Teoría del Consumidor

Guía de ejercicios 1

• (Complementos Perfectos) Considere la siguiente función de utilidad \(U(x,y) = \min\{\alpha x, \beta y\}\), \(\alpha, \beta \in Z^+\) y restricción presupuestaria \(P_x\cdot x + P_y\cdot y = M\). Formule el problema del consumidor y obtenga las demandas marshalianas para los bienes \(x_1\) y \(x_2\).

• Suponga que las preferencias de un consumidor se pueden representar mediante la función de utilidad\[U(x_1,x_2) = \min\{5x_1, x_2\}\] con \(P_{x_1} = P_{x_2} = 1\) y \(M = 100\). De manera similar al ejercicio 1. Encuentre \(x_1^*\) y \(x_2^*\).

• \[Max \hspace{0.2cm} U(x_1, x_2) = \min\{\frac{1}{a}x_1, \frac{1}{b}x_2\}\] sujeto a \[P_{x_1}\cdot x_1 + P_{x_2}\cdot x_2 = M\]

• Suponga que \(U(x,y) = x^\alpha + y^\alpha\) con \(\alpha < 1\) y \(P_x\cdot x + P_y\cdot y = M\). Muestre que

  \[ x^* = \frac{M}{P_x \bigl(\begin{smallmatrix}1 + \bigl(\begin{smallmatrix}\frac{P_y}{P_y}\end{smallmatrix}\bigr)^\alpha\end{smallmatrix}\bigr)} \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} y^* = \frac{M}{P_y \bigl(\begin{smallmatrix}1 + \bigl(\begin{smallmatrix}\frac{P_x}{P_y}\end{smallmatrix}\bigr)^\alpha \end{smallmatrix}\bigr) } \]

• Un consumidor tiene la función de utilidad sobre los bienes \(x\) e \(y\), \[U(x,y) = 12x^2y^4\]

  Sea \(P_x\) y \(P_y\) el precio del bien \(x\) e \(y\) respectivamente. Y sea el ingreso dado por \(M\)

  • ¿Cuál es la pendiente de la curva de indiferencia del consumidor en el paquete de consumo (1,1)?

  • Encuentre \(x^*\) e \(y^*\) para los bienes \(x\), \(y\) respectivamente.

  • Si tenemos \(P_x = P_y = 2\) y \(M = 24\), calcule la utilidad maximizando la canasta de consumo.

• Utilizando el lenguaje de programación R, trace la curva de indiferencia típica de las siguientes funciones de utilidad y encuentre su TMS

  • \(U(x,y) = 3x + y\)

  • \(U(x,y) = \sqrt{x^2 - y^2}\)

  • \(U(x_1, x_2) = \frac{1}{8}x_1 + \frac{1}{8}x_2\)

  • \(U(x_1,x_2) = (x_1 + x_2)^2\)

• Una noche Jose Elvir, decide consumir cigarros \((c)\) y brandy \((b)\) siguiendo la función \[U(c,b) = 20c - c^2 + 18b - 3b^2\]

  • ¿Cuántos cigarros y copas consume esa noche? (su costo no es obstaculo para Jose Elvir)

  • Sin embargo, recientemente, los médicos han aconsejado a Jose que limite a 5 su consumo de cigarros y brandy. ¿Cuántas copas de brandy y cuántos cigarros consumirá en estas nuevas circustancias?

• El Sr. Sosa obtiene utilidad de los martinis \((m)\) en función de la cantidad que bebe: \[U(m) = m\] Sin embargo, el Sr. Sosa es muy quisquilloso con sus martinis: sólo le gustan los preparados con una proporción exacta de dos partes de ginebra \((g)\) y una de Vermouth \((v)\). Por tanto, podemos volver a escribir la función de utilidad del Sr. Sosa como \[U(m) = U(g,v) = \min\{\frac{g}{2}, v\}\]

  • Calcules las funciones de demanda de \(g\) y \(v\)

  • Partiendo del los resultados del ítem anterior, ¿Cuál es la función de utilidad indirecta del Sr. Sosa?

  • Calcule la función del gasto del Sr. Sosa, para cada nivel de utilidad, muestre el gasto como una función de \(p_g\) y \(p_v\)

• La función de utilidad con ESC general está dada por \[U(x,y) = \frac{x^\delta}{\delta} + \frac{y^\delta}{\delta}\]

  • Demuestre que las condiciones de primer orden para una utilidad con restricciones con esta función exige que los individuos elijan los bienes en la proporción \[\frac{x}{y} = \left(\begin{array}{ccc} \frac{P_x}{P_y}\end{array}\right)^{\frac{1}{\delta - 1}}\]

  • Demuestre que el resultado del inciso anterior implica que los individuos asignaran sus fondos a partes iguales entre \(x\) y \(y\) en el caso Cobb-Douglas \((\delta = 0)\).

• Este ejercicio considera el efecto de los cambios en las tasas de supervivencia sobre la tasa de crecimiento de la población,

  Un agente elije dividir su ingreso \(M\) entre el gasto general, \(x\), y el número de nacimientos \(b\). Un nacimiento tiene una tasa de supervivencia \(s\in [0,1]\). El costo de un nacimiento es \(c\). El costo de criar a un hijo es \(k\). La utilidad del agente es \[U(b,x) = 2\sqrt{sb} + x\] y su restricción presupuestaria es \[x + cb + ksb \leq M\]

  • Escriba el lagrangiano para el problema del agente. Suponiendo que existe un óptimo, para el cual \(x\geq 0\) y \(b\geq 0\), determine el número óptimo de nacimientos.

• Un consumidor tiene la siguiente función del gasto \(e(p_1,p_2,u) = \frac{up_1p_2}{p_1 + p_2}\) . Encuentre la función de utilidad directa.

• (Ejercicio Reto) Un agente de vida infinita posee 1 unidad de mercancia que consume durante toda su vida. La mercancia es perfectamente almacenable y no recibirá más de lo que tiene ahora. El consumo de la mercancia en el periodo \(t\) se denota por \(x_t\), y su función de utilidad de por vida esta dada por \[U(x_0, x_1, . . . ) = \sum_{t=0}^\infty \beta^t\ln(x_t),\hspace{0.8cm} donde\hspace{0.4cm}0<\beta < 1\] Solamente plantee el problema de maximización de un consumidor general.

• (Ejercicio Reto) La función de Cobb-Douglas generalizada esta dada por \[U(\textbf{x}) = A\prod_{i=1}^n x_i^{\alpha_i}\] donde \(\textbf{x} = x_1, . . . , x_n\), \(A>0\) y \(\sum_{i=1}^n \alpha_i = 1\).

  • Determine las funciones de demanda Marshaliana

  • Determine la función de utilidad indirecta

  • Determine la función del gasto

  • Determine las demandas Hicksianas

    Nota: en este ejercicio usted puede buscar ayuda externa o consultarme ante cualquier planteamiento que realice.