanggung untuk mempertimbangkan faktor-faktor yang secara langsung mempengaruhi terjadinya kerugian, sehingga berpotensi menimbulkan klaim.
Mengapa perlu memeriksa informasi frekuensi?
- Kontraktual
Dalam kontrak asuransi, deductible tertentu dan batasan polis biasanya dicantumkan dan digunakan untuk setiap kejadian yang diasuransikan.Data jumlah klaim yang dihasilkan akan menunjukkan jumlah klaim yang memenuhi kriteria tersebut, menunjukkan ukuran frekuensi klaim. Jadi model total kerugian yang diasuransikan perlu memperhitungkan deductible dan batasan polis untuk setiap kejadian yang diasuransikan. - Perilaku
Dalam mempertimbangkan faktor-faktor yang memengaruhi frekuensi kerugian, perilaku pengambilan risiko dan pengurangan risiko individu dan perusahaan harus dipertimbangkan.
Misalnya dalam perawatan kesehatan, keputusan untuk menggunakan perawatan kesehatan oleh individu, dan meminimalkan penggunaan perawatan kesehatan tersebut melalui perawatan preventif dan tindakan kesehatan, terutama terkait dengan karakteristik pribadinya. Jadi perhatian dapat difokuskan dari frekuensi kunjungan perawatan kesehatan dan keparahan biaya perawatan kesehatan. - Database
Penanggung dapat menyimpan file data terpisah yang menyarankan pengembangan model frekuensi dan keparahan terpisah. Misalnya, file pemegang polis dibuat saat kebijakan ditulis (berisi informasi penjamin tentang tertanggung). Proses pencatatan ini kemudian dapat diperluas ke perusahaan asuransi yang memodelkan frekuensi dan keparahan sebagai proses terpisah. - Regulasi dan Administratif
regulator secara rutin mewajibkan pelaporan nomor dan jumlah klaim. Pemantauan seperti melihat potensi kesalahan saat melaporkan nomor klaim berkurang membantu memastikan stabilitas keuangan perusahaan asuransi ini.
Distribusi Frekuensi Dasar
Variabel acak jumlah klaim dilambangkan dengan \(N\), digunakan untuk mengasumsikan nilai bilangan bulat non-negatif \({0,1,...}\)
Formula
\(N\) adalah variabel acak diskrit yang memiliki nilai {0,1,…}. Deskripsi yang paling dasar dari distribusinya adalah spesifikasi probabilitas yang diasumsikan dengan masing-masing nilai bilangan bulat non-negatif, ini adalah konsep probability mass function (pmf) yaitu fungsi yang memberikan probabilitas bahwa variabel acak diskrit sama persis dengan suatu nilai yang dialmbangkan sebagai \(P_N(.)\) \[ P_N(k)=Pr(N=k), k=0,1,... \]
Dari formula diatas adalah deskripsi lengkap alternatif dari distribusi \(N\), misal fungsi distribusi (peluang bahwa variabel acak kurang dari atau sama dengan x) dari \(N\) didefinisikan oleh \(F_N(x)=Pr(N ≤ x)\) yang dideterminasikan sebagai:
function
[.] menunjukkan fungsi dasar, [x] menunjukkan bilangan bulat terbesar
kurang dari satu sama dengan \(X\). ini
menunjkkan fungsi distribusi kumulatif deskriptor yaitu alternatif yang
digunakan untuk menyatakann fungsi distribusi. Survival function dari
\(N\) dilambangkan sebagai \(S_N(.)\) yaitu pelengkap satuan dari \(F_N(.)\) yaitu \(S_N(.)=1-F_N(.)\).
ada banyak ukuran yang berbeda yang biasanya digunakan untuk
mengukurnya, dari jumlah tersebut average maksud dari \(N\) dilambangkan dengan \(\mu N\) didefinisikan: 
\(\mu N\) adalah nilai yang diharapkan dari variabel acak \(N\) yaitu \(\mu N=E[N]\) yang mengarah pada momen distribusi (nilai rata-rata dari variabel acak yang dipangkatkan ke-r). \(r\)-th adalah \(N\) dimana \(r>0\) didefinisikan sebagai \(E[N^R]\) dan dilambangkan dengan \(\mu'_N(r)\). ” ’ ” tidak menunjukkan diferensiasi.
Fungsi Pembangkit Momen dan Probabilitas
- Teorema 1
\(N\) menjadi alat hitung variabel acak sehingga \(E[e^{t*N}]\) terbatas untuk bbeerapa \(T*>0\):
semua momen \(N\) terbatas: \[ E[N^r]< \infty, r>0 \]
mgf dapat digunakan untuk:
mgf \(M_N(.)\) mencirikan distribusi
mgf sangat berguna untuk dua variabel acak independen x dan y karena keduanya ada disekitar 0.
- Teorema 2
\(N\) adalah alat hitung variabel acak sehingga \(E(s*)^N\) sehingga \(s*>1\) memiliki:
semua momen \(N\), yaitu: \[ E N^r<\infty, r>0 \]
\(pmf\) dari \(N\) bisa diturunkan dari \(pgf\) sebagai betikut:
momen faktorial dari \(N\) dapat diturunkan sebagai berikut:
\(pgf P_N(.)\) mencirikan distribusi.
Binomial Distribusi
Misal, eksperimen pelemparan koin (bias atau tidak bias) dengan hasil
berupa kepala atau ekor. Jadi jika \(N\) menunjukkan jumlah kepala dalam urutan
\(M\) eksperimen pelemparan koin
independen dengan koin identik yang menghasilkan probabilitas \(Q\) maka distribusi dari \(N\) disebut distribusi binomial dengan
parameter \((m,q)\) dengan \(M\) bilangan bulat positif dan \(Q\in [0,1]\). ketika \(Q=0\) maka distribusinya merosot dengan
\(N=0\) dengan probabilitas = 1. dengan
pmf diberikan: 
dimana
function
Alasan pmf adalah karena mengambil nilai di antara istilah
-istilah yang muncul dari perluasan binomial \((q+(1-q))^m\). Realisasi ini kemudian
mengarah pada ekspresi berikut untuk PGF dari distribusi binomial: 
Perhatikan bahwa ekspresi di atas untuk
PGF mengkonfirmasi fakta bahwa distribusi binomial adalah konvolusi M
dari distribusi Bernoulli, yang merupakan distribusi binomial dengan
\(m=1\) dan pgf \((1+q(z-1))\)
ekspetasi dari binomial
distribusi: 
Varians dari jumlah
variabel acak independen adalah jumlah variannya: 
Poisson Distribution
Distribusi Poisson diparametrikan dengan parameter tunggal yang
biasanya dilamnbangkan dengan \(\lambda\) yang memasukkan nilai \((0, \infty)\) dimana pmf: 
formula diatas untuk setiap sukunya jelas tidak negatif dan jumlahnya
menjadi satu emngikuti perluasan deret taylor tak terbatas dari \(e^\lambda\). pgf dapat diturunkan dengan
\(P_N(.)\) sebagai berikut: 
dari formula diatas didapatkan mgf nya:
jadi penurunan rata-rata untuk distribusi poisson nya adalah: 
bentuk ekspetasi dari poisson: 
dengan menggunakan teorema 1 kita dapat
melihat bahwa: 
jadi, varians nya
sebagai berikut: 
distribusi binomial negatif
distribusi binomial muncul sebagai jumlah keberhasilan dalam \(M\) pengulangan independen dari percobaan
dengan hasil biner, Jika ingin mempertimbangkan jumlah keberhasilan
sampai kita mengamati \(R\) adalah
kegagalan dalam pengulangan independen dari percobaan dengan hasil
biner, maka distribusinya adalah distribusi binomial negatif. Bentuk
binomial adalah, bentuk koefisien binomial umum yaitu: 
jadi, 
jika \(s=-r\) maka: 
jika kita ingin mendefinisikan \(P_k\) sebagai 
untuk \(r>0\) dan \(\beta >-0\) lalu mendefinisikan pmf yang valid. distribusi yang ditentukan seperti diatas disebut distribusi binomial negatif dengan parameter \((r,\beta)\) dengan \(r>0\) dan \(\beta >-0\)