Sección 1

matA <- matrix(c(2,0,7,8,6,4,6,-2,0,7,9,2,6,5,4,-8), nrow = 4, byrow = TRUE)
matB <- matrix(c(2,0,-5,3,6,9,0,-2), nrow = 4 ,byrow = TRUE)
matC <- matrix(c(3,-3,6,9,4,0,-2,0), nrow =  2, byrow = TRUE)

Problema 1 - B´A

transMatB <- t(matB)
result1 = transMatB %*% matA

#      [,1] [,2] [,3] [,4]
# [1,]  -26   22   38   38
# [2,]    6   65   91   28

Problema 2 - 2A+5B

# mat2A <- 2*matA
# mat5B <- 5*matB
# result2 <- mat2A + mat5B
# No se pude sumar dado no tienen las mismas dimensiones [4,4] vs [4,2]

Problema 3 - 3BC+4A

mat3BC <- 3 * (matB %*% matC)  # mat3BC <- 3 * matB %*% matC = Mismo resultado
mat4A <- 4 * matA
result3 <- mat3BC + mat4A
#      [,1] [,2] [,3] [,4]
# [1,]   26  -18   64   86
# [2,]   15   61  -84 -143
# [3,]  162  -26   90  170
# [4,]    0   20   28  -32

Problema 4 - 5C´-6B

transmatC <- t(matC)
mat5transmatC <- 5 * transmatC
mat6B <- 6 * matB
result4 <- mat5transmatC - mat6B
#      [,1] [,2]
# [1,]    3   20
# [2,]   15  -18
# [3,]   -6  -64
# [4,]   45   12

Problema 5 - BA

# result5 <- matB %*% matA
# No se puede multiplicar dado el numero de columnas de la primera matriz no coincide con el numero de renglones de las segunda matriz. Si hubiera sido al reves, si se hubiera podido.

Sección 2

Determinar las matrices para expresarlas en formato AX = C

x <- "x"
y <- "y"
z <- "z"
w <- "w"

Ejericio a)

matA <- matrix(c(6,2,3,1), nrow = 2, byrow = TRUE)
matX <- matrix(c(x,y), nrow = 2, byrow = TRUE)
matC <- matrix(c(5,8), nrow = 2, byrow = TRUE)
# > matA
#      [,1] [,2]
# [1,]    6    2
# [2,]    3    1
# > matX
#      [,1]
# [1,] "x" 
# [2,] "y" 
# > matC
#      [,1]
# [1,]    5
# [2,]    8

Ejericio b)

matA <- matrix(c(4,5,10,6,2,5,5,3,0), nrow = 3, byrow = TRUE)
matX <- matrix(c(x,y,z), nrow = 3, byrow = TRUE)
matC <- matrix(c(0,12,9), nrow = 3, byrow = TRUE)

#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]    4    5   10
# [2,]    6    2    5
# [3,]    5    3    0
# > matX
#      [,1]
# [1,] "x" 
# [2,] "y" 
# [3,] "z" 
# > matC
#      [,1]
# [1,]    0
# [2,]   12
# [3,]    9

Ejericio c)

matA <- matrix(c(2,5,-8,4,6,0,9,-10,4,3,0,-9,7,0,-8,0), nrow = 4, byrow = TRUE)
matX <- matrix(c(x,y,z,w), nrow = 4, byrow = TRUE)
matC <- matrix(c(6,8,15,30), nrow = 4, byrow = TRUE)
#      [,1] [,2] [,3] [,4]
# [1,]    2    5   -8    4
# [2,]    6    0    9  -10
# [3,]    4    3    0   -9
# [4,]    7    0   -8    0
# > matX
#      [,1]
# [1,] "x" 
# [2,] "y" 
# [3,] "z" 
# [4,] "w" 
# > matC
#      [,1]
# [1,]    6
# [2,]    8
# [3,]   15
# [4,]   30

Sección 3

Verificar si las inversas de las siguientes matrices son correctas (Ver PDF tarea)

matA <- matrix(c(2,5,4,8), nrow = 2, byrow = TRUE)
matB <- matrix(c(2,4,0,-3,5,2,8,0,-2), nrow = 3, byrow = TRUE)
matC<- matrix(c(0,0,0,-5,1,1,1,0,0,2,0,1,6,0,1,1), nrow = 4, byrow = TRUE)

Ejericio a

solve(matA)
##      [,1]  [,2]
## [1,]   -2  1.25
## [2,]    1 -0.50
#La inversa del documento de la tarea es correcta

Ejericio b

solve(matB)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] -0.5  0.4  0.4
## [2,]  0.5 -0.2 -0.2
## [3,] -2.0  1.6  1.1
#La inversa del documento de la tarea es correcta

Ejericio c

solve(matC)
##       [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]  0.06 -0.2  0.1  0.2
## [2,]  0.10  0.0  0.5  0.0
## [3,] -0.16  1.2 -0.6 -0.2
## [4,] -0.20  0.0  0.0  0.0
#La inversa del documento de la tarea es correcta

Sección 4

Sea A una matrix con la forma siguiente y que cada elemento no sea igual a

#      [,1] [,2] [,3] [,4]
# [1,]  a11    0    0    0
# [2,]    0  a22    0    0
# [3,]    0    0  a33    0
# [4,]    0    0    0    a44

verificar que su resultado de inversa es como la siguiente forma

#      [,1] [,2] [,3] [,4]
# [1,]  1/a11    0    0    0
# [2,]    0  1/a22    0    0
# [3,]    0    0  1/a33    0
# [4,]    0    0    0    1/a44

Comprobar

matA1 <- matrix(c(1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1), nrow = 4, byrow = TRUE)
matA10 <- matrix(c(10,0,0,0,0,10,0,0,0,0,10,0,0,0,0,10), nrow = 4, byrow = TRUE)
matA123 <- matrix(c(123,0,0,0,0,123,0,0,0,0,123,0,0,0,0,123), nrow = 4, byrow = TRUE)
#Se cumple la aseveracion de las instrucciones 
solve(matA1)
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    0
## [2,]    0    1    0    0
## [3,]    0    0    1    0
## [4,]    0    0    0    1
#Se cumple la aseveracion de las instrucciones 
solve(matA10)
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]  0.1  0.0  0.0  0.0
## [2,]  0.0  0.1  0.0  0.0
## [3,]  0.0  0.0  0.1  0.0
## [4,]  0.0  0.0  0.0  0.1
#Se cumple la aseveracion de las instrucciones 
solve(matA123)
##             [,1]        [,2]        [,3]        [,4]
## [1,] 0.008130081 0.000000000 0.000000000 0.000000000
## [2,] 0.000000000 0.008130081 0.000000000 0.000000000
## [3,] 0.000000000 0.000000000 0.008130081 0.000000000
## [4,] 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0.008130081

Sección 5

verificar que la siguiente matriz es una raiz idempotente

matC <-  matrix(c(2,-2,-4,-1,3,4,1,-2,-3), nrow = 3, byrow = TRUE)

#     [,1] [,2] [,3]
# [1,]    2   -2   -4
# [2,]   -1    3    4
# [3,]    1   -2   -3

matC %*% matC 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2   -2   -4
## [2,]   -1    3    4
## [3,]    1   -2   -3
#Se comprueba que la matriz es idempotente dado es cuadrada y su cuadrado resulta en la misma matriz

Sección 6

Dar un ejemplo de una matriz A de orden 2x2 que no sea matriz cero (no todos sus elementos son ceros) y A^2 = 0

matC <- matrix(c(1,-.5,2,-1), nrow =  2, byrow = TRUE)
#      [,1] [,2]
# [1,]    1 -0.5
# [2,]    2 -1.0
matC %*% matC
##      [,1] [,2]
## [1,]    0    0
## [2,]    0    0
#Para poder lograr una dos por dos que de una matrix de ceros la segunda columna debe ser negativa e inversa al otro elemento de esa componente.

Sección 7

Determinar un valor de X par que la matriz sea singular.

#      [,1] [,2]
# [1,]    x   x+1
# [2,]    2   x+3
#ad -bc = x^2 + 3x - 2x -2 = x^2 + x - 2 **Resolver con formula general de ecuaciónes cuadraticas**
#x puede tomar el valor de 1 o -2 para que sea singular 

matA = matrix(c(1,1+1,2,1+3), nrow =  2, byrow = TRUE)
det(matA)
## [1] 0
#Dado el determinant es cero, la matriz es singular

Sección 8

Determinar las normas de los siguientes vectores

v1 <- c(2,-5)
norma1 <- sqrt(sum(v1^2))
# [1] 5.385165


v2 <- c(1,-2,8)
norma2 <- sqrt(sum(v2^2))
# [1] 8.306624

v3 <- c(2,5,-3,1,-1)
norma3 <- sqrt(sum(v3^2))
# [1] 6.324555

Sección 9

Encontrar los eigen valores y eigen vectores de las matrices A y B

matA <- matrix(c(1,2,3,0), nrow = 2, byrow = TRUE)
matA
##      [,1] [,2]
## [1,]    1    2
## [2,]    3    0
eigen(matA)
## eigen() decomposition
## $values
## [1]  3 -2
## 
## $vectors
##           [,1]       [,2]
## [1,] 0.7071068 -0.5547002
## [2,] 0.7071068  0.8320503
matB <- matrix(c(2,0,0,0,3,0,0,0,5), nrow = 3, byrow = TRUE)
matB
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    0    0
## [2,]    0    3    0
## [3,]    0    0    5
eigen(matB)
## eigen() decomposition
## $values
## [1] 5 3 2
## 
## $vectors
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    0    0    1
## [2,]    0    1    0
## [3,]    1    0    0