2.3 The \((a,b,0)\) Class

Bagian ini, kita akan belajar bagaimana;

• Menetukan \((a,b,0)\) tingkat distribusi frequency.

• Diskusi pentingnya yaitu hubungan rekursif yang mendasari tingkat distribusi ini.

• Mengidentifikasi kondisi umum tingkat distribusi ini direduksi menjadi masing-masing distribusi binomial, Poisson, dan binomial negatif.

Pada bagian sebelumnya kita mempelajari tiga distribusi, yaitu distribusi binomial, Poisson, dan binomial negatif. Dalam kasus Poisson, untuk mendapatkan rata-ratanya, kami menggunakan fakta bahwa

\[kp_k = \lambda p_{k-1},k\geq 1,\]

yang dapat dinyatakan setara sebagai

\[\frac{p_k} {p_{k-1}} = \frac{\lambda} {k}, k \geq 1 ,\]

Menariknya, kita juga dapat menunjukkan bahwa untuk distribusi binomial

\[\frac{p_k} {p_{k-1}} = \frac{-q}{1-q} + (\frac {(m+1)q}{1-q}) \frac{1}{k},k=1,..,m,\]

dan itu untuk distribusi binomial negatif

\[\frac{p_k} {p_{k-1}} = \frac{\beta}{1+\beta} + (\frac {(r+1)\beta}{1+\beta}) \frac{1}{k}, k\geq 1.\]

Hubungan di atas semuanya berbentuk

\[\frac{p_k} {p_{k-1}} = a + \frac{b}{k}, k\geq1;\]

Ini menimbulkan pertanyaan apakah ada distribusi lain yang memenuhi hubungan pengulangan yang tampaknya umum ini. Perhatikan bahwa rasio di sebelah kiri, rasio dua probabilitas, adalah non-negatif.

ketiga distribusi ini secara kolektif disebut dalam literatur aktuaria sebagai \((a,b,0)\) kelas distribusi, dengan \(0\) mengacu pada titik awal pengulangan. Perhatikan bahwa nilai \(p_0\) tersirat oleh \((a,b)\) karena probabilitas harus dijumlahkan menjadi satu.

kita akan melihat bahwa ia melakukannya bahkan dalam kasus distribusi majemuk dengan distribusi frekuensi milik \((a,b,0)\) kelas - fakta ini adalah alasan motivasi yang lebih penting untuk mempelajari ketiga distribusi ini dari sudut pandang ini.

Contoh Distribusi probabilitas diskrit memiliki properti berikut

\[p_k=c(1+\frac {2}{k})p_{k-1} \space k=1,2,3...\] \[p_1= \frac {9}{256}\] Tentukan nilai yang diharapkan dari variabel acak diskrit ini.

Solution Karena pmf memenuhi \((a,b,0)\) hubungan pengulangan kita tahu bahwa distribusi yang mendasarinya adalah satu di antara distribusi binomial, Poisson, dan binomial negatif. Karena rasio parameter \((mis. \space b/a)\) sama dengan \(2\), kita tahu bahwa itu adalah binomial negatif dan \(r=3\). Selain itu, karena untuk binomial negatif \(p_1 =r(1+\beta)^{-(r+1)}\beta\), maka

\[\begin{align*} \frac {9}{256} & = 3 \frac{\beta}{(1+\beta)^4}\\ \frac {3}{(1+3)^4}& = \frac{\beta}{(1+\beta)^4}\\ \beta&=3. \end{align*}\]

Akhirnya, karena rata-rata binomial negatif adalah \(rβ\) kita memiliki rata-rata distribusi yang diberikan sama dengan 9.