Antecedentes

• Globalización y TIC’s
• Reformas Educativas
• Educación Media Superior (EMS)
• Educación a Distancia (EaD)
• Educación Media Superior a Distancia (EMSAD)

  • Coronavirus y confinamiento

  • Opción educativa auto-planeada

  • Programa Atención de Planteles Federales de Educación Media Superior con Estudiantes con Discapacidad (PAPFEMS)

EaD en México

• 1945: Creación del Instituto Federal de Capacitación del Magisterio (IFCM)

• 1971: Nace la Dirección General de Mejoramiento Profesional del Magisterio (DGMPM), como proyecto de formación continua del magisterio.

• 1972: En la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) nace el Sistema Universidad Abierta, ahora llamado Sistema de Universidad Abierta y Educación a Distancia.

• 1978: La institución da paso a la denominación de Dirección General de Capacitación y Mejoramiento Profesional del Magisterio.

EaD en México (cont.)

• 1978: La institución da paso a la denominación de Dirección General de Capacitación y Mejoramiento Profesional del Magisterio.

• 2008: Los Comités Interinstitucionales para la Evaluación de la Educación Superior (CIEES) evalúan las primeras licenciaturas a distancia.

• 2014: Fueron aceptados por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt) los posgrados en modalidad a distancia.

• 2018: Cambia el nombre a Centro de Actualización en la Ciudad de México.

Modelación en biomatemáticas

La modelación es un intento por describir, de manera precisa, el entendimiento de los elementos de algún sistema de interés, sus posibles estados, y sus interaccciones con otros elementos.

En el contexto de la biología molecular de la célula un modelo puede describir algunos de los mecanismos involucrados en la transcripción, la traducción y los procesos de la regulación génica. A niveles más altos, un sistema puede describir el funcionamiento de algún tejido, órgano u organismos completos. En estudios de poblaciones, un sistema puede estar representando la evolución temporal y el comportamiento de la población o de organismos particulares.

Especies biológicas

• En aplicaciones en biología se utilizan términos algebraicos para representar especies de interés.

  Tabla 1. Representación algebraica de especies biológicas

  Especie	término
  Gen	g
  Ácido ribonucleico (ARN)	r
  Proteina	P

Reacciones bioquímicas

• Representación analítica de racciones bioquímicas en un sistema.

• Filas: reacciones bioquímicas de un proceso.

• Columnas: especies involucradas.

• Transcripción: \(g→g+r\)

• Traducción: \(r→r+P\) 

• Un evento de transcripción y uno de traducción

Matriz Pre

Matriz Post

Algoritmo de actualización

1. Se toma un vector,\(M_0\), que registra las cantidades iniciales de cada especie biológica al tiempo \(t=0\).

2. Se calcula la matriz de efecto neto del sistema \(A=Post-Pre\)

3. Se contruye la matriz de estequiometrías, \(S=A^T\), como la transpuesta de \(A\)

4. Se toma el vector \(r\) que indica las reacciones que ocurren a tiempo \(t=i\), (\(i=1,2,…\))

5. Se calcula el valor del nuevo estado del sistema como \(\tilde{M}=M+Sr\)

Actualización génica

Enfoque determinista

• Sistemas en bioloía se rige por leyes de reacción representadas por sistemas de ecuaciones diferenciales.
• Cuando son complicadas para resolverlas analíticamente, la solución se puede examinar numéricamente.
• Aplicar el método de Euler:

  • SIstema biológico: \(\frac{dX}{dt} = f(X)\),

  • Con \(f(X) = Sr(X)\),

  • \(X(t + ∆t) \approx X(t) + ∆tf (X(t))\).

Método de Euler

1. Iniciar sistema con condiciones inciciales \(t = 0\), tasas de reacción iniciales \(f(X(t))\) y números de moléculas para cada especie, \(X= (x_1 , x _2 , . . . , x_u)\).

2. Un \(\Delta t\) de tiempo es fijada

3. El tiempo al siguiente evento es \(t : = t + \Delta t\).

4. El siguiente evento es \(X = X + f(X(t)) \Delta t\).

5. Los valores para \(X\) y \(t\) se apilan en forma de lista.

6. Si \(t < T_{max}\), el algoritmo regrea al paso \(2\).

7. La salida de \(X\) y \(t\) se almacena como un arreglo de datos al salir del bucle.

Simulación estocástica

• Especies: \(X_1 , X_2 , . . . , X_u\).

• Reacciones: \(R_1 , R_2 , . . . , R_v\).

• Número de moléculas de \(X_i\) al tiempo \(t\): \(X_{it}\).

• Estado al tiempo \(t\): \(X_t = (X_{1t} , X_{2t} , . . . , X_{ut})^T\).

• Reacciones al tiempo \((0, t]\): \(R_t = (R_{1t} , . . . , R_{vt} )^T\).

• Actualización de estado: \(X_t − X_0 = SR_t\).

• Tasa de reacción combinada: \(h_0 (x, c) ≡ \sum_{i=1}^v h_i (x, c_i )\).

• Constantes tasas de reacción: \(c_1 , c _2 , . . . , c_v\)

• Moléculas por especie: \(x_1 , x _2 , . . . , x_u\).

Algoritmo de Gillespie

1. Función de riesgo \(h_i (x, c_i )\), \(i = 1, 2, . . . , v\).

2. Función de riesgo combinada \(h_0 (x, c) ≡ \sum_{i=1}^v h_i (x, c_i )\).

3. Cantidad \(Exp(h_0 (x, c))\) para \(t'\). \(t : = t + t'\) .

4. Cantidad discreta con probabilidades \(h_i (x, c_i ) / h_0 (x, c),\) para reacción \(j\).

5. El estado de \(x\) con reacción \(j\) es \(x : = x + S (j)\).

6. Los valores de \(x\) y \(t\) se apilan en una lista.

7. Si \(t < T_{max}\), el algoritmo regresa al paso \(2\).

8. La salida de \(x\) y \(t\) se almacenan en un arreglo de datos al salir del bucle.

Diseño de la app

Diseño de la aplicación shiny. Región A: encabezado. Región B: entrada de parámetros. Región C: salida gráfica.

Vista global

Vista global de la aplicación. Salida gráfica para los parámetros del modelo y análisis de simulación especificados.

Parámetros del modelo

Panel superior de la barra lateral. Introducción de los parámetros del modelo a simular.

Análisis de la simulación

Panel inferior de la barra lateral. Especificaciones de la simulación.

Modelo determinista

Salida gráfica del moodelo determinista.

Vista por especie. Determinista

Salida gráfica del moodelo determinista. Visualización por especie biológica.

Modelo estocástico

Salida gráfica del moodelo estocástico.

Vista por especie. Estocástico

Salida gráfica del moodelo estocástico. Visualización por especie biológica.

Resumen de la simulación

Salida gráfica de la simulación. Gráficas de las trayectorias y del histograma de las realizaciones son producidas para un especie biológicaespecificada.

Red genética auto-regulatoria

\(g + P_2 \leftarrow \rightarrow g · P_2 \,\ (\text{represión})\)

\(g \rightarrow g + r \,\ (\text{transcripción})\)

\(r \rightarrow r + P \,\ (\text{traducción})\)

\(2P \leftarrow\rightarrow P_2 \,\ (\text{dimerisación})\)

\(r \rightarrow ∅ \,\ (\text{degradación} \,\ \text{mRNA} )\)

\(P \rightarrow ∅ \,\ (\text{degradación} \,\ \text{proteína} )\).

Representación gráfica

Reacciones de la red genética auto-regulatoria (AR).

Prueba de la aplicación

• Delimitación por coma entre distintos elementos ingresados como parámetros.

• No dejar espacios en blanco entre los elementos.

• Delimitar un horizonte de tiempo para modelos estocásticos donde se generen probabilidades inválidas.

• Editar cada línea de ingreso y especificar la pestaña de salida gráfica, para luego refresacar la aplicación.

Aplicación en shiny

• Aplicación en shiny:

  https://randomverse.shinyapps.io/RV_int/

• Librería en R:

  https://github.com/jp-rgb/randomverse/blob/main/randomverse_0.1.0.tar.gz

  library(randomverse)

Sistema determinista

\(\frac{d[g\cdot P_2]}{dt} = k_1 [g] [P_2] - k_2 [g\cdot P_2]\)

\(\frac{d[g]}{dt} = k_2[g\cdot P_2] - k_1[g][P_2]\)

\(\frac{d[r]}{dt} = k_3[g]-k_7[r]\)

\(\frac{d[P]}{dt} = 2k_6[P] - 2k_5[P]^2 + k_4[r] - k_8[P]\)

\(\frac{d[P_2]}{dt} = k_2[g\cdot P_2]-k_1[g][P_2] + k_5[P]^2 - k_6[P]\).

Representación matricial

\(\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} [g\cdot P_2] \\ [g] \\ [r] \\ [P] \\ [P_2] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} k_1 [g] \\ [P_2] \\ k_2 [g\cdot P_2] \\ k_3[g] \\ k_4[r], \\ k_5[P]^2 \\ k_6[P] \\ k_7[r] \\ k_8[P] \end{bmatrix}\)

Versión determinista de la red genética auto-regulatoria.

Conversión de reacciones

\(f(c_i,x_j,p_{ij})=c_i\prod_{i=1}^n \binom{x_j}{p_{ij}}\).

Leyes de tasas estocásticas

\(h_1(x,c_1) = c_1gP_2\)

\(h_2(x,c_2) = c_2(g\cdot P_2)\)

\(h_3(x,c_3) = c_3g\)

\(h_4(x,c_4) = c_4r\)

\(h_5(x,c_5) = c_5(0.5)P(P-1)\)

\(h_6(x,c_6) = c_6P_2\)

\(h_7(x,c_7) = c_7r\)

\(h_8(x,c_8) = c_8P\)

• Estado inicial \(M = (0,1,2,10,12)^T\)

• Constantes de tasa: \(c = (1,10,0.01,10,1,1,0.1,0.01)^T\).

Una simulación de la dinámica estocástica discreta de la red genética auto-regulatoria.

Vista por especies de la red genética auto-regulatoria.

Vista ampliada

Vista de una realización del proceso de la red genética AR durante los primero 800 segundos.

Resultado simulación

Histograma y trayectoria media de la especie P (proteina) junto a sus bandas de confianza aproximadas basadas en 1,000 realizaciones.

Análisis de sensibilidad

Evolución temporal de las moléculas de P con un horizonte temporal de 17 segundos. El histograma muestra la distribución de probabilidad empírica al tiempo t=17 segundos, basada en 10,000 realizaciones.

• Estado inicial \(M = (0,1,0,0,0)^T\)

Direcciones futuras

• Una aplicación que permita reducir la dimensionalidad de este tipo de modelos y trabajar con leyes de conservación en sistemas biológicos.

• Una aplicación que utilice un algoritmo más robusto y eficiente para la generación de trayectorias. La aplicaciónpuede permitir alternar entre distintas metodologías e hipótesis en la modelación.

• Una aplicación que se alimente de datos de muestras de especies biológicas en algún sistema dinámico y lleve a cabo una estimación de los parámetros y poder simular escenarios.