OBJETIVO.
Estudiar la relación entre derivación e integración.
Analizar (nuevos) métodos y reglas para resolver integrales indefinidas.
Abordar diferentes aplicaciones.
CONOCIMIENTOS PREVIOS.
Ecuaciones
Inecuaciones
Dominio de una función
Derivada
UNIDAD 1: ANTIDERIVADA.
1.1 Antiderivación (integral indefinida)
1.2 Integración por sustitución (Antiderivación de una función compuesta)
1.3 Integrales de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
1.4 Integrales que conducen a funciones trigonométricas inversas
DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA
- Si \(f(x) = y,\) definimos la diferencial de \(y\) como \(dy = {f}'(x) \Delta x\) para un punto \(x\) donde \(f\) sea diferenciable. En igual forma se define \(d(x) = \Delta x\).
Por lo tanto \(f{}'(x)= \frac{dy}{\Delta x} = \frac{dy}{dx}\) (Como razón de números reales)
Ejemplo: Si \(y= f(x) =x^{2},\) entonces \(dy= f{}'(x)dx\) por lo tanto \(dy = 2x dx\)
Si \(y = f(x) = x,\) entonces \(dy = dx\)
DEFINICIÓN:
Antiderivada
- Una función \(F\) se denomina una antiderivada de \(f\) en un intervalo I si
\[F{}'(x) = f (x), \forall x \quad \in \quad I\] Ejemplo 1: sea \(f(x)= 3x + 2\), entonces \(F(x)= \frac{3}{2} x^2 + 2x\) es una antiderivada de \(f(x)\) dado que \[F{}'(x)= 3x + 2 = f(x)\]
Ejercicios:
Determine sus antiderivada.
sea \(f(x)= x^3 + 4x + 2\)
sea \(f(x)= 2x + 9\)
sea \(f(x)= 6x^3 + 5x + 4\)
sea \(f(x)= 2x + 2\)
sea \(f(x)= 5x + 4\)
NOTA= Las antiderivadas no son únicas por ejemplo \(g(x)= \frac{3}{2} x^2 + 2x + 3\) tambien es una antiderivada de \(f(x) = 3x + 2\)
TEOREMA
- Si \(F(x)\) es una antiderivada de \(f(x)\) entonces \(F(x) + c , \forall \quad c \quad \in \mathbb{R}\) es una antiderivada de \(f(x)\)
Ejemplo:
\(F(x)= 3x^4 + 2x^3 - x^2+ 5\) su función original es: \(f(x)=\)
\(F(x)= 5x^3 + 3x^2 - x + 3\) su función original es: \(f(x)=\)
\(F(x)= 2x^2 - 3x + 8\) su función original es: \(f(x)=\)
\(F(x)= 2x^4 + 2x^3 + 7\) su función original es: \(f(x)=\)
\(F(x)= x^2 - 3x + 4\) su función original es: \(f(x)=\)
INTEGRAL INDEFINIDA
Dada \(f(x)\) denotamos por \(\int f(x) \quad dx\) como el conjunto de todas las antiderivadas de \(f(x)\), es decir:
\(F(X) + c: F(X)\) es una antiderivada de \(f(x)\) y \(c \in {R}\)
La expresión \(\int f(x) dx\) se denomina integral indefinida \(f(x)\) y si \(F(x)\) es una antiderivada particular de $f(x), entonces.
\[\int f(x) dx = F(x) + c\]
Ejemplo: \[\int 3 x+ 2 dx = \frac{3}{2} x^2 + 2x + c \]
Derivadas vs Integrales
Derivadas vs Integrales
Derivadas vs Integrales
Derivadas vs Integrales
Derivadas vs Integrales
TEOREMAS O REGLAS DE LAS INTEGRALES.
Halle las siguientes Integrales
Integrales
Calcular las siguientes Integrales Indefinidas.
Integrales
