• Respuesta sugerida al caso sobre inferencia
• Diseño de Experimentos
• Análisis de Variables Categóricas
• Taller en Clase
• Modelo Lineal
• Poder estadístico en pruebas de hipótesis: Demo
• Break
• Sesión de trabajo en proyecto final (hasta el final de la sesión)

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• Generamos nuevas columnas con la información sobre la población objetivo.
• Sólo mujeres jefes de hogar
• Edad entre 25 y 40
• Estratos 1, 2 y 3

tbl <- table(jefes.mujeres$poblacionObjetivo,jefes.mujeres$P1359)
test <- prop.test(tbl)
tbl

    
     Inseguro Seguro
  No    10827  10888
  Si     4018   3331

test$p.value; test$conf.int

[1] 1.053683e-12

[1] -0.06141860 -0.03487262
attr(,"conf.level")
[1] 0.95

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Hasta ahora hemos venido haciendo inferencia con experimentos obsevacionales de muestreo y no con experimentos diseñados de muestreo.

Estudios Observacionales

• Poco control
• Simplemente se observa lo que se tiene

Experimentos Diseñados

• El analista intenta controlar los niveles de una o más variables, con el fin de determinar el efecto sobre la variable de interés
• Permiten inferir causa y efecto

• Variable de respuesta (también conocida como variable dependiente)
• Factores: variables cuyo efecto sobre la respuesta es el interés fundamental del diseñador (también llamadas variables independientes)
• Niveles de los factores: valores del factor usado en el experimento
• Tratamientos: Combinaciones factor-nivel usadas en el experimento
• Unidad experimental: objeto sobre el cual se observan las respuestas

El diseño más simple consiste en la selección completamente aleatoria de las unidades experimentales que representan cada tratamiento.

El objetivo de este tipo de experimentos is comparar las medias de cada tratamiento:

\[H_o:\mu_1=\mu_2=...=\mu_k\] \[H_a: \text{Al menos dos de las k medias difieren}\]

En esta hipótesis, comparamos las medias de las muestras aleatorias independientes (cada tratamiento).

• Tenemos 10 puntajes en una prueba, 5 correspondientes a hombres y 5 correspondientes a mujeres
• Queremos analizar si existen o no diferencias en los puntajes promedio para los dos grupos

Suma de Cuadrados de los Tratamientos (SST), o variación entre las medias de cada tratamiento

Calculada como la diferencia entre cada media de cada tratamiento y la media global (todos las unidades experimentales), elevada al cuadrado, multiplicado por el número de medidas en la muestra y sumados para cada tratamiento.

\[SST = 5(565.6-574.5)^2 + 5(583.4-574.5)^2 = 792.1\]

Suma de Cuadrados para el Error (SSE), o variabilidad muestral dentro de los tratamientos

Calculada al sumar la distancia cuadrada entre cada respuesta medida y su correspondiente media de tratamiento y luego sumando las diferencias al cuadrado para todas las medidas en la muestra completa. SSE se puede simplificar como:

\[SSE=(n_1 - 1){s_1}^2+(n_2 - 1){s_2}^2+...+(n_k - 1){s_k}^2\]

\[SSE = (5-1)(406.8) + (5-1)(552.8) = 3838.4\]

\[MST=\frac{SST}{k-1}=SST/(2-1)=792.1\] \[MSE=\frac{SSE}{n-k}=SSE/(10-2)=479.8\] \[F=\frac{MST}{MSE}=1.65\]

Se observa un estadístico F muy bajo, por lo que no es posible rechazar la \(H_0\). El F crítico para este caso es 4.96 (ver tabla F)

• Tenemos otros 10 puntajes en una prueba, 5 correspondientes a hombres y 5 correspondientes a mujeres
• Queremos analizar si existen o no diferencias en los puntajes promedio para los dos grupos

Suma de Cuadrados de los Tratamientos (SST), o variación entre las medias de cada tratamiento

Calculada como la diferencia entre cada media de cada tratamiento y la media global (todos las unidades experimentales), elevada al cuadrado, multiplicado por el número de medidas en la muestra y sumados para cada tratamiento.

\[SST = 5(556.4-571.8)^2 + 5(587.2-571.8)^2 = 2371.6\]

Suma de Cuadrados para el Error (SSE), o variabilidad muestral dentro de los tratamientos

Calculada al sumar la distancia cuadrada entre cada respuesta medida y su correspondiente media de tratamiento y luego sumando las diferencias al cuadrado para todas las medidas en la muestra completa. SSE se puede simplificar como:

\[SSE=(n_1 - 1){s_1}^2+(n_2 - 1){s_2}^2+...+(n_k - 1){s_k}^2\]

\[SSE = (5-1)(60) + (5-1)(93.2) = 616\]

\[MST=\frac{SST}{k-1}=SST/(2-1)=2371.6\] \[MSE=\frac{SSE}{n-k}=SSE/(10-2)=77\] \[F=\frac{MST}{MSE}=30.8\]

Se observa un estadístico F superior al valor crítico de 4.96, por lo que es posible rechazar la \(H_0\). Las medias son diferentes.

• Empleamos las funciones lm() y anova()

modelo <- lm(scores~genero,df)
anova(modelo)

Analysis of Variance Table

Response: scores
          Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
genero     1 2371.6  2371.6    30.8 0.0005411 ***
Residuals  8  616.0    77.0                      
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Diseño de bloques aleatorios:

• Agrupa las unidades experimentales en subconjuntos homogéneos (bloques) para luego aplicar (aleatoriamente) los tratamientos a cada subconjunto
• En el ejemplo de los estudiantes y sus puntajes, una posible agrupación (parejas de estudiantes) puede provenir de su colegio de origen y promedio acumulado.

Experimento Factorial Completo:

• En este diseño cada combinación factor-nivel es empleada, en otras palabras, el número de tratamientos en el experimento es igual al total de combinaciones factor-nivel

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• Tabla de una vía permite mirar las probabilidades de una categoría
• Tabla de dos vías permite analizar dos factores
• Pruebas Chi Cuadrado para pruebas de independencia entre variables

• Dos variables aleatorias son independientes si la distribución de probabilidad de una variable no se afecta por la presencia de la otra
• Para probar independencia (en variables categóricas) se emplea la prueba Chi Cuadrado
• Miremos un ejemplo (filas: fumador, columnas: ejercicio)

\(H_0: \text{Las dos clasificaciones son independientes}\) \(H_a: \text{Las dos clasificaciones son dependientes}\)

chisq.test(tbl)

    Pearson's Chi-squared test

data:  tbl
X-squared = 5.4885, df = 6, p-value = 0.4828

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• ¿Cuál es la mejor manera de predecir la altura de los niños, sin usar nada más que la información sobre alturas de los niños?
• El valor que se encuentra justo en la mitad de la distribución
• Definamos \(Y_i\) como la altura del niño \(i\) para \(i=1,...,n\). La mitad es el valor \(\mu\) que minimiza:
• \[\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \mu)^{2}\]
• El centro físico de masa del histograma. En otras palablas, \(\mu=\bar{Y}\)

Miremos un scatter plot

Ahora queremos explicar la altura del niño empleando la altura del padre, con una línea.

• Obligamos esa línea a pasar por el origen (por simplicidad, este no es el caso normalmente)
• Esa línea es sólo la pendiente, \(\beta\)
• Podemos encontrar la pendiente \(\beta\) que minimiza las distancias al cuadrado entre los datos observados y lo datos ajustados a la línea
• \[\sum_{i=1}^{n} (Y_i - X_{i}\beta)^{2}\]

(tomado de Brian Caffo: Introducción a la Regresión Lineal, JHU, 2015)

En R, podemos encontrar muy facilmente la solución empleando la función lm().

lm(I(child-mean(child))~I(parent-mean(parent))-1, data=galton)

## 
## Call:
## lm(formula = I(child - mean(child)) ~ I(parent - mean(parent)) - 
##     1, data = galton)
## 
## Coefficients:
## I(parent - mean(parent))  
##                   0.6463

• Datos centrados
• Datos escalados
• Datos normalizados

La correlación se define como:

\[Cor(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{S_xS_y}\]

Propiedades:

• \(Cor(X,Y)=Cor(Y,X)\)
• \(-1 \leq Cor(X,Y) \leq 1\)
• \(Cor(X,Y)=1\) o \(Cor(X,Y)=-1\) sólo cuando \(X\) y \(Y\) se ubican perfectamente en una recta con pendiente + o -
• \(Cor(X,Y)=0\) implica ausencia de cualquier relación lineal

# Empleando las fórmulas que minimizan la distancia al cuadrado:
y <- galton$child; x <- galton$parent
beta1 <- cor(y,x) * sd(y)/sd(x)
beta0 <- mean(y) - beta1*mean(x)
rbind(c(beta0,beta1), coef(lm(y~x)))

     (Intercept)         x
[1,]    23.94153 0.6462906
[2,]    23.94153 0.6462906

… la pendiente \(\beta_1\) será equivalente al coeficiente de correlación

yn <- (y-mean(y))/sd(y)
xn <- (x-mean(x))/sd(x)
c(cor(y,x), cor(yn,xn), coef(lm(yn~xn))[2])

##                            xn 
## 0.4587624 0.4587624 0.4587624

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• Poder Estadístico: Probabilidad de rechazar la \(H_O\) cuando ésta es falsa (poder estadístico es algo bueno, así que siempre queremos que sea alto)
• Error Tipo II (\(\beta\)): No rechazar \(H_O\) cuando es falsa
• Por lo tanto, \(Power=(1-\beta)\)

• Ver demo R (demo_power.R en Google Drive)

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