TEORI RISIKO

WEEK 2

Email             : brigita.melantika@student.matanauniversity.ac.id
RPubs            : https://rpubs.com/brigitatiaraem/
Jurusan          : Statistika
Address         : ARA Center, Matana University Tower
                         Jl. CBD Barat Kav, RT.1, Curug Sangereng, Kelapa Dua, Tangerang, Banten 15810.

---

1 (2.5) Other Frequency Distributions

Sub topik:

1. Mendefinisikan kelas distribusi frekuensi (a,b,1) dan mendiskusikan pentingnya hubungan rekursif yang mendasari kelas distribusi ini

2. Menginterpretasikan versi terpotong nol dan versi modifikasi dari distribusi binomial, Poisson, dan binomial negatif

3. Menghitung probabilitas menggunakan hubungan rekursif

1.1 (2.5.1) Zero Truncation or Modification

Contoh:

Polis asuransi mobil yang muncul dalam database klaim mobil yang dibuat dalam periode tertentu. Jika ingin mempelajari jumlah klaim yang telah dibuat oleh polis-polis tersebut selama periode ini, maka jelas distribusi harus menetapkan probabilitas nol pada variabel hitungan dengan mengasumsikan nilainya nol. Dengan kata lain, membatasi perhatian pada data hitungan dari polis dalam database klaim, yang telah memotong nol data hitungan semua polis. Pada lini personal (seperti mobil), pemegang polis mungkin tidak ingin melaporkan klaim pertama karena khawatir hal itu akan meningkatkan tarif asuransi di masa depan - perilaku ini meningkatkan proporsi jumlah nol. Contoh seperti yang terakhir memodifikasi proporsi jumlah nol.

Berikut merupakan bentuk modifikasi probabilitas yang diberikan pada jumlah nol dengan kelas (a,b,0) dengan tetap mempertahankan probabilitas relatif yang diberikan pada jumlah yang tidak nol - modifikasi nol. Perhatikan bahwa karena (a,b,0) memenuhi, mempertahankan probabilitas relatif dari jumlah yang tidak nol mengimplikasikan bahwa terpenuhi untuk \(k≥2\). Hal ini mengarah pada definisi dari kelas distribusi berikut ini.

Definisi:

Sebuah distribusi hitungan adalah anggota dari kelas (a,b,1) jika untuk beberapa konstanta a dan b probabilitas \(p_k\) memenuhi

Nilai k diatas berawal pada \(p_1\) dan bukan \(p_0\) dengan distribusi-distribusi ini dengan (a,b,1).Setiap pasangan nilai yang valid untuk a dan b dari kelas (a,b,0) berhubungan dengan sebuah vektor unik dari probabilitas \({p_k}_{(k≥0)}\). Jika vektor probabilitas \((\bar{p}_k)_{k≥0}\) yang diberikan oleh

dimana \((\bar{p}_0)∈(0,1)\) dipilih secara sembarang, maka karena probabilitas relatif untuk nilai positif menurut \({p_k}_{k≥0}\) dan \((\bar{p}_k)_{k≥0}\) adalah sama, sehingga memiliki \((\bar{p}_k)_{k≥0}\) memenuhi. Hal ini, secara khusus, menunjukkan bahwa kelas (a,b,1) sangat lebih luas daripada kelas (a,b,0).

Dengan mulai pada sepasang nilai untuk a dan b yang menghasilkan distribusi (a,b,0) yang valid, dan kemudian melihat distribusi (a,b,1) yang sesuai dengan distribusi (a,b,0) ini. Sekarang berargumen bahwa kelas (a,b,1) memungkinkan untuk sebuah himpunan yang lebih besar dari distribusi-distribusi yang diizinkan untuk a dan b daripada kelas (a,b,0).

Kesimpulan yang sama dapat dengan mudah ditarik untuk pasangan-pasangan dengan \(a=0\). Dalam kasus dimana \(a>0\), alih-alih batasan \(a+b>0\) untuk kelas (a,b,0) sehingga memiliki batasan yang lebih lemah dari \(a+b/2>0\) untuk kelas (a,b,1) . Dengan parameterisasi \(b = (r-1)a\) seperti yang digunakan pada Bagian 2.3, sebagai ganti dari \(r>0\) sehingga memiliki batasan yang lebih lemah dari \(r>-1\). Secara khusus, melihat bahwa ketika nol memodifikasi distribusi (a,b,0) menghasilkan distribusi dalam kelas (a,b,1) kesimpulannya tidak berlaku untuk arah yang lain.

Modifikasi nol dari distribusi hitungan \(F\) sedemikian sehingga memberikan probabilitas nol pada hitungan nol disebut pemotongan nol dari \(F\) . Oleh karena itu, versi terpotong nol dari probabilitas \({pk}_{k≥0}\) diberikan oleh

Secara khusus, sehingga memiliki modifikasi nol dari distribusi count \(({p^T_k})_{k≥0}\) , dinotasikan dengan \(({p^M_k})_{k≥0}\) dapat dituliskan sebagai kombinasi cembung dari distribusi yang merosot di 0 dan pemotongan nol dari \(({p_k})_{k≥0}\) yang dinotasikan dengan \(({p^T_k})_{k≥0}\) sehingga memiliki