Sebelum lanjut membaca, Anda dapat terlebih dahulu mempelajari materi mengenai Uji Rata-rata Populasi di sini: Uji Rata-rata Populasi.

Uji Rata-rata Populasi Untuk Sampel Besar

Diberikan data rasio panjang-ke-lebar sampel tulang humerus sebagai berikut.

10.73 8.89 9.07 9.20 10.33 9.98 9.84 9.59
8.48 8.71 9.57 9.29 9.94 8.07 8.37 6.85
8.52 8.87 6.23 9.41 6.66 9.35 8.86 9.93
8.91 11.77 10.48 10.39 9.39 9.17 9.89 8.17
8.93 8.80 10.02 8.38 11.67 8.30 9.17 12.00
9.38

Lakukan pengujian apakah \(\mu\), yakni rata-rata populasi rasio panjang-ke-lebar, berbeda dari 8.5. Gunakan taraf signifikansi 0.1.

Solusi

Langkah-langkah pengujian hipotesis statistik untuk permasalahan tersebut adalah sebagai berikut.

  1. Tentukan hipotesis nol (\(H_0\)) dan hipotesis alternatif (\(H_1\))
    \(H_0:\mu=8.5\)
    \(H_1:\mu\neq8.5\)
    Perhatikan bahwa ini adalah kasus pengujian dua arah. Ukuran sampel besar (\(n=41\)), sehingga dilakukan pengujian rata-rata \(\mu\) untuk sampel besar \((n \ge 30)\).

  2. Tentukan taraf signifikansi (\(\alpha\))
    Digunakan taraf signifikansi \(\alpha=.1\).

  3. Daerah penolakan
    \(H_0\) ditolak jika:

  • \(|Z|>z_{\alpha/2}=z_{.005}\) yakni jika \(Z<-2.58\) atau \(Z>2.58\)
  • p-value \(<.1\).
    Daerah penolakan ( rejection region ) ditampilkan pada gambar berikut.
  1. Hitung statistik uji
    Untuk menghitung statistik uji, dapat dilakukan menggunakan R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
  1. Unduh dataset di sini: Data Rasio Panjang-ke-Lebar Tulang Humerus.
  2. Import dataset
mydata = read.table("path_to_file")
head(mydata)
##      V1
## 1 10.73
## 2  8.89
## 3  9.07
## 4  9.20
## 5 10.33
## 6  9.98
  1. Lakukan perhitungan statistik uji
t.test(mydata, mu = 8.5)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  mydata
## t = 4.0303, df = 40, p-value = 0.0002427
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 8.5
## 95 percent confidence interval:
##  8.877669 9.637453
## sample estimates:
## mean of x 
##  9.257561
  1. Keputusan
    Dari hasil perhitungan diperoleh p-value = 0.0002427. Karena p-value \(=0.0002<\alpha=.1\), maka \(H_0\) ditolak. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa rata-rata rasio panjang-ke-lebar semua tulang humerus dari spesies khusus ini secara signifikan berbeda dari 8.5.

Uji Rata-rata Populasi Untuk Sampel Kecil

Diberikan data kadar Benzena (ppm) dalam 20 sampel udara sebagai berikut.

0.21 1.44 2.54 2.97 0.00 3.91 2.24 2.41 4.50 0.15
0.30 0.36 4.50 5.03 0.00 2.89 4.71 0.85 2.60 1.26

Lakukan pengujian apakah \(\mu\), yakni rata-rata kadar benzena, lebih dari 1 ppm. Gunakan taraf signifikansi 5%. Asumsikan bahwa distribusi frekuensi relatif dari populasi kadar benzena untuk semua sampel udara berdistribusi normal.

Solusi

Langkah-langkah pengujian hipotesis statistik untuk permasalahan tersebut adalah sebagai berikut.

  1. Tentukan hipotesis nol (\(H_0\)) dan hipotesis alternatif (\(H_1\))
    \(H_0:\mu=1\)
    \(H_1:\mu>1\)

  2. Tentukan taraf signifikansi (\(\alpha\))
    Digunakan taraf signifikansi \(\alpha=.05\).

  3. Daerah penolakan
    Untuk \(\alpha=.05\) dan df \(=(n-1)=19\), \(H_0\) ditolak jika:

  • \(T>t_{.05}=1.729\)
  • p-value \(<.05\).
    Daerah penolakan ( rejection region ) ditampilkan pada gambar berikut.
  1. Hitung statistik uji
    Untuk menghitung statistik uji, dapat dilakukan menggunakan R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
  1. Unduh dataset di sini: Data Kadar Benzena dalam 20 Sampel Udara.
  2. Import dataset
mydata = read.table("path_to_file")
head(mydata)
##     V1
## 1 0.21
## 2 1.44
## 3 2.54
## 4 2.97
## 5 0.00
## 6 3.91
  1. Lakukan perhitungan statistik uji
    Karena hipotesis alternatif adalah \(H_1:\mu>1\), maka pada skrip R digunakan alternative = 'greater'. Secara default, pilihan alternative adalah 'two.sided' (alternative = 'two.sided') yang mana digunakan untuk pengujian dua arah. Untuk pengujian satu arah, dapat digunakan 'greater' jika hipotesis alternatif menunjukkan bahwa rata-rata populasi lebih besar dari suatu nilai tertentu, atau 'lesser' jika hipotesis alternatif menunjukkan bahwa rata-rata populasi lebih kecil dari suatu nilai tertentu.
t.test(mydata, mu = 1, alternative = 'greater')
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  mydata
## t = 2.9458, df = 19, p-value = 0.00415
## alternative hypothesis: true mean is greater than 1
## 95 percent confidence interval:
##  1.472276      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##    2.1435
  1. Keputusan
    Dari hasil perhitungan diperoleh p-value = 0.00415. Karena p-value \(=0.004<\alpha=.05\), maka \(H_0\) ditolak. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa rata-rata kandungan benzena secara signifikan lebih dari 1 ppm.

Referensi