Matrices

Las matrices se pueden describir como un arreglo bidimensional de números, donde se identifica un número de filas y columnas.Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

\[\begin{equation*} A_{(fila , columna)} = A_{(n , k)} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nk} \end{pmatrix} \end{equation*}\]

x <-c(2,3,5,-5,3,3,-9,-2,0,8,-2,3)
M <-matrix(x,nrow=4,ncol=3)
M

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    3    0
## [2,]    3    3    8
## [3,]    5   -9   -2
## [4,]   -5   -2    3

#Creando a partir de vectores:
edad <- c(28,25,32,27,36,23)
estatura <- c(170,175,180,165,169,175)
peso <- c(75,80,95,80,75,68)
Z <-matrix(c(edad,estatura,peso), nrow=6,ncol=3)
Z

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   28  170   75
## [2,]   25  175   80
## [3,]   32  180   95
## [4,]   27  165   80
## [5,]   36  169   75
## [6,]   23  175   68

#Podemos agregar nombres a las filas y columnas
colnames(Z) <- c('Edad','Estatura','Peso')
rownames(Z) <- c('Juan','Pedro','Andrea','Melisa','Sara','Julio')
Z

##        Edad Estatura Peso
## Juan     28      170   75
## Pedro    25      175   80
## Andrea   32      180   95
## Melisa   27      165   80
## Sara     36      169   75
## Julio    23      175   68

Tipos de Matrices

Matriz Cuadrada

Una matriz cuadrada es toda matriz que tenga el mismo número de filas y columnas.

\[\begin{equation*} A_{(3,3)} = \begin{pmatrix} 7\hspace{0.5cm}6\hspace{0.5cm}0\\ 5\hspace{0.5cm}3\hspace{0.5cm}1\\ 2\hspace{0.5cm}2\hspace{0.5cm}1\\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

x <-c(7,5,2,6,3,2,0,1,1)
A <-matrix(x,nrow=3,ncol=3)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    7    6    0
## [2,]    5    3    1
## [3,]    2    2    1

Matriz Simétrica

Una matriz simétrica es una matriz de orden n con el mismo número de filas y columnas donde su matriz traspuesta es igual a la matriz original. \[ a_{(i,k)}=a_{(k,i)} \]

\[\begin{equation*} A_{(3,3)} = \begin{pmatrix} a_{11} \hspace{0.2cm} a_{12}\hspace{0.2cm} a_{13} \\ a_{21} \hspace{0.2cm}a_{22}\hspace{0.2cm} a_{23} \\ a_{31} \hspace{0.2cm}a_{32}\hspace{0.2cm} a_{33} \\ \end{pmatrix} \hspace{2.5cm} B_{(3,3)} = \begin{pmatrix} 5\hspace{0.2cm} 7\hspace{0.2cm} 10 \\ 7 \hspace{0.2cm}9 \hspace{0.2cm}8 \\ 10\hspace{0.2cm} 8 \hspace{0.2cm}15 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

x <-c(1,2,7,2,8,1,7,1,9)
A <-matrix(x,nrow=3,ncol=3)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    2    7
## [2,]    2    8    1
## [3,]    7    1    9

Matriz Diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas.

\[\begin{equation*} \Large{D_{(3,3)}=}\begin{bmatrix} 7 \hspace{0.2cm} 0\hspace{0.2cm} 0 \\ 0 \hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm} 0 \\ 0 \hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm} 8 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}\]

C1 <- c(7,0,0)
C2 <- c(0,6,0)
C3 <- c(0,0,8)
D <-matrix(c(C1,C2,C3), nrow=3,ncol=3)
D

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    7    0    0
## [2,]    0    6    0
## [3,]    0    0    8

Matriz Escalar

Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son el mismo escalar.

\[\begin{equation*} \Large{E_{(3,3)}=}\begin{bmatrix} 7 \hspace{0.2cm} 0\hspace{0.2cm} 0 \\ 0 \hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm} 0 \\ 0 \hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm} 7 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}\]

C1 <- c(7,0,0)
C2 <- c(0,7,0)
C3 <- c(0,0,7)
E <-matrix(c(C1,C2,C3), nrow=3,ncol=3)
E

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    7    0    0
## [2,]    0    7    0
## [3,]    0    0    7

Matriz Identidad

Una matriz identidad o unidad de orden n es una matriz cuadrada donde todos sus elementos son ceros (0) menos los elementos de la diagonal principal que son unos (1).

\[\begin{equation*} \Large{I_{(3)}=}\begin{bmatrix} 1 \hspace{0.2cm} 0\hspace{0.2cm} 0 \\ 0 \hspace{0.2cm}1\hspace{0.2cm} 0 \\ 0 \hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm} 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}\]

x <-c(1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1)
I <-matrix(x,nrow=4,ncol=4)
I

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    0
## [2,]    0    1    0    0
## [3,]    0    0    1    0
## [4,]    0    0    0    1

Matriz Triangular

Una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices.

\[\begin{equation*} \Large{P_{(3,3)}=}\begin{bmatrix} 2 \hspace{0.2cm} \color{red}0\hspace{0.2cm} \color{red}0 \\ 8 \hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm} \color{red}0 \\ 6 \hspace{0.2cm}9\hspace{0.2cm} 7 \end{bmatrix} \quad \text{(Matriz Triangular Inferior)} \end{equation*}\]\

\[\begin{equation*} \Large{Q_{(3,3)}=}\begin{bmatrix} 4 \hspace{0.2cm} 1\hspace{0.2cm} 6 \\ \color{red}0 \hspace{0.2cm} 5 \hspace{0.2cm} 8\\ \color{red}0 \hspace{0.2cm} \color{red}0 \hspace{0.2cm} 9 \\ \end{bmatrix} \quad \text{(Matriz Triangular Superior)} \end{equation*}\]

Operaciones con Matrices

Para que dos matrices sean iguales , estas deben tener el mismo número de columnas y filas, debido a que cada elementeo debe ser igual. Sea la matriz A igual a la matriz B si \(a_{(i,k)}=b_{(i,k)}\) \[\begin{equation*} A_{(2,2)}= \begin{bmatrix} 5\hspace{0.5cm} 7\\ 7 \hspace{0.5cm}9 \\ \end{bmatrix}\hspace{2cm} = \hspace{2cm} B_{(2,2)}=\begin{bmatrix} 5\hspace{0.5cm} 7\\ 7 \hspace{0.5cm}9 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}\]

Matriz Transpuesta

Se obtiene intercambiando el orden de la fila con el de la columna de cada elemento generando una nueva matriz. Sea una matriz A cuya transpuesta denominamos A’, donde el elemento \(a_{(i,k)}\) = \(a'_{(k,i)}\).

\[\begin{equation*} A_{(2,3)} \hspace{2cm} ; \hspace{2cm} A'_{(3,2)} \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} \Large{A_{(2,3)}=} \begin{bmatrix} \color{red}a_{11} \hspace{0.2cm} \color{red}b_{12}\hspace{0.2cm} \color{red}c_{13} \\ \color{blue}d_{21} \hspace{0.2cm}\color{blue}e_{22}\hspace{0.2cm} \color{blue}f_{23} \end{bmatrix} \Large{A'_{(3,2)}=}\begin{bmatrix} \color{red}a_{11} \hspace{0.2cm} \color{blue}d_{12}\\ \color{red}b_{21} \hspace{0.2cm} \color{blue}e_{22}\\ \color{red}c_{31}\hspace{0.2cm} \color{blue}f_{32} \end{bmatrix} \end{equation*}\]

a <-c(2,5,8,6,2,3)
A <-matrix(a,nrow=2,ncol=3)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    8    2
## [2,]    5    6    3

t(A)

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    5
## [2,]    8    6
## [3,]    2    3

Adición y Sustracción de Matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas.Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

\[\begin{equation*} \Large{A_{(i,k)} + B_{(i,k)} =C_{(i,k)}}\\ \Large{A_{(i,k)} - B_{(i,k)} =D_{(i,k)}}\\ \end{equation*}\]

a <-c(1,2,5,8,8,3)
A <-matrix(a,nrow=2,ncol=3)
b <-c(3,2,2,5,1,0)
B <-matrix(b,nrow=2,ncol=3)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    5    8
## [2,]    2    8    3

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    3    2    1
## [2,]    2    5    0

A+B

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    4    7    9
## [2,]    4   13    3

A-B

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   -2    3    7
## [2,]    0    3    3

Producto de Matrices

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda. \[ A_{({\color{blue}i},\color{red}j)}*B_{({\color{red}j},{\color{blue}n})}=C_{({\color{blue}i,n})} \] \[\begin{equation*} \Large{A_{({\color{red}2},{\color{blue}3})}=}\begin{bmatrix}\ \color{magenta}4 \hspace{0.2cm} \color{magenta}5\hspace{0.2cm} \color{magenta}2 \\ \color{purple}2 \hspace{0.2cm}\color{purple}3\hspace{0.2cm} \color{purple}1 \\ \end{bmatrix} \hspace{3cm} \Large{B_{{(\color{blue}3},{\color{red}2})}=} \begin{bmatrix} \color{green}2 \hspace{0.2cm} \color{brown}4\\ \color{green}7 \hspace{0.2cm} \color{brown}1\\ \color{green}3\hspace{0.2cm} \color{brown}5 \end{bmatrix} \end{equation*}\]\end{equation*} \[\begin{equation*} \Large{AB_{{\color{blue}(2,2)}}=} \begin{bmatrix} {\color{magenta}4} *{\color{green}2} + {\color{magenta}5} * {\color{green}7} + {\color{magenta}2} * {\color{green}3} _{(1,1)} \hspace{2cm} {\color{magenta}4} *{\color{brown}4} + {\color{magenta}5} * {\color{brown}1} + {\color{magenta}2} *{\color{brown}5} _{(1,2)} \\ {\color{purple}2} *{\color{green}2} + {\color{purple}3} * {\color{green}7} + {\color{purple}1} * {\color{green}3}_{(2,1)} \hspace{2cm} {\color{purple}2} *{\color{brown}4} + {\color{purple}3} * {\color{brown}1} + {\color{purple}1} * {\color{brown}5} _{(2,2)} \end{bmatrix} \end{equation*}\] \[\begin{equation*} {AB_{{\color{blue}(2,2)}}=}\begin{bmatrix} 49 \hspace{2cm} 31\\ 28\hspace{2cm}16 \end{bmatrix} \end{equation*}\]

a <-c(4,2,5,3,2,1)
A <-matrix(a,nrow=2,ncol=3)
b <-c(2,7,3,4,1,5)
B <-matrix(b,nrow=3,ncol=2)

A%*%B

##      [,1] [,2]
## [1,]   49   31
## [2,]   28   16

Producto Interno

Sea Y un vector \(nx1\) \[\begin{equation*} \Large{Y_{(n,1)}=} \begin{bmatrix} Y_{1,1}\\ Y_{2,1} \\ \vdots\\ Y_{n,1} \end{bmatrix} \Large{Y'_{(1,n)}=}\begin{bmatrix} Y_{1,1} & Y_{1,2} & \dots & Y_{1,n} \end{bmatrix} \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} Y'_{({\color{red}1},n)} Y_{(n,{\color{red}1})} = (Y_{1,1}'*Y_{1,1}) + (Y_{1,2}'*Y_{2,1}) + \dots + (Y_{n,1}'*Y_{1,n}) \\ Y'Y_{({\color{red}1,\color{red}1})}= Y_{1}^2 + Y_{2}^2 + \dots + Y_{n}^2 \\ Y'Y_{({\color{red}1,\color{red}1})}=\sum^{n}_{{i=1}} Y_i^2 \end{equation*}\]

y <-c(5,3,4,9,6,2,2)
Y <- cbind(y)
Y

##      y
## [1,] 5
## [2,] 3
## [3,] 4
## [4,] 9
## [5,] 6
## [6,] 2
## [7,] 2

t(Y)%*%Y

##     y
## y 175

Producto Externo

\[\begin{equation*} \LARGE{Y_{({\color{red}n},1)}}Y'_{(1,{\color{red}n})} = YY'_{({\color{red}n,\color{red}n})} = \begin{bmatrix} {\color{red}Y_{1}^2} \hspace{1cm} Y_{1}Y_{2} \hspace{1cm} \dots \hspace{1cm} Y_{1}Y_{n} \\ Y_{2}Y_{1} \hspace{1cm} {\color{red}Y_{2}^2} \hspace{1cm} \dots \hspace{1cm} Y_{2}Y_{n} \\ \vdots \hspace{2.5cm} \vdots \hspace{1.5cm} \ddots \hspace{1.8cm} \vdots\\ Y_{n}Y_{1} \hspace{1cm} Y_{n}Y_{2} \hspace{1cm} \dots \hspace{1cm} {\color{red}Y_{n}^2} \end{bmatrix} \end{equation*}\]

y <-c(5,3,4,9,6,2,2)
Y <- cbind(y)
Y

##      y
## [1,] 5
## [2,] 3
## [3,] 4
## [4,] 9
## [5,] 6
## [6,] 2
## [7,] 2

Y%*%t(Y)

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
## [1,]   25   15   20   45   30   10   10
## [2,]   15    9   12   27   18    6    6
## [3,]   20   12   16   36   24    8    8
## [4,]   45   27   36   81   54   18   18
## [5,]   30   18   24   54   36   12   12
## [6,]   10    6    8   18   12    4    4
## [7,]   10    6    8   18   12    4    4

Suma de Elementos

Sea el vector columna \(i\):

\[\begin{equation*} \Large{i_{(n,1)}=} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots\\ 1 \end{bmatrix} \hspace{0.5cm} \LARGE{i'_{(1 , n)}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots 1 \end{bmatrix} \end{equation*}\]

Para hallar la suma de elementos del vector columna Y:

\[\begin{equation*} \LARGE{Y_{(n , 1)}} = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n} \end{bmatrix} \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} \Large{i'_{({\color{red}1},n)} Y_{(n,{\color{red}1})} = (y_{1}*1) + (y_{2}*1) + \dots + (y_{n}*1) =\sum^{n}_{{i=1}} Y_i } \end{equation*}\]

y<- c(2,3,5,8,4,3,2,1)
i<- matrix(1,nrow=8,ncol=1)
Y<- cbind(y)
Y

##      y
## [1,] 2
## [2,] 3
## [3,] 5
## [4,] 8
## [5,] 4
## [6,] 3
## [7,] 2
## [8,] 1

##      [,1]
## [1,]    1
## [2,]    1
## [3,]    1
## [4,]    1
## [5,]    1
## [6,]    1
## [7,]    1
## [8,]    1

t(i)%*%Y

##       y
## [1,] 28

#Otra forma de hallar la suma de un vector es:
sum(Y)

## [1] 28

Matriz Idempotente

Desviaciones respecto a la Media:

Recordemos \(\bar{x}\):

\[\begin{equation*} i\bar{x}= i \frac{1}{n}i'x \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} \begin{bmatrix} \bar{x}\\ \bar{x}\\ \vdots \\ \bar{x} \end{bmatrix} = \underbrace{{\frac{1}{n}} \;i\;i'}_{MATRIZ_{(n,n)}}\;x \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} [x-\bar{x}] = [x- {\frac{1}{n}}ii'x] \end{equation*}\]

Recordemos \([X]=I[X]\)

\[\begin{equation*} [IX - {\frac{1}{n}}ii'X] \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} [I - {\frac{1}{n}}ii']X \\ M^ºX \end{equation*}\] La Matriz idempotente tiene como diagonal \(1-1/n\) y fuera de la diagonal \(-1/n\)

i <-matrix(1,nrow=3,ncol=1) 
identidad <-c(1,0,0,0,1,0,0,0,1)  
I <-matrix(identidad,nrow=3,ncol=3)
iit= i%*%t(i) / 3
Mº= (I-iit)
Mº #Matriz Idempotente

##            [,1]       [,2]       [,3]
## [1,]  0.6666667 -0.3333333 -0.3333333
## [2,] -0.3333333  0.6666667 -0.3333333
## [3,] -0.3333333 -0.3333333  0.6666667

i  #Matriz de unos

##      [,1]
## [1,]    1
## [2,]    1
## [3,]    1

I  #Matriz Identidad

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1

Propiedades:

Mº es simétrica.

MºMº = Mº

Mº’Mº = Mº

Para una variable X la suma de cuadrado de desviaciones es: \[\begin{equation*} \Large{ \sum (X_{i}-\bar{X})^2 = \sum (X_{i}^2 - 2 \bar{X}X_{i}+\bar{X}^2) = (\sum X_{i}^2) - n\bar{X}^2 } \end{equation*}\]

En términos matriciales: \[\begin{equation*} \sum (X_{i}-\bar{X})^2 = (X_{i}-\bar{X}) ' (X_{i}-\bar{X}) \\ \end{equation*}\] \[\begin{equation*} (M^{\circ}X)'(M^{\circ}X) \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} X'Mº'MºX \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} X' M^{\circ}X \end{equation*}\]

x<-c(8,4,6)
X<- cbind(x)
XtMX = t(X)%*%Mº%*%X
XtMX

##   x
## x 8

Podemos construir una Matriz de Suma de Cuadrados y Productos Cruzados de desviaciones respecto de las medias para dos vectores \(X\) e \(Y\).

\[\begin{equation*} \sum(X_{i}-\bar{X}) (Y_{i}-\bar{Y})=(M^{\circ}X)'(M^{\circ}Y) \end {equation*}\]

\[\begin{bmatrix} \sum(X_{i}-\bar{X})^2 \hspace{2cm} \sum(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})\\ \sum(Y_{i}-\bar{Y})(X_{i}-\bar{X})\hspace{2cm} \sum(Y_{i}-\bar{Y})^2 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} X'M^{\circ}X \hspace{2cm} X'M^{\circ}Y\\ Y'M^{\circ}X\hspace{2cm} Y'M^{\circ}Y \end{bmatrix}\]

y <-c(2,3,4)
Y <-cbind(y)

a11 <- t(X)%*%Mº%*%X
a21 <- t(Y)%*%Mº%*%X
a12 <- t(X)%*%Mº%*%Y
a22 <- t(Y)%*%Mº%*%Y

spc <- c(a11,a21,a12,a22)
SPC <- matrix(spc,nrow = 2, ncol = 2 )
SPC

##      [,1] [,2]
## [1,]    8   -2
## [2,]   -2    2

Determinante e Inversa de una Matriz

El uso de determinantes simplifica de forma muy notable la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, se aplican propiedades generales que permiten acometer la discusión y la resolución de tales sistemas mediante un procedimiento riguroso.Es una prueba de inversibilidad de matrices, para ello se trabaja con matrices cuadradas.

a <- c(1,2,8,6,1,5,2,3,8,4,9,5,2,0,7,4)
A <- matrix(a,nrow = 4, ncol=4)
A

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    1    8    2
## [2,]    2    5    4    0
## [3,]    8    2    9    7
## [4,]    6    3    5    4

det(A) # Determinante de la Matriz A

## [1] 39

solve(A) # Inversa de la Matriz A

##            [,1]       [,2]       [,3]      [,4]
## [1,]  1.4615385 -1.8205128 -3.0256410  4.564103
## [2,] -1.0769231  1.3589744  1.9487179 -2.871795
## [3,]  0.6153846 -0.5384615 -0.9230769  1.307692
## [4,] -2.1538462  2.3846154  4.2307692 -6.076923

Resumen

# Resumen y otras funciones

#Podemos crear una matriz a través de la unión de vectores columna
a1 <- c(3,2,5,8,6)
a2 <- c(8,7,3,9,3)
a3 <- c(3,4,1,6,6)
a4 <- c(9,3,1,4,0)
a5 <- c(1,2,0,8,2)

A <-cbind(a1,a2,a3,a4,a5)
A

##      a1 a2 a3 a4 a5
## [1,]  3  8  3  9  1
## [2,]  2  7  4  3  2
## [3,]  5  3  1  1  0
## [4,]  8  9  6  4  8
## [5,]  6  3  6  0  2

#Podemos crear una matriz a través de la unión de vectores fila

b1 <- c(0,1,0,1,3)
b2 <- c(1,7,2,2,1)
b3 <- c(2,9,3,5,4)
b4 <- c(9,5,3,4,7)
b5 <- c(6,2,7,6,8)

B <-rbind(b1,b2,b3,b4,b5)
B

##    [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## b1    0    1    0    1    3
## b2    1    7    2    2    1
## b3    2    9    3    5    4
## b4    9    5    3    4    7
## b5    6    2    7    6    8

dim(A)      # Dimensión de la Matriz A

## [1] 5 5

nrow(A)     # Número de filas de la Matriz A

## [1] 5

ncol(A)     # Número de columnas de la Matriz A

## [1] 5

t(A)        # Transpuesta de la Matriz A

##    [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## a1    3    2    5    8    6
## a2    8    7    3    9    3
## a3    3    4    1    6    6
## a4    9    3    1    4    0
## a5    1    2    0    8    2

solve(A)    # Inversa de la Matriz A

##           [,1]        [,2]       [,3]        [,4]        [,5]
## a1  0.01483680 -0.13395507  0.1708351  0.02437474  0.02903773
## a2 -0.10089021  0.28232302  0.1526070 -0.02289106 -0.14031369
## a3  0.04451039  0.02670623 -0.2017804 -0.06973294  0.22997033
## a4  0.18397626 -0.20389996 -0.1102162  0.01653243  0.04578211
## a5 -0.02670623 -0.10173802 -0.1360746  0.17041119 -0.06655362

det(A)      # Determinante de la Matriz A

## [1] -4718

qr(A) $rank     # Rango de la Matriz A

## [1] 5

eigen(A)    # Valores y Vectores Propios de la Matriz A

## eigen() decomposition
## $values
## [1] 20.689373+0.00000i -1.421612+5.02616i -1.421612-5.02616i -3.344927+0.00000i
## [5]  2.498778+0.00000i
## 
## $vectors
##              [,1]                  [,2]                  [,3]           [,4]
## [1,] 0.5470483+0i  0.4984887-0.1445515i  0.4984887+0.1445515i -0.52637480+0i
## [2,] 0.3359223+0i  0.0602646+0.1409489i  0.0602646-0.1409489i -0.27325187+0i
## [3,] 0.2240521+0i -0.1906021-0.4224541i -0.1906021+0.4224541i  0.70602430+0i
## [4,] 0.6684371+0i -0.0883510+0.3649339i -0.0883510-0.3649339i  0.38400538+0i
## [5,] 0.3014745+0i -0.5927362+0.0000000i -0.5927362+0.0000000i -0.04829652+0i
##                [,5]
## [1,] -0.32435065+0i
## [2,]  0.69826988+0i
## [3,] -0.05134298+0i
## [4,] -0.55000813+0i
## [5,] -0.31948518+0i

diag(A)     # Diagonal de la Matriz A

## [1] 3 7 1 4 2

sum(diag(A))    # Traza de la Matriz A

## [1] 17

rowSums(A)  # Suma de filas de la Matriz A

## [1] 24 18 10 35 17

colSums(A)  # Suma de columnas de la Matriz A

## a1 a2 a3 a4 a5 
## 24 30 20 17 13

rowMeans(A) # Media de las filas de la Matriz A

## [1] 4.8 3.6 2.0 7.0 3.4

colMeans(A) # Media de las columnas de la Matriz A

##  a1  a2  a3  a4  a5 
## 4.8 6.0 4.0 3.4 2.6

diag(1,3,3) # Matriz Identidad 3x3

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1

A%*%B       # Producto de Matrices

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  101  133   59   76  100
## [2,]   54  106   49   60   66
## [3,]   14   40   12   20   29
## [4,]  105  161  104  120  149
## [5,]   27   85   38   54   61

rbind(A,B)  # Unir por filas de las matrices

##    a1 a2 a3 a4 a5
##     3  8  3  9  1
##     2  7  4  3  2
##     5  3  1  1  0
##     8  9  6  4  8
##     6  3  6  0  2
## b1  0  1  0  1  3
## b2  1  7  2  2  1
## b3  2  9  3  5  4
## b4  9  5  3  4  7
## b5  6  2  7  6  8

cbind(A,B)  # Unir por columnas de las matrices

##    a1 a2 a3 a4 a5          
## b1  3  8  3  9  1 0 1 0 1 3
## b2  2  7  4  3  2 1 7 2 2 1
## b3  5  3  1  1  0 2 9 3 5 4
## b4  8  9  6  4  8 9 5 3 4 7
## b5  6  3  6  0  2 6 2 7 6 8