Teoria de Optimización en Microeconomía
Utizando R
Introducción
En este artículo se trata una de los componentes importantes en la teoría microeconómica, optimización, atacaremos la optimización utilizando multiplicadores de Lagrange y para realizar nuestras simulaciones utilizaremos el paquete Rsolpn del lenguaje R. Sin perder la generalida de la tematica del articulo, nuestras funciones tendrán que ser funciones de utilidad acompañada de su función de restricción presupuestaria.
Principio de la Optimización
Maximización de la Utilidad
Un individuo que busca maximizar su utilidad, dado que tiene una cantidad fija de ingresos disponibles para gastar, comprará las cantidades de bienes que agoten todos sus ingresos y que mentalmente, representen una tasa de un intercambio cualquiera de dos bienes (la TMS) que sea igual a la tasa que les permita intercambiar uno de esos bienes por el otro en el mercado.
El supuesto de que es necesario que los individuos gasten todos sus ingresos para maximizar la utilidad es evidente. Dado que los bienes adicionales proporcionan más utilidad (no hay saciedad) y dado que los ingresos no tienen otro uso, el dejar ingresos sin gastar impediría maximizar la utilidad. Tirar el dinero no es una actividad que maximice la utilidad.
Restricción Presupuestaria
Supongamos que un individuo tiene I dólares para asignar entre el bien x y el bien y. Si p_x es el precio del bien x y p_y es el precio del bien y, entonces el individuo estará restringido por
p_xx + p_yy \leq I
Es decir, no puede gastar mas de I en los bienes en cuestión. La siguiente figura contiene una representación gráfica de esta restricción presupuestaria. Esta persona sólo se puede permitir elegir las combinaciones de x e y que estén dentro del triángulo sombreado de la figura.
Si gasta todo su ingreso en el bien x, entonces comprará I/p_x unidades de x. De otra forma, si gasta todo su ingreso en el bien y, entonces comprará I/p_y unidades de y. Puede notar facilmente que la pendiente de la restricción presupuestaria es -p_x/p_y. Esta pendiente muestra cómo el individuo puede cambiar y por x en el mercado. Si p_x = 2 y p_y = 1 entonces intercambiara dos unidades de y por una de x.
Condiciones de Orimer Orden para una Máximo
Podemos imponer la restricción presupuestaria de esta persona sobre el mapa de sus curvas de indiferencia para mostrar el proceso de maximización de la utilidad. El siguiente gráfico ilustra este procedimiento. El individuo no sería racional si eligiera un punto como el A; es decir, puede obtener un nivel de utilidad más alto con tan sólo gastar un poco más de la porción de sus ingresos que no ha gastado. El supuesto de que no hay saciedad implica que la persona debe gastar todos sus ingresos para obtener de ellos la utilidad máxima. Por otra parte, si la persona reasigna sus gastos podrá estar en mejor posición que en el punto B. El punto D queda descartado porque sus ingresos no son lo bastante altos como para adquirir D. Es evidente que la posición de máxima utilidad se encuentra en el punto C, en el cual elige la combinación x^*, y^*.
Este es el unico punto sobre la curva de indiferencia U_2 que puede adquirir con I dólares.; es decir, no puede adquirir un nivel más alto de utilidad. C es el punto de tangencia entre la restricción presupuestaria y la curva de indiferencia. Por ello, en el punto C, se cumple:
-\frac{p_x}{p_y} = -\frac{dy}{dx}
es decir, donde la pendiente de la restricción presupuestaria es igual a la Tasa marginal de sustitución.
Por lo tanto, podemos concluir: para alcanzar la utilidad máxima, el individuo debe gastar todos sus ingresos y la TMS debe ser igual a la tasa de precios de los bienes. El diagrama permite ver con claridad que si estas condiciones no se cumplen, entonces el individuo podrá estar en mejor posición si reasigna sus gastos.
Condiciones de Segundo Orden
La regla de la tangencia es tan sólo una de las condiciones necesarias para alcanzar el máximo. Para ver que no es una condición suficiente, analicemos el mapa de curvas de indiferencia que muestra la siguiente figura
En este caso, un punto de tangencia (C) es inferior a un punto sin tangencia (B). En realidad, el verdadero máximo es otro punto de tangencia (A). Aquí, podemos decir que el hecho de que la condición de la tangencia no produzca un máximo contundente se debe a la forma de las curvas de indiferencia de la figura previa.
Caso con n bienes
Podemos trasladar los resultados que hemos obtenido gráficamente para el caso de dos bienes directo al caso de n bienes. De nuevo, podemos demostrar que para obtener una solución interior de utilidad máxima, la TMS entre dos bienes cualesquier debe ser igual a la tasa de los precios de esos bienes. Sin embargo, para estudiar este caso, es más conveniente utilizar las matemáticas.
Condiciones de primer orden
Con n bienes, el objetivvo del individuo consiste en maximizar la utilidad que obtiene de estos n bienes:
utilidad = U(x_1,x_2, . . . , x_n)
Sujeta a la restricción presupuestaria:
I = p_1x_1 + p_2x_2 + . . . + P_nx_n
Si aplicamos las técnicas para maximizar una función sujeta a una restricción, escribimos la expresión del lagrangiano
L = U(x_1,x_2, . . . , x_n) + \lambda(I - p_1x_1 - p_2x_2 - . . . - p_nx_n)
Si hacemos que las derivadas parciales de L (respecto a x_1,x_2, . . . . , x_n y \lambda) sean igual a cero obtendremos n + 1 ecuaciones que representan las condiciones necesarias para alcanzar un máximo interior:
\begin{align*} \frac{\partial L}{\partial x_1} &=& \frac{\partial U}{\partial x_1} - \lambda p_1 = 0\\ \frac{\partial L}{\partial x_2} &=& \frac{\partial U}{\partial x_2} - \lambda p_2 = 0\\ &\vdots&\\ \frac{\partial L}{\partial x_n} &=& \frac{\partial U}{\partial x_n} - \lambda p_n = 0\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} &=& I - p_1x_1 - p_2x_2 - . . . - p_nx_n \end{align*}
Normalmente, podemos resolver estas n+1 ecuaciones para calcular las x_1,x_2, . . . , x_n óptimas y para \lambda .
Ejemplo
El Sr. B disfruta de los bienes x y y de acuerdo con la función de utilidad
U(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}
Maximice la utilidad del Sr. B si p_x = \$3, p_y = \$4, y tiene \$50 para gastar.
Dibuje la curva de indiferencia del Sr. B y su punto de tangencia dada la restricción de su presupuesto . ¿Qué dice la gráfica sobre el comportamiento del Sr. B? ¿Ha encontrado usted un auténtico máximo?