Distribuciones

Distribuciones

?Distributions 

Distribuciones continuas:

• Normal distribution: dnorm().

• Student’s t distribution: dt().

• Exponential distribution: dexp().

• Uniform distribution: dunif().

• Weibull distribution: dweibull().

• Beta distribution: dbeta().

• Cauchy distribution: dcauchy().

• Chi-squared distribution: dchisq().

• F distribution: df().

• Gamma distribution: dgamma().

• log-normal distribution: dlnorm().

Distribuciones discretas:

• Binomial (including Bernoulli) distribution: dbinom.

• Geometric distribution: dgeom.

• Hypergeometric distribution: dhyper.

• Multinomial distribution: dmultinom.

• Negative binomial distribution see dnbinom.

• Poisson distribution: dpois.

Distribuciones discretas

Bernoulli

\[ f(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}I_{\{0,1\}}(x) \]

Nsim<-1000
p<-0.5

mus<-rbinom(Nsim,size=1,prob=p)


mean(mus)

> [1] 0.518

dotchart(mus)

# Matriz de datos

Nobs<-1000

Muestras<-500
p<-0.5

dat<-matrix(0,Nobs,Muestras)

for(i in 1:Muestras)
  {
     dat[,i]<-  rbinom(Nobs,size=1,prob=p)
 }


mean_dat<-apply(dat,2,mean)

length(mean_dat)

> [1] 500

hist(mean_dat)

mean(mean_dat)

> [1] 0.499048

var(mean_dat)

> [1] 0.0002354807

Binomial

• rbinom(n, size, prob): muestra aleatoria

• dbinom(x, size, prob, log = FALSE): pdf \(f_{X}(x)\)

• pbinom(q, size, prob): cdf \(F_{X}(x)\)

La pmf de la Binomial,está dada por

\[ f(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \] donde \(x=0,1,2,...\)

Nobs<-1000

# Parámetros

n<-30
p<-0.5

set.seed(100)   # fijas la semilla

muestra<-rbinom(Nobs,size=n,prob=p)  # Genera una muestra de una binomial

length(muestra)

> [1] 1000

hist(muestra, main="Muestra de una Binomial")

max(muestra)

> [1] 24

Distribución del promedio de muestras Binomial

Muestras<-500
Nobs<-1000

# Parámetros
n<-30
p<-0.5

dat<-matrix(0,Nobs,Muestras)

for(i in 1:Muestras)
  {
     set.seed(i)
     dat[,i]<-rbinom(Nobs,size=n,prob=p)
 }

View(dat)

mean_dat<-apply(dat,2,mean)
hist(mean_dat)

Poisson

Distribución Poisson

\[ f(x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!} \]

Nobs<-1000

lam<-3

set.seed(100)
mus<-rpois(Nobs,lam)

hist(mus,
     col="purple",
     main="Muestra de una Poisson")

La suma de variables aleatorias de una distribución \(Poisson(\lambda)\), tiene distribución Poisson con parámetro \(n\lambda\)

rm(list=ls()) # Elemina los objetos pasados
Muestras<-500

Nobs<-1000

# Parámetros

lam<-3

dat<-matrix(0,Nobs,Muestras)

for(i in 1:Muestras)
  {
     set.seed(i)
     dat[,i]<-rpois(Nobs,lam)
 }
View(dat)

dat_sum<-apply(dat,2,sum)

hist(dat_sum)

Geométrica

Nsim<-1000
p<-0.3

ms<-rgeom(Nsim,p)

hist(ms, main="Muestra de una Geométrica")

curve(dgeom(x,p),from=0,to=10, type="h", col="red", 
       main="pmf Geométrica", ylab = expression(f[X](x)))

Distribuciones continuas

Exponencial

\[ f(x)=\theta e^{-\theta x}I_{(0,\infty)}(x) \]

Nobs<-1000
# Parámetros

theta<-2

set.seed(100)
mues.exp<-rexp(Nobs,theta)


hist(mues.exp, freq=F, main=" D. Exponencial") # Histograma de la muestra 

curve(dexp(x, theta), add=T, from=min(mues.exp), to=max(mues.exp),
      col="blue") # Distribución exponencial

La suma v.a \(Exp(\theta)\), tiene distribución \(Gamma(n,\theta)\), es decir \(X_{1},...X_{n}\), entonces

\[ \sum_{i=1}^{n}X_{i}\sim Gamma(n,\theta) \]

rm(list=ls()) # Elemina los objetos pasados

N.Muestras<-500
Nobs<-1000
# Parámetros
theta<-2

dat_muestras<-matrix(0,Nobs,N.Muestras)

for(i in 1:N.Muestras)
  {
     set.seed(i)
  
     dat_muestras[,i]<-rexp(Nobs,theta) # D. Exp
}

View(dat_muestras)

dat_sum<-apply(dat_muestras,2,sum)

length(dat_sum)

> [1] 500

hist(dat_sum)

ks.test(dat_sum, "pgamma",Nobs,theta)

> 
>   Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
> 
> data:  dat_sum
> D = 0.050929, p-value = 0.1494
> alternative hypothesis: two-sided

hist(dat_sum, freq=F, main=expression(Gamma(n,theta))) # Histograma de la muestra 

curve(dgamma(x, Nobs, theta), add=T, from=min(dat_sum), to=max(dat_sum),
      col="purple") # Distribución exponencial

Si \(X_{1},...,X_{n}\) es una muestra aleatoria de una \(Exp(\theta)\), entonces \[ \bar{X} \sim Gamma(n,n\theta) \]

rm(list=ls()) # Elemina los objetos pasados

N.Muestras<-500
Nobs<-1000
# Parámetros
theta<-2

dat_muestras<-matrix(0,Nobs,N.Muestras)

for(i in 1:N.Muestras)
  {
     set.seed(i)
     dat_muestras[,i]<-rexp(Nobs,theta) # Genera valores de la D. Exp
   }
dat_mean<-apply(dat_muestras,2,mean) # Se trabaja sobre las columnas

length(dat_mean) # 500 datos

> [1] 500

hist(dat_mean)

p<-Nobs*theta
ks.test(dat_mean, "pgamma",Nobs,p)

> 
>   Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
> 
> data:  dat_mean
> D = 0.050929, p-value = 0.1494
> alternative hypothesis: two-sided

hist(dat_mean, freq=F, main="Gamma(n,n*theta)") # Histograma de la muestra 

curve(dgamma(x, Nobs, p), add=T, from=min(dat_mean), to=max(dat_mean),
      col="red") # Distribución Gamma

Distribución Cauchy

Sea \(X_{1},\ldots,X_{n}\) una muestra aleatoria de una distribución Cauchy, dada por \[ f(x)=\frac{1}{\pi\beta\left\{1+\left(\frac{x-\alpha}{\beta}\right)^{2}\right\}} \]

Nobs<-1000
alfa<-3
beta<-25

set.seed(100)

mues_cauchy<-rcauchy(Nobs,alfa,beta)

hist(mues_cauchy)

Bibliografía