Teoria del consumidor: Optimización de una Función de Utilidad Cobb-Douglas

Author

Tidyverso

Published

February 2, 2023

Introducción

La optimización es una de las herramientas matemáticas más utilizadas en la disciplina económica, la racionalidad del agente es uno de los axiomas más importantes en la microeconomía neoclásica, esta racionalidad se traduce matemáticamente en tres supuestos sobre las preferencias del agente al momento de comparar cestas de consumo, los supuestos matemáticos son:

Completitud
Reflexividad
Transitividad

Si bien resulta importante entender y estudiar las implicancias de estos supuestos, desde el punto de vista práctico y en la mayoría de cursos introductorios a la microeconomía, los estudiantes van a enfrentarse a un problema de optimización con restricción, este consiste en hallar los máximos o mínimos de una función que cumple con los supuestos matemáticos enunciados respetando otra ecuación (generalmente lineal) que representa la restricción del agente.

En este documento se desarrollara la optimización de la función de utilidad de un consumidor que responde a la forma Cobb-Douglas, que debe respetar una restricción presupuestaria cuya forma funcional es lineal, es este un caso particular y muy utilizado en microeconomía tanto para la teoría del consumidor como para la teoría del productor.

Desarrollo conceptual de la optimización

La optimización en microeconomia es en ultimas optimización matemática, analiticamente exige solamente saber derivar, álgebra básica y ser ordenado en el planeamiento del problema y las ecuaciones.
Metodológicamente la disciplina ha optado por resolver los problemas de optimización a través del Lagrangiano, este método exige una reexpresión de la función de utilidad y de la restricción presupuestaria, pero el resto del procedimiento es análogo a la optimización sin lagrangiano, debemos entonces:

Identificar la función de utilidad y la restricción presupuestaria.
Reexpresar estas funciones en un lagrangiano.
Derivar la función lagrangiana con respecto a cada variable e igualar a cero.
Expresar a las variables en función de los parámetros.

Enunciado del problema:

La función de utilidad de un agente es:

\tag{1} U(X_1,X_2) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} la restricción presupuestaria que enfrenta es:

\tag{2} 3 \cdot X_1 + 4 \cdot X_2 = 600 Encuentre las cantidades de los bienes (X_1, X_2) que maximizan la utilidad del agente.

Desarrollo

De las anteriores ecuaciones se deduce que:

P_1 = 3
P_2 = 4
M = 600 siendo M el ingreso total del agente.

Los valores P_1, P_2, M son parámetros o datos que requerimos para poder dar una respuesta satisfactoria respecto a los valores de X_1, X_2 que maximizan la utilidad del agente, es decir X_1, X_2 son nuestras variables.

1. Identificación de la función de utilidad y de la restricción presupuestaria.

Los enunciados pocas veces exigen deducir cual es la función de utilidad y cuál es la restricción, es simplemente prestar atención a las funciones presentadas, tomar aire y arrancar…

2. Reexpresar estas funciones en un lagrangiano

El lagrangiano permite unir la restricción presupuestaria y la función de utilidad, lo único que debo hacer es despejar la restricción presupuestaria de manera que esta sea igual a cero y aprenderme la nomenclatura para escribir un lagrangiano.

Despejamos la restricción para que sea igual a cero:

3 \cdot X_1 + 4 \cdot X_2 = 600 pasamos los términos de la izquierda a la derecha restando:

0 = 600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2

Construimos el lagrangiano:

Es simplemente poner la función de utilidad y sumarle \lambda por la restricción presupuestaria, con esto convertimos un problema de optimización de dos variables (X_1, X_2) en uno de tres variables (X_1, X_2, \lambda), su implicancia práctica es solo tener que calcular una derivada adicional.

\tag{3} L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot (600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2)

3. Derivar la función lagrangiana con respecto a cada variable e igualar a cero.

Cuando en la función existe más de una variable, el proceso de sacar las derivadas con respecto a cada variable se conoce como diferenciación parcial, sacaremos las derivadas con respecto a (X_1, X_2, \lambda).
En la diferenciación parcial se toma de a una variable y el resto de variables se asumen constantes.

Re-expresaremos la función a derivar de la siguiente forma para que sea más claro el proceso de diferenciación:

L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot (600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2)

Por la propiedad distributiva del producto respecto a la suma repartimos el \lambda en cada uno de los términos entre paréntesis

\tag{3'} L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot 600 - \lambda \cdot 3 \cdot X_1 - \lambda \cdot 4 \cdot X_2

Derivada con respecto a X_1

Para esta derivada utilizamos las siguientes reglas:

f(x) = X^{n} entonces f'(x) = n \cdot X^{n-1}.
f(x) = c \cdot X entonces f'(x) = c.
f(x) = c entonces f'(x) = 0.

Función a derivar con respecto a X_1:

L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot 600 - \lambda \cdot 3 \cdot X_1 - \lambda \cdot 4 \cdot X_2

Proceso de diferenciación

\frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{1}{3} \cdot X_{1}^{\frac{1}{3} - 1} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} + 0 - \lambda \cdot 3 - 0 \frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{1}{3} \cdot X_{1}^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} - \lambda \cdot 3

Resultado

\frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{1}{3} \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} - \lambda \cdot 3 = \frac{X_{1}^{-\frac{2}{3}}}{3} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} - \lambda \cdot 3

Derivada con respecto a X_2

Para esta derivada utilizamos las siguientes reglas:

f(x) = X^{n} entonces f'(x) = n \cdot X^{n-1}.
f(x) = c \cdot X entonces f'(x) = c.
f(x) = c entonces f'(x) = 0.

Función a derivar con respecto a X_2:

L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot 600 - \lambda \cdot 3 \cdot X_1 - \lambda \cdot 4 \cdot X_2

Proceso de diferenciación

\frac{\partial L}{\partial X_2} = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{\frac{2}{3} - 1} + 0 - 0 - \lambda \cdot 4 \frac{\partial L}{\partial X_2} = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{\frac{2}{3} - \frac{3}{3}} - \lambda \cdot 4 Resultado

\frac{\partial L}{\partial X_2} = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}} - \lambda \cdot 4 = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2 \cdot X_2^{-\frac{1}{3}}}{3} - \lambda \cdot 4

Derivada con respecto a \lambda

Para esta derivada utilizamos las siguientes reglas:

f(x) = c \cdot X entonces f'(x) = c.
f(x) = c entonces f'(x) = 0.

Función a derivar con respecto a \lambda:

L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot 600 - \lambda \cdot 3 \cdot X_1 - \lambda \cdot 4 \cdot X_2

Proceso de diferenciación

\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 + 600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2 Resultado

\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2

Igualamos a cero las derivadas parciales:

\tag{4} \frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{1}{3} \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} - \lambda \cdot 3 = 0

\tag{5} \frac{\partial L}{\partial X_2} = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}} - \lambda \cdot 4 = 0

\tag{6} \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2 = 0

Las ecuaciones (4), (5) y (6), reunen las condiciones de primer orden, simplemente derivamos a la función lagrangiana (ecuación (3)) con respecto a las variables (X_1, X_2, \lambda) e igualamos cada derivada parcial a cero.

4. Expresar a las variables en función de los parámetros.

Ahora trabajaremos sobre las ecuaciones (4) y (5), dividiremos la ecuación (4) entre la ecuación (5) y despejaremos a X_1 de manera que quede en función de X_2.
Esto a los fines de reemplazar en la ecuación (6) y obtener el valor óptimo de X_2, posteriormente obtendremos el valor óptimo de X_1.

Esquemáticamente debemos seguir los siguientes pasos:

Dividir ecuación (4) entre ecuación (5).
Despejar a X_1 para que quede en función de X_2.
Reemplazar lo obtenido en el paso anterior en la ecuación (6).
Obtener óptimos.

a. Dividir ecuación (4) entre ecuación (5)

Re-expresamos (4) y (5) pasando (\lambda \cdot Precio) del otro lado de la ecuación como se muestra a continuación.

\tag{4'} \frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{1}{3} \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} = \lambda \cdot 3 \tag{5'} \frac{\partial L}{\partial X_2} = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}} = \lambda \cdot 4

Dividimos las funciones reexpresadas:

\tag{7} \frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}}}{X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}}} = \frac{\lambda \cdot 3}{\lambda \cdot 4} Reorganizamos convenientemente y hacemos \frac{\lambda}{\lambda} = 1:

\frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3} \cdot X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}}} = 1 \cdot \frac{3}{4} Hacemos extremos por medios en las fracciones enteras:

\frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{3 \cdot 1 \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}}}{2 \cdot 3 \cdot X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}}} = \frac{3}{4} Desarrollamos los productos de los números enteros y haciendo uso de las reglas de potenciación bajamos las X con exponente negativo que estén en el numerador y subimos las X con exponente negativo que estén en el denominador.

Propiedad:

X^{-n} = \frac{1}{X^{n}}
\frac{1}{X^{-n}} = X^{n}

\frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{3 \cdot X_2^{\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{1}{3}}}{6 \cdot X_{1}^{\frac{2}{3}} \cdot X_{1}^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{4}

Simplificamos los números enteros y aprovechando que tanto arriba como abajo de la división tenemos las mismas bases de X por lo que podemos sumar los exponentes.

\frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{1 \cdot X_2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{2 \cdot X_{1}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} = \frac{3}{4} \frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{1 \cdot X_2^{\frac{3}{3}}}{2 \cdot X_{1}^{\frac{3}{3}}} = \frac{3}{4} \frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{1 \cdot X_2^{1}}{2 \cdot X_{1}^{1}} = \frac{3}{4}

llegamos a la expresión más simple del cociente de la derivada parcial con respecto a X_1 sobre la derivada parcial con respecto a X_2

\tag{7'} \frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{1 \cdot X_2}{2 \cdot X_{1}} = \frac{3}{4}

b. Despejar a X_1 para que quede en función de X_2

Este despeje lo hacemos partiendo de la ecuación (7’)

\frac{1 \cdot X_2}{2 \cdot X_{1}} = \frac{3}{4} \frac{X_2}{X_{1}} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 1} \frac{X_2}{X_{1}} = \frac{6}{4} \frac{1}{X_{1}} = \frac{6}{4 \cdot X_2} X_{1} = \frac{4 \cdot X_2}{6} = \frac{4}{6} \cdot X_2 = \frac{2}{3} \cdot X_2 \tag{8} X_1 = \frac{2}{3} \cdot X_2

c. Reemplazar lo obtenido en la ecuación (8) en la ecuación (6)

La ecuación (6) es la derivada del lagrangiano con respecto a \lambda que no es otra cosa que la restricción presupuestaria igualada a cero.

\tag{6} \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2 = 0

La re-expresamos:

\tag{6'} 600 = 3 \cdot X_1 + 4 \cdot X_2 Reemplazamos X_1 para quede todo en función de una sola variable

600 = 3 \cdot (\frac{2}{3} \cdot X_2) + 4 \cdot X_2 600 = \frac{3 \cdot 2}{3} \cdot X_2 + 4 \cdot X_2 \tag{9} 600 = 2 \cdot X_2 + 4 \cdot X_2

d. Obtener óptimos.

Con las ecuaciones (9) y (8) podemos obtener los óptimos de X_1 y X_2 los cuales simbolizamos con X_1^* y X_2^*.

Primero hacemos uso de la ecuación (9) y obtenemos X_2^*

\tag{9} 600 = 2 \cdot X_2 + 4 \cdot X_2 600 = 6 \cdot X_2 \frac{600}{6} = X_2 \tag{10} X_2^* = 100

Ahora hacemos uso de la ecuación (8) y en ella reemplazamos X_2 por X_2^*.

\tag{8} X_1 = \frac{2}{3} \cdot X_2 X_1 = \frac{2}{3} \cdot X_2^*

X_1 = \frac{2}{3} \cdot 100 X_1 = \frac{200}{3} \tag{11} X_1^* = 66.7

Hemos llegado a las cantidades de consumo óptimo, es decir, las cantidades de (X_1, X_2) que maximizan la función de utilidad del agente.

(X_1^*, X_2^*) = (66.7, 100) Para comprobar que este es realmente el óptimo reemplazamos los valores obtenidos en la restricción y la misma debe respetarse:

3 \cdot X_1^* + 4 \cdot X_2^* = 600 3 \cdot 66.7 + 4 \cdot 100 = 600 3 \cdot \frac{200}{3} + 4 \cdot 100 = 600 200 + 400 = 600 Sabiendo que la condición se cumple, reemplazamos los valores óptimos en la función de utilidad para obtener el nivel de utilidad que al individuo le genera consumir su cesta óptima.

U(X_1^*,X_2^*) = 66.7^{1/3} \cdot 100^{2/3} U(66.7,100) = 87.36 El máximo nivel de satisfacción que puede alcanzar el individuo con un presupuesto de M = 600 y precios de P_1 = 3 y P_2 = 4 es de 87.36 Útiles.

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En este documento se desarrollara la optimización de la función de utilidad de un consumidor que responde a la forma *Cobb-Douglas*, que debe respetar una restricción presupuestaria cuya forma funcional es lineal, es este un caso particular y muy utilizado en microeconomía tanto para la teoría del consumidor como para la teoría del productor. ## Desarrollo conceptual de la optimización La optimización en microeconomia es en ultimas optimización matemática, analiticamente exige solamente saber derivar, álgebra básica y ser ordenado en el planeamiento del problema y las ecuaciones.\ Metodológicamente la disciplina ha optado por resolver los problemas de optimización a través del ***Lagrangiano***, este método exige una reexpresión de la función de utilidad y de la restricción presupuestaria, pero el resto del procedimiento es análogo a la optimización sin lagrangiano, debemos entonces: ::: {.callout-note appearance="simple"} 1. Identificar la función de utilidad y la restricción presupuestaria. 2. Reexpresar estas funciones en un lagrangiano. 3. Derivar la función lagrangiana con respecto a cada variable e igualar a cero. 4. Expresar a las variables en función de los parámetros. ::: ## Enunciado del problema: La función de utilidad de un agente es: $$\tag{1} U(X_1,X_2) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3}$$ la restricción presupuestaria que enfrenta es: $$\tag{2} 3 \cdot X_1 + 4 \cdot X_2 = 600$$ Encuentre las cantidades de los bienes $(X_1, X_2)$ que maximizan la utilidad del agente. ## Desarrollo De las anteriores ecuaciones se deduce que: - $P_1 = 3$ - $P_2 = 4$ - $M = 600$ siendo $M$ el ingreso total del agente. Los valores $P_1, P_2, M$ son **parámetros** o datos que requerimos para poder dar una respuesta satisfactoria respecto a los valores de $X_1, X_2$ que maximizan la utilidad del agente, es decir $X_1, X_2$ son nuestras **variables**. ### 1. Identificación de la función de utilidad y de la restricción presupuestaria. Los enunciados pocas veces exigen deducir cual es la función de utilidad y cuál es la restricción, es simplemente prestar atención a las funciones presentadas, tomar aire y arrancar... ### 2. Reexpresar estas funciones en un lagrangiano El lagrangiano permite unir la restricción presupuestaria y la función de utilidad, lo único que debo hacer es despejar la restricción presupuestaria de manera que esta sea igual a cero y aprenderme la nomenclatura para escribir un lagrangiano. 1. Despejamos la restricción para que sea igual a cero: $$3 \cdot X_1 + 4 \cdot X_2 = 600$$ pasamos los términos de la izquierda a la derecha restando: $$0 = 600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2$$ 2. Construimos el lagrangiano: Es simplemente **poner la función de utilidad y sumarle $\lambda$ por la restricción presupuestaria**, con esto convertimos un problema de optimización de dos variables $(X_1, X_2)$ en uno de tres variables $(X_1, X_2, \lambda)$, su implicancia práctica es solo tener que calcular una derivada adicional. $$\tag{3} L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot (600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2)$$ ### 3. Derivar la función lagrangiana con respecto a cada variable e igualar a cero. Cuando en la función existe más de una variable, el proceso de sacar las derivadas con respecto a cada variable se conoce como ***diferenciación parcial***, sacaremos las derivadas con respecto a $(X_1, X_2, \lambda)$.\ En la diferenciación parcial se toma de a una variable y el resto de variables se asumen constantes. Re-expresaremos la función a derivar de la siguiente forma para que sea más claro el proceso de diferenciación: $$L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot (600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2)$$ Por la propiedad distributiva del producto respecto a la suma repartimos el $\lambda$ en cada uno de los términos entre paréntesis $$\tag{3'} L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot 600 - \lambda \cdot 3 \cdot X_1 - \lambda \cdot 4 \cdot X_2$$ #### Derivada con respecto a $X_1$ Para esta derivada utilizamos las siguientes reglas: - $f(x) = X^{n}$ entonces $f'(x) = n \cdot X^{n-1}$. - $f(x) = c \cdot X$ entonces $f'(x) = c$. - $f(x) = c$ entonces $f'(x) = 0$. Función a derivar con respecto a $X_1$: $$L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot 600 - \lambda \cdot 3 \cdot X_1 - \lambda \cdot 4 \cdot X_2$$ **Proceso de diferenciación** $$\frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{1}{3} \cdot X_{1}^{\frac{1}{3} - 1} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} + 0 - \lambda \cdot 3 - 0$$ $$\frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{1}{3} \cdot X_{1}^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} - \lambda \cdot 3$$ **Resultado** $$\frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{1}{3} \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} - \lambda \cdot 3 = \frac{X_{1}^{-\frac{2}{3}}}{3} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} - \lambda \cdot 3$$ #### Derivada con respecto a $X_2$ Para esta derivada utilizamos las siguientes reglas: - $f(x) = X^{n}$ entonces $f'(x) = n \cdot X^{n-1}$. - $f(x) = c \cdot X$ entonces $f'(x) = c$. - $f(x) = c$ entonces $f'(x) = 0$. Función a derivar con respecto a $X_2$: $$L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot 600 - \lambda \cdot 3 \cdot X_1 - \lambda \cdot 4 \cdot X_2$$ **Proceso de diferenciación** $$\frac{\partial L}{\partial X_2} = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{\frac{2}{3} - 1} + 0 - 0 - \lambda \cdot 4$$ $$\frac{\partial L}{\partial X_2} = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{\frac{2}{3} - \frac{3}{3}} - \lambda \cdot 4$$ **Resultado** $$\frac{\partial L}{\partial X_2} = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}} - \lambda \cdot 4 = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2 \cdot X_2^{-\frac{1}{3}}}{3} - \lambda \cdot 4$$ #### Derivada con respecto a $\lambda$ Para esta derivada utilizamos las siguientes reglas: - $f(x) = c \cdot X$ entonces $f'(x) = c$. - $f(x) = c$ entonces $f'(x) = 0$. Función a derivar con respecto a $\lambda$: $$L(X_1, X_2, \lambda) = X_1^{1/3} \cdot X_2^{2/3} + \lambda \cdot 600 - \lambda \cdot 3 \cdot X_1 - \lambda \cdot 4 \cdot X_2$$ **Proceso de diferenciación** $$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 + 600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2$$ **Resultado** $$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2$$ #### Igualamos a cero las derivadas parciales: $$\tag{4} \frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{1}{3} \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} - \lambda \cdot 3 = 0$$ $$\tag{5} \frac{\partial L}{\partial X_2} = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}} - \lambda \cdot 4 = 0$$ $$\tag{6} \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2 = 0$$ Las ecuaciones (4), (5) y (6), reunen las condiciones de primer orden, simplemente derivamos a la función lagrangiana (ecuación (3)) con respecto a las variables $(X_1, X_2, \lambda)$ e igualamos cada derivada parcial a cero. ### 4. Expresar a las variables en función de los parámetros. Ahora trabajaremos sobre las ecuaciones (4) y (5), dividiremos la ecuación (4) entre la ecuación (5) y despejaremos a $X_1$ de manera que quede en función de $X_2$.\ Esto a los fines de reemplazar en la ecuación (6) y obtener el valor óptimo de $X_2$, posteriormente obtendremos el valor óptimo de $X_1$. Esquemáticamente debemos seguir los siguientes pasos: ::: {.callout-note appearance="simple"} a. Dividir ecuación (4) entre ecuación (5). b. Despejar a $X_1$ para que quede en función de $X_2$. c. Reemplazar lo obtenido en el paso anterior en la ecuación (6). d. Obtener óptimos. ::: #### a. Dividir ecuación (4) entre ecuación (5) Re-expresamos (4) y (5) pasando $(\lambda \cdot Precio)$ del otro lado de la ecuación como se muestra a continuación. $$\tag{4'} \frac{\partial L}{\partial X_1} = \frac{1}{3} \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}} = \lambda \cdot 3$$ $$\tag{5'} \frac{\partial L}{\partial X_2} = X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}} = \lambda \cdot 4$$ Dividimos las funciones reexpresadas: $$\tag{7} \frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}}}{X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{3} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}}} = \frac{\lambda \cdot 3}{\lambda \cdot 4}$$ Reorganizamos convenientemente y hacemos $\frac{\lambda}{\lambda} = 1$: $$\frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3} \cdot X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}}} = 1 \cdot \frac{3}{4}$$ Hacemos extremos por medios en las fracciones enteras: $$\frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{3 \cdot 1 \cdot X_{1}^{-\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{2}{3}}}{2 \cdot 3 \cdot X_{1}^{\frac{1}{3}} \cdot X_2^{-\frac{1}{3}}} = \frac{3}{4}$$ Desarrollamos los productos de los números enteros y haciendo uso de las reglas de potenciación bajamos las $X$ con exponente negativo que estén en el numerador y subimos las $X$ con exponente negativo que estén en el denominador. Propiedad: - $X^{-n} = \frac{1}{X^{n}}$ - $\frac{1}{X^{-n}} = X^{n}$ $$\frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{3 \cdot X_2^{\frac{2}{3}} \cdot X_2^{\frac{1}{3}}}{6 \cdot X_{1}^{\frac{2}{3}} \cdot X_{1}^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{4}$$ Simplificamos los números enteros y aprovechando que tanto arriba como abajo de la división tenemos las mismas bases de $X$ por lo que podemos sumar los exponentes. $$\frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{1 \cdot X_2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{2 \cdot X_{1}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} = \frac{3}{4}$$ $$\frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{1 \cdot X_2^{\frac{3}{3}}}{2 \cdot X_{1}^{\frac{3}{3}}} = \frac{3}{4}$$ $$\frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{1 \cdot X_2^{1}}{2 \cdot X_{1}^{1}} = \frac{3}{4}$$ llegamos a la expresión más simple del cociente de la derivada parcial con respecto a $X_1$ sobre la derivada parcial con respecto a $X_2$ $$\tag{7'} \frac{\frac{\partial L}{\partial X_1}}{\frac{\partial L}{\partial X_2}} = \frac{1 \cdot X_2}{2 \cdot X_{1}} = \frac{3}{4}$$ #### b. Despejar a $X_1$ para que quede en función de $X_2$ Este despeje lo hacemos partiendo de la ecuación (7') $$\frac{1 \cdot X_2}{2 \cdot X_{1}} = \frac{3}{4}$$ $$\frac{X_2}{X_{1}} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 1}$$ $$\frac{X_2}{X_{1}} = \frac{6}{4}$$ $$\frac{1}{X_{1}} = \frac{6}{4 \cdot X_2}$$ $$X_{1} = \frac{4 \cdot X_2}{6} = \frac{4}{6} \cdot X_2 = \frac{2}{3} \cdot X_2$$ $$\tag{8} X_1 = \frac{2}{3} \cdot X_2$$ #### c. Reemplazar lo obtenido en la ecuación (8) en la ecuación (6) La ecuación (6) es la derivada del lagrangiano con respecto a $\lambda$ que no es otra cosa que la restricción presupuestaria igualada a cero. $$\tag{6} \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 600 - 3 \cdot X_1 - 4 \cdot X_2 = 0$$ La re-expresamos: $$\tag{6'} 600 = 3 \cdot X_1 + 4 \cdot X_2 $$ Reemplazamos $X_1$ para quede todo en función de una sola variable $$ 600 = 3 \cdot (\frac{2}{3} \cdot X_2) + 4 \cdot X_2 $$ $$ 600 = \frac{3 \cdot 2}{3} \cdot X_2 + 4 \cdot X_2 $$ $$\tag{9} 600 = 2 \cdot X_2 + 4 \cdot X_2$$ #### d. Obtener óptimos. Con las ecuaciones (9) y (8) podemos obtener los óptimos de $X_1$ y $X_2$ los cuales simbolizamos con $X_1^*$ y $X_2^*$. Primero hacemos uso de la ecuación (9) y obtenemos $X_2^*$ $$\tag{9} 600 = 2 \cdot X_2 + 4 \cdot X_2$$ $$ 600 = 6 \cdot X_2$$ $$ \frac{600}{6} = X_2$$ $$\tag{10} X_2^* = 100$$ Ahora hacemos uso de la ecuación (8) y en ella reemplazamos $X_2$ por $X_2^*$. $$\tag{8} X_1 = \frac{2}{3} \cdot X_2$$ $$X_1 = \frac{2}{3} \cdot X_2^*$$ $$X_1 = \frac{2}{3} \cdot 100$$ $$X_1 = \frac{200}{3}$$ $$\tag{11} X_1^* = 66.7$$ Hemos llegado a las cantidades de consumo óptimo, es decir, las cantidades de $(X_1, X_2)$ que maximizan la función de utilidad del agente. $$(X_1^*, X_2^*) = (66.7, 100)$$ Para comprobar que este es realmente el óptimo reemplazamos los valores obtenidos en la restricción y la misma debe respetarse: $$3 \cdot X_1^* + 4 \cdot X_2^* = 600$$ $$3 \cdot 66.7 + 4 \cdot 100 = 600$$ $$3 \cdot \frac{200}{3} + 4 \cdot 100 = 600$$ $$200 + 400 = 600$$ Sabiendo que la condición se cumple, reemplazamos los valores óptimos en la función de utilidad para obtener el nivel de utilidad que al individuo le genera consumir su cesta óptima. $$U(X_1^*,X_2^*) = 66.7^{1/3} \cdot 100^{2/3}$$ $$U(66.7,100) = 87.36$$ El máximo nivel de satisfacción que puede alcanzar el individuo con un presupuesto de $M = 600$ y precios de $P_1 = 3$ y $P_2 = 4$ es de $87.36$ *Útiles*.