定常・非定常

時間によらず期待値，自己共分散が一定であるような 時系列データの性質を定常性（ていじょうせい；stationality）という。 定常性を持つ時系列を定常時系列という。 そうでないものを非定常時系列という。

定常時系列の例

定常時系列は期待値・自己共分散が一定である。 代表的な定常時系列データとしてホワイトノイズがある。

ホワイトノイズ

\(Y_1, Y_2,\cdots,Y_n\quad iid\sim {\sf N}(0, 1)\)
\(E(Y_t) = 0, Var(Y_t) = 1, Cor(Y_t, Y_{t-j}) = 0\quad \forall j\ne 0\)

px <- seq(as.POSIXct('2023-01-01 00:00:00'),
          as.POSIXct('2023-01-01 00:05:00'), by = 1)

y <- rnorm(n = length(px), mean = 0, sd = 1)

#cairo_pdf('white_noise.pdf')
matplot(x = px, y = y, type = 'o', pch = 1, col = 4,
        main = 'ホワイトノイズ', xlab = '時刻（分）', ylab = '値')

# Grid
px.g <- seq(as.POSIXct('2023-01-01 00:00:00'),
            as.POSIXct('2023-01-01 00:05:00'), by = 60)

abline(h = -3:3, v = px.g, col = 'gray', lty = 2, lwd = 0.5)
abline(h = 0, col = 2)

#dev.off()

平均やバラツキが一定である。

非定常時系列の例

1949〜1960年の月間航空旅客数のデータ 【R Core Team】Monthly Airline Passenger Numbers 1949-1960

px <- seq(as.POSIXct('1949-01-01 00:00:00'),
          as.POSIXct('1960-12-31 00:00:00'), by = 'months')

matplot(x = px, y = AirPassengers, type = 'o', pch = 1, col = 4,
        main = '月間航空旅客数', xlab = '年', ylab = '千人')

#Grid
px.g <- seq(as.POSIXct('1949-01-01 00:00:00'),
            as.POSIXct('1961-01-01 00:00:00'), by = 'years')
abline(h = seq(0, 700, 100), v = px.g, col = 'gray', lty = 2, lwd = 0.5)

上昇トレントがあり，バラツキもそれにつれて大きくなっている。