Objetivo.

1.1 Antiderivación (integral indefinida)

1.2 Integración por sustitución (Antiderivación de una función compuesta)

1.3 Integrales de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

1.4 Integrales que conducen a funciones trigonométricas inversas

• Determine sus antiderivada.

• sea \(f(x)= x^3 + 4x + 2\)

• sea \(f(x)= 2x + 9\)

• sea \(f(x)= 6x^3 + 5x + 4\)

• sea \(f(x)= 2x + 2\)

• sea \(f(x)= 5x + 4\)

NOTA= Las antiderivadas no son únicas por ejemplo \(G(x)= \frac{3}{2} x^2 + 2x + 3\) tambien es una antiderivada de \(f(x) = 3x + 2\)

Dada \(f(x)\) denotamos por \(\int f(x) \quad dx\) como el conjunto de todas las antiderivadas de \(f(x)\), es decir:

\(F(X) + c: F(X)\) es una antiderivada de \(f(x)\) y \(c \in {R}\)

La expresión \(\int f(x) dx\) se denomina integral indefinida \(f(x)\) y si \(F(x)\) es una antiderivada particular de \(f(x)\), entonces.

\[\int f(x) dx = F(x) + c\]

Ejemplo: \[\int 3 x+ 2 dx = \frac{3}{2} x^2 + 2x + c \]

Dada un función \(f(x)\), algunas veces queremos encontrar todas las funciones \(y=F(x)\) tales que \[\frac{dy}{dx}= {F}' (x) = f(x) \quad (*)\]

La expresión \(\frac{dy}{dx}=f(x)\) se denomina ecuación diferencial.

Las funciones \(y= F(x)\) que satisfacen la Ec. dif (*), se denomina la solucion de la Ec dif. notese que estas soluciones son \(\int f(x) dx = F(x)+ c= y + c\)

• \(\int dx = x + c\)

• \(\int k f(x)dx = k \int f(x) dx\)

• \(\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\)

• \(\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, \quad \forall n \in \mathbb{R},\) con \(n\neq -1\)

Ejemplos:

• \(\int (4x^{3} - x^{2}) dx =\)

• \(\int \frac{3x^{4} + 3}{x^{2}} dx =\)

1. \(\int \frac{1}{x^{3}} dx =\)

2. \(\int \sqrt{x} \quad dx =\)

3. \(\int \frac{3x^{2}+5}{x^{2}} dx =\)

4. \(\int (3x^{4} - 5x^{2} + x) \quad dx =\)

5. \(\int \frac{x+1}{\sqrt{x}} dx =\)

1. \(\int \frac{1}{x^{2}} dx =\)

2. \(\int \frac{2}{\sqrt{x}} dx =\)

3. \(\int (t^{2}+1)^2 dt =\)

4. \(\int \frac{x^{3}+ 3}{x^{2}} dx =\)

5. \(\int (2t^{2}+4t) dt =\)

1. \(\int \sin x \quad dx= - \cos x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \cos x \right ) = - \sin x\)

2. \(\int \cos x \quad dx= \sin x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \sin x \right ) = \cos x\)

3. \(\int \sec ^{2} x \quad dx= \tan x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \tan x \right ) = \sec^{2} x\)

4. \(\int \csc ^{2} x \quad dx= - \cot x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \cot x \right ) =- \csc^{2} x\)

5. \(\int \sec x \tan x dx=\sec x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \sec x \right ) = \sec x \tan x\)

6. \(\int \csc x \cot x dx= - \csc x + c\) \(\quad; \frac{d}{dx}\left ( \csc x \right ) = -\csc x \cot x\)

• \(\sin^{2} x + \cos^{2} = 1\)

• \(1 + \tan^{2}x= \sec ^{2} x\)

• \(1 + \cot^{2}x= \csc ^{2} x\)

• \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x }\)

• \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)

• \(\sin x = \frac{1}{\csc x}\) \(\quad\) \(\cos x = \frac{1}{\sec x}\) \(\quad\) \(\tan x = \frac{1}{\cot x}\)

• \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\) \(\quad\) \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\) \(\quad\) \(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)

\(\sin (2x) = 2 \sin \cos x\)

\(\cos (2x) = 1 - \sin ^{2} x\)

\(\sin ^{2}x = \frac{1 -\cos 2x}{2}\)

\(\cos ^{2}x = \frac{1 +\cos 2x}{2}\)

Ejemplos:

1. \(\int 2 \sin x dx\) \(\quad\) 2. \(\int \frac{2 \cot x - 3 \sin ^{2} x }{\sin x } dx\)

2. \(\int 4 \sec^{2} x dx\) \(\quad\) 4. \(\int \frac{\sin x}{\cos ^{2}} dx\)

• \(\int e^{x} dx = e^{x} +c\)

• \(\int a^{x} dx = \frac{a^{x}}{ln a} +c\)

• \(\int \frac{1}{x} dx = \ln x + c\)

Ejemplo:

• \(\int \left ( 3 e^{x} + \frac{3}{x}\right ) dx=\)

• \(\int \left ( 2 e^{x} - \frac{1}{x}\right ) dx=\)

El papel de la sustitución en la integración es comparable al de la regla de la derivación.

Recordar

\(y = F(u)\) y \(u = g(x)\)

La regla de la cadena establece que:

\[\frac{d}{dx}\left [ F(g(x)) \right ] = F{}'(g(x)) g{}'x\]

De acuerdo con la definición de una antiderivada o primitiva, se sigue.

\[\int F{}'(g(x)) g{}'x = F(g(x)) + C\]

Antiderivación de una función compuesta

Sea \(g\) una función cuyo recorrido o rango es un intervalo, y sea \(f\) función continua en I, si \(g\) es derivable en su dominio y \(F\) es una antiderivada de \(f\) en el intervalo I, entonces se efectua el Cambio de Variable

\[\int f(g(x)) g{}'x = F(g(x)) + C\]

Si \(u= g(x)\), entonces \(du = g{}'x dx\)

\[\int f(u) du = F(u) + C\]

1. \(\int (x^{2} +1)^2 (2x) dx\)

2. \(\int 5 \cos 5x dx\)

3. \(\int (\sin x)^{3} \cos x dx\)

4. \(\int 2 \sqrt{2x+3} dx\)

5. \(\int e^{2x} 2 dx\)

6. \(\int 2x(x^{2}+1)^4 dx\)

7. \(\int 3x^2 \sqrt{x^{3}+1} dx\)

8. \(\int \sqrt{\tan x} \sec ^{2}xdx\)

No cumplen con el patrón.

1. \(\int \sqrt{x^{3}+3x^2+1} \quad (x^2 + 2x) dx\)

2. \(\int x (x^2 + 1)\sqrt{4-2x^2-x^4} \quad dx\)

3. \(\int \sin ^{3}x dx\)

4. \(\int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos ^{3}x}}\)

1. \(\int x \sqrt{x+6} \quad dx\)

2. \(\int \frac{x^2-1}{\sqrt{2x-1}} \quad dx\)

3. \(\int \frac{2x+1}{\sqrt{x+4}} \quad dx\)

4. \(\int x\sqrt{2x + 1} dx\)

5. \(\int \frac{x}{\sqrt{2x -1}}dx\)

6. \(\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-2x^{2}}}\)

1. \(\int \tan x dx = ln \left | \sec x \right | + c\)

2. \(\int \cot x dx = ln \left | \sin x \right | + c\)

3. \(\int \sec x dx = ln \left | \sec x + \tan x\right | + c\)

4. \(\int \csc x dx = ln \left | \csc x - \cot x \right | + c\)

Nota:

\(u = \cos x\)

\(du = - \sin x dx\)

\(-du = \sin x dx\)

\(\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx\) \(= - \int \frac{du}{u}\) \(= - \quad ln \left | u \right |+ c\) \(= - \quad ln \left | \cos x \right |+ c\) \(= ln \left |\cos ^{-1} x\right |+ c\) \(= ln \left |\sec x\right |+ c\)

1. \(\frac{d (\arcsin x)}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

2. \(\frac{d (\arccos x)}{dx} = - \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

3. \(\frac{d (\arctan x)}{dx} = \frac{1}{1+ x^{2}}\)

4. \(\frac{d (\textrm{arccot} x)}{dx} = - \frac{1}{1+ x^{2}}\)

5. \(\frac{d (\textrm{arcsec} x)}{dx} = \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}}\) \(\quad\)

6. \(\frac{d (\textrm{arccsc} x)}{dx} = - \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}}\)

Teorema:

• \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}= \arcsin x +c\)

• \(\int \frac{dx}{{1+x^{2}}}= \arctan x +c\)

• \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-1}}= \textrm{arcsec} x +c\)

• \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}= \arcsin \frac{x}{a} +c, \quad a> 0\)

• \(\int \frac{dx}{{a^{2}+x^{2}}}= \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} +c, \quad a \neq 0\)

• \(\int \frac{dx}{{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}}= \frac{1}{a}\textrm{arcsec} \frac{x}{a} +c, \quad a > 0\)

Demostración:

• Sea \(u\frac{x}{a}\), \(\quad\) \(du = \frac{1}{a}dx\), \(\quad\) \(dx=a du\), \(\quad\) \(x=au\)

1 \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} =\) \(\quad\) \(\int \frac{a du}{\sqrt{a^{2}-a^{2}u^{2}}}\) \(\quad\) \(=\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

\(\rightarrow\) \(\quad\) \(\arcsin u + c =\) \(\quad\) \(\arcsin \frac{x}{a} + c\)

• Sea \(u\frac{x}{a}\), \(\quad\) \(du = \frac{1}{a}dx\), \(\quad\) \(dx=a du\), \(\quad\) \(x=au\)

1. \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} =\) \(\quad\) \(\int \frac{a du}{\sqrt{a^{2}+a^{2}u^{2}}}\) \(\quad\) \(= \frac{1}{a} \int \frac{du}{{1+u^{2}}}\)

\(\rightarrow\) \(\quad\) \(\arctan u + c =\) \(\quad\) \(\arctan \frac{x}{a} + c\)

1. \(\int \frac{1}{x^{2}+4} dx\)

2. \(\int \frac{3}{x^{2}+16} dx\)

3. \(\int \frac{dx}{36x^{2}+1} dx\)

4. \(\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 9x^{2}}} dx\)

5. \(\int \frac{dx}{x\sqrt{ 9x^{4}-4}} dx\)

6. \(\int \frac{3}{x^{2}+5} dx\)

7. \(\int \frac{dx}{8x^{2}+1} dx\)

1. \(\int \frac{dx}{8x^{2}+1} dx\)

2. \(\int \frac{dx}{x^{2}+ 2x + 10}\)

3. \(\int \frac{dx}{\sqrt{4 - 49x^{2}}}\)

4. \(\int \frac{dx}{(x+1)^{2}+4}\)

5. \(\int \frac{3dx}{(x+2)\sqrt{x^{2}+4x+3}}\)

6. \(\int \frac{3}{x^{2}+5} dx\)

1. \(\int x^{2} (5+2x^{3})^{8} dx\)

2. \(\int \frac{4x^{2}}{(1-8x^{3})^{4}} dx\)

3. \(\int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^{2}-2x}}\)

La suma de \(n\) terminos \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}... a_{n}\) se escribe como \[\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} +a_{3} ...+a_{n}\]

donde \(i\) es el índice de suma, \(a_{i}\) es el i-ésimo término de la suma y los límites superiores e inferiores de la suma son \(n\) y \(1\).

NOTA: Los límites superior e inferior de la suma han de ser constantes respecto al índice de suma. Sin embargo, el límite no tiene por qué ser 1. Cualquier entero menor o igual al límite superior es el legítimo.

• \(\sum_{i=1}^{6} i = 1+2+3+4+5+6\)

• \(\sum_{i=0}^{5} (i+1)= (0+1) + (1+1)+ (2+1) + (3+1) + (4+1)+ (5+1)\)

• \(\sum_{j=3}^{5} j^{2}= 3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}\)

• \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}(k^{2}+1)= \frac{1}{n}(1^{2}+1) + \frac{1}{n}(2^{2}+1) +...\frac{1}{n}(n^{2}+1)\)

• \(\sum_{i=1}^{n} f(x_{i}) \Delta x= f(x_{1}) \Delta x +f(x_{2}) \Delta x+ ... f(x_{n}) \Delta x\)

\(\sum_{i=1}^{n} c= cn\)

\(\sum_{i=1}^{n} i= \frac{n(n+1)}{2}\)

\(\sum_{i=1}^{n} i^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

\(\sum_{i=1}^{n} i^{3}= \frac{n^{2}(n+1)^2}{4}\)

Definición del área de una región en el Plano.

Sea \(f\) continua y no negativa en el intervalo [a,b]. El área de la región limitada por la grafica de \(f\), el eje \(x\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\) es:

\[Area = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x\] donde \[\Delta x = \frac{b-a}{n}\] \[x_{i} = a + i\Delta x\]

Hallar el área de la región limitada por la gráfica \(f(x)= 2x +1\) en \(x=1\) \(x=2\) mediante el cálculo de Riemann \[Area = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x\] Luego cálcula el área por medio de la Integral Definida. \[Area =\int_{1}^{2} 2x +1 dx\]

Ejemplo: 1

Hallar el área de la región limitada por la gráfica \(f(x)= x^2\) en \(x=2\) \(x=8\) mediante el cálculo de Riemann \[Area = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x\] Luego cálcula el área por medio de la Integral Definida. \[Area =\int_{2}^{8} x^2 dx\]

Ejemplo: 2

Hallar el área de la región limitada por la gráfica \(f(x)= x^3\) en \(x=2\) \(x=4\) mediante el cálculo de Riemann \[Area = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x\] Luego cálcula el área por medio de la Integral Definida. \[Area =\int_{2}^{4} x^3 dx\]

Ejemplo: 3

Hallar el área de la región limitada por la gráfica \(f(x)= 4x-x^2\) en \(x=0\) \(x=3\) mediante el cálculo de Riemann \[Area = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x\] Luego cálcula el área por medio de la Integral Definida. \[Area =\int_{0}^{3} 4x-x^2 dx\]

Ejemplo: 4

\(A= \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}} dx\)

Ilustración

Si \(f\) se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite de las sumas de Riemann sobre las particiones \(\delta\)

\[\lim_{\left \| \Delta \right \|\rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(c_i)\Delta x_i\]

existe (como se describírío antes), entonces \(f\) es Integrale en [a,b] y el límite se denota por:

\[\lim_{\left \| \Delta \right \|\rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(c_i)\Delta x_i = \int_{a}^{b}f(x)dx\]

El límite recibe el nombre de Integral Definida de \(f\) de a a b. El número a es el límite inferior de integración y el número es el límite de integración.

Área de figuras geométricas comunes utilizando las integrales definidas.

• \(\int_{1}^{3}4 dx\)

• \(\int_{0}^{3}(x +2)dx\)

1. Si \(f\) está definida en \(x=4\), entonces se define \(\int_{a}^{a}f(x)dx = 0\)

2. Si \(f\) es integrable en [a,b], entonces se define \(\int_{b}^{a}f(x)dx = -\int_{a}^{b}f(x)dx\)

Ejemplo

• \(\int_{3}^{0}(x+2)dx = - \int_{0}^{3}(x+2)dx\)

• \(\int_{a}^{b}kf(x)dx = k \int_{a}^{b}f(x)dx\)

• \(\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx =\int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx\)

Ejemplo:

• \(\int_{1}^{3}-x^{2} + 4x -3 dx\)

Primer Teorema Fundamental del Cálculo.

Si una función \(f\) es continua en el intervalo cerrado [a,b], y \(F\) es una antiderivada de \(f\) en el intervalo [a,b], entonces.

\[\int_{a}^{b}f(x) dx= F(b) - F(a)\] Ejemplo:

\(\int_{1}^{3}x^{3} dx= F(3) - F(1)\)

1. \(\int_{1}^{2}x^{2}-3 dx\)

2. \(\int_{1}^{3}3 \sqrt{x} dx\)

3. \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\sec ^{2} dx\)

Segundo Teorema fundamental del cálculo.

\(\int_{0}^{x}\cos t dt\)

Para \(x= 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}.\)

Segundo Teorema fundamental del cálculo.

Si \(f\) es continua en el intervalo abierto \(l\) que contiene a, entonces, para todo \(x\) en el intervalo.

\[\frac{d}{dx} \left [ \int_{a}^{x} f(t)dt\right ] = f(x)\]

• Encontrar la derivada de \(F(x)=\int_{\frac{\pi }{2}}^{x^3} cos t dt\)

Se aplica \(u=x^3\),para hacer uso del segundo teorema del cálculo junto con la regla de la cadena como se ilustra.

\({F}'(x)=\frac{d}{du} \left [\int_{\frac{\pi }{2}}^{x^3} cos t dt\right] \frac{du}{dx}\)

\(=\frac{d}{du} \left [\int_{\frac{\pi }{2}}^{U} cos t dt\right] \frac{du}{dx}\)

\(=(\cos u )(3x^{2})\)

\(=(\cos 3x^{2} )(3x^{2})\)

\(F(x)= \int_{\frac{\pi }{2}}^{x^3} cos t dt = \sin x^3 - \sin \frac{\pi}{2} = (\sin x^3) -1\)

\({F}'(x)= (\cos x^3)(3x^3)\)

Con este resultado queda comprobado que la derivada de la integral es la misma función inicial.

Esta técnica sirve cuando el integrando esta formando por un producto o una división que se podrá escribir como producto.

sea \(u\) y \(v\) funciones de \(x\) tienen derivadas continuas, entonces:

• Determinar el tipo de función de cada término del integrando.

1. Inversa (\(\rightarrow \arcsin, \arccos ...\))

2. Logaritmicas (\(\rightarrow \lg x; \ln x ...\))

3. Algebraicas (\(\rightarrow x^{3}; x^{2} ...\))

4. Trigonometricas (\(\rightarrow \sin x; \cos x ...\))

5. Exponencial (\(\rightarrow \exp ^{x}\))

Segun el orden ascendente es \(u\) y el resto del integrando es \(dv\); Observe que \(dv\) siempre incluye \(dx\) del integrando original.

• \({\color{DarkRed}{\int3xe^{x}dx}}\)

Para determinar quien es \(u\) primero identifico el tipo de función de cada una

como \({\color{DarkRed}{3x}}\) es de tipo Álgebraica y \({\color{DarkRed}{e^{x}}}\) es de tipo Exponencial.

Como la Álgebraica se encuentra de tercera y la Exponencial de quinta se identifica a \(u\) como \({\color{DarkRed}{3x}}\) y \(dv\) como \({\color{DarkRed}{e^{x}}}\), es de realtar que \(dv\) va acompañado del \(dx\) dado que es la parte que se va a integrar y \(u\) es la parte que se va a derivar.

Siendo \(u:3x\) y \(dv: e^{x} dx\)

Derivar u

\(u:3x\)

\(du: 3 dx\)

Integrar dv

\(dv: e^{x} dx\)

\(v: \int e^{x} dx\)

\(v: e^{x} + C\)

Siendo \((u:3x)\); \((du: 3 dx)\); \((dv: e^{x} dx)\) y \((v: e^{x} + C)\)

Se organiza en la estructura:

\[\int u dv= u v - \int vdu\] \[\int 3x e^{x} dx= 3xe^{x} - \int e^{x}3 dx \] \[{\color{DarkRed}{\int3xe^{x}dx=3xe^{x}-3e^{x}dx}}\]

1. \(\int x e^{x}dx\)

2. \(\int x^{2}ln x dx\)

3*. \(\int x^{2} \sin x dx\)