rm(list=ls())

Valuación de Bonos

Conceptos Previos :

  • Spot rate (\(r_{t}\)) : Es la tasa de interes para el periodo (0,\(t\)).
  • Forward rate (\(f_{t,T}\)): Es la tasa de interés para el periódo (\(t\),\(T\)) determinado en el periódo 0.

Ausencia de arbitraje implica:

\[ (1+r_{t})^{t} \times (1+f_{t,T})(T-t)=(1+r_{T})^T \]

Bond pricing

El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente de los flujos de caja esperados .La tasa de interés o la tasa de descuento usado para calcular el valor presente depende del retorno ofrecido de valores comparables en el mercado.

Bonos sin opciones

El valor de este bono es el valor presente de los flujos de caja esperados .Para valorar el bono necesitamos información acerca de los flujos de caja como tambien de la tasa de descuento.

  • Coupon rate

  • Par value or face value

  • Years to maturity

  • Payment period ( usualmente semianuales)

  • Yield -to maturity (YTM) , en el caso de un bono nuevo en el cual no hay un YTM predefinido , se usa un yield requerido que depende de las características de riesgo asociado al emisor.

Valuación de un bono

Tenemos un bono con las siguientes características:

  • Coupon rate = 5%

  • Par value = $1000

  • Years to maturity = 10 years

  • Payment period = anual

  • YTM =8%

Flujo de caja

library(tidyverse)
## Warning: package 'tidyverse' was built under R version 4.1.3
## -- Attaching packages --------------------------------------- tidyverse 1.3.1 --
## v ggplot2 3.3.5     v purrr   0.3.4
## v tibble  3.1.4     v dplyr   1.0.7
## v tidyr   1.1.3     v stringr 1.4.0
## v readr   2.0.1     v forcats 0.5.1
## -- Conflicts ------------------------------------------ tidyverse_conflicts() --
## x dplyr::filter() masks stats::filter()
## x dplyr::lag()    masks stats::lag()
##install.packages("printr",type="source",repos=c("http://yihui.name/xran"))
##install.packages("pander")
library(pander)
## Warning: package 'pander' was built under R version 4.1.3
library(printr)
## Registered S3 method overwritten by 'printr':
##   method                from     
##   knit_print.data.frame rmarkdown
bond<-tibble(t=1:10,
             cupon=rep(50,10),
             value=c(rep(0,9),1000),
             cf=cupon+value,
             dcf=cf/(1+0.08)^t)
str(bond)
## tibble [10 x 5] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
##  $ t    : int [1:10] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
##  $ cupon: num [1:10] 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
##  $ value: num [1:10] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1000
##  $ cf   : num [1:10] 50 50 50 50 50 50 50 50 50 1050
##  $ dcf  : num [1:10] 46.3 42.9 39.7 36.8 34 ...
bond%>%pander()
t cupon value cf dcf
1 50 0 50 46.3
2 50 0 50 42.87
3 50 0 50 39.69
4 50 0 50 36.75
5 50 0 50 34.03
6 50 0 50 31.51
7 50 0 50 29.17
8 50 0 50 27.01
9 50 0 50 25.01
10 50 1000 1050 486.4

Valor del bono

value<-sum(bond["dcf"])
value
## [1] 798.6976

El valor del bono es :

\[ B_0=$50 \left( \frac{1-\frac{1}{1.08^{10}}}{0.08} \right) +\frac{$1000}{1.08^{10}}=$798.69 \]

Muchos de los cupones de los bonos se pagan seminualmente .Sin embargo ,las tasas siempre se cotizan anualmente.Esto quiere decir que el periodo del bono es de 6 meses ,y el coupon rate por periodo es \(\frac{8\%}{2}=4\%\) .Si el YTM es 4% , el valor del bono sería: \[ B_0=$25 \left( \frac{1-\frac{1}{1.04^{10}}}{0.04} \right) +\frac{$1000}{1.04^{10}}=$796.14 \]

bond1<-tibble(t=1:20,
             cupon=rep(25,20),
             value=c(rep(0,19),1000),
             cf=cupon+value,
             dcf=cf/(1+0.04)^t)
bond1%>%pander()
t cupon value cf dcf
1 25 0 25 24.04
2 25 0 25 23.11
3 25 0 25 22.22
4 25 0 25 21.37
5 25 0 25 20.55
6 25 0 25 19.76
7 25 0 25 19
8 25 0 25 18.27
9 25 0 25 17.56
10 25 0 25 16.89
11 25 0 25 16.24
12 25 0 25 15.61
13 25 0 25 15.01
14 25 0 25 14.44
15 25 0 25 13.88
16 25 0 25 13.35
17 25 0 25 12.83
18 25 0 25 12.34
19 25 0 25 11.87
20 25 1000 1025 467.8 
value1<-sum(bond1["dcf"])
value1
## [1] 796.1451

Función bondprice

bondprice<-function(rcupon,par,years,pp,yield){
            n<-years * pp
           df<-tibble(t=1:n,
                      cupon=rcupon*par/pp,
                      value=c(rep(0,n-1),par),
                      cf=cupon+value,
                      dcf=cf/(1+yield/pp)^t)
price<-sum(df['dcf'])
return(list(price,df))

}

Ejemplo 1 :

Tenemos un bono con las siguientes características:

  • Coupon rate = 5%

  • Par value = $100

  • Years to maturity = 10 years

  • Payment period = semiannual

  • YTM =8%

rcupon<-0.05
par<-100
years<-10
pp<-2
yield<-0.04
m<-bondprice(rcupon,par,years,pp,yield)
m[1]
## [[1]]
## [1] 108.1757

Ejemplo 2 :

Tenemos un bono con las siguientes características:

  • Coupon rate = 8%

  • Par value = $100

  • Years to maturity = 5 years

  • Payment period = semiannual

  • YTM =5%

    bondprice(0.08,100,5,2,0.05)[1]
    ## [[1]]
## [1] 113.1281
    m2=bondprice(0.08,100,5,2,0.05)
m2[2]%>%pander()
    • t cupon value cf dcf
      1 4 0 4 3.902
      2 4 0 4 3.807
      3 4 0 4 3.714
      4 4 0 4 3.624
      5 4 0 4 3.535
      6 4 0 4 3.449
      7 4 0 4 3.365
      8 4 0 4 3.283
      9 4 0 4 3.203
      10 4 100 104 81.24 
for(y in 1:10){
  yield<-y/100
  price<-bondprice(0.05,100,10,2,yield)[1]
  print(price)
}
## [[1]]
## [1] 137.9748
## 
## [[1]]
## [1] 127.0683
## 
## [[1]]
## [1] 117.1686
## 
## [[1]]
## [1] 108.1757
## 
## [[1]]
## [1] 100
## 
## [[1]]
## [1] 92.56126
## 
## [[1]]
## [1] 85.7876
## 
## [[1]]
## [1] 79.61451
## 
## [[1]]
## [1] 73.98413
## 
## [[1]]
## [1] 68.84447