Uji Rata-rata Populasi
Hanif Rahmat
2022-12-20
Uji Rata-rata Populasi Untuk Sampel Berukuran Besar
Untuk sampel berukuran besar (\(n \ge 30\)), pengujian rata-rata populasi dibangun berdasarkan statistik \(z\) normal standar. Elemen-elemen dari pengujian ini dirangkum sebagai berikut.
Uji Satu Arah ( One-Tailed Test )
\(H_0:\mu=\mu_0\)
\(H_1:\mu>\mu_0\) (atau \(H_1:\mu<\mu_0\))
Statistik Uji ( Test statistic ):
\[Z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_{\overline{x}}}\approx \frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\]
Daerah Penolakan ( Rejection region ):
\(Z>z_\alpha\) (atau \(Z<-z_\alpha\))
p-value \(=P(Z>z_c)\) \([\)atau \(P(Z<z_c)]\)
Uji Dua Arah ( Two-Tailed Test )
\(H_0:\mu=\mu_0\)
\(H_1:\mu\neq\mu_0\)
Statistik Uji ( Test statistic ):
\[Z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_{\overline{x}}}\approx \frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\]
Daerah Penolakan ( Rejection region ):
\(|Z|>z_{\alpha/2}\))
p-value \(=2P(Z>|z_c|)\)
dimana \(P(Z>z_\alpha)=\alpha\), \(P(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2\), \(\mu_0\) adalah simbol untuk nilai numerik tertentu yang ditentukan untuk \(\mu\) dalam hipotesis nol, dan \(z\) adalah nilai statistik uji yang dihitung.
Contoh Permasalahan
Diberikan data Rasio Panjang-ke-Lebar Sampel Tulang Humerus sebagai berikut.
| 10.73 | 8.89 | 9.07 | 9.20 | 10.33 | 9.98 | 9.84 | 9.59 |
| 8.48 | 8.71 | 9.57 | 9.29 | 9.94 | 8.07 | 8.37 | 6.85 |
| 8.52 | 8.87 | 6.23 | 9.41 | 6.66 | 9.35 | 8.86 | 9.93 |
| 8.91 | 11.77 | 10.48 | 10.39 | 9.39 | 9.17 | 9.89 | 8.17 |
| 8.93 | 8.80 | 10.02 | 8.38 | 11.67 | 8.30 | 9.17 | 12.00 |
| 9.38 |
Lakukan pengujian apakah \(\mu\), yakni rata-rata populasi rasio panjang-ke-lebar, berbeda dari 8.5. Gunakan taraf signifikansi 0.1.
Solusi
Tentukan hipotesis nol (\(H_0\)) dan hipotesis alternatif (\(H_1\))
\(H_0:\mu=8.5\)
\(H_1:\mu\neq8.5\)
Perhatikan bahwa ini adalah kasus pengujian dua arah. Ukuran sampel besar (\(n=41\)), sehingga dilakukan pengujian rata-rata \(\mu\) untuk sampel besar.Tentukan taraf signifikansi (\(\alpha\))
Digunakan taraf signifikansi \(\alpha=0.1\).Daerah penolakan
\(H_0\) ditolak jika \(|Z|>z_{\alpha/2}=z_{.005}\) yakni jika \(Z<-2.58\) atau \(Z>2.58\). Daerah penolakan ( rejection region ) ditampilkan pada gambar berikut.
Hitung statistik uji
Dari data sampel diperoleh nilai rata-rata \(\overline{x}=9.257\) dan standar deviasi \(s=1.203\). Dengan demikian, statistik uji dapat dihitung sebagai berikut. \[Z\approx \frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{9.257-8.5}{1.203/\sqrt{41}}=4.03\]Keputusan
Karena \(Z=4.03>z_{.005}=2.58\), maka \(H_0\) ditolak. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa rata-rata rasio panjang-ke-lebar semua tulang humerus dari spesies khusus ini secara signifikan berbeda dari 8.5.
Uji Rata-rata Populasi Untuk Sampel Berukuran Kecil
Untuk sampel berukuran kecil (\(n<30\)), pengujian rata-rata populasi dibangun menggunakan distribusi \(t\) Elemen-elemen dari pengujian ini dirangkum sebagai berikut.
Uji Satu Arah ( One-Tailed Test )
\(H_0:\mu=\mu_0\)
\(H_1:\mu>\mu_0\) (atau \(H_1:\mu<\mu_0\))
Statistik Uji ( Test statistic ):
\[T=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\]
Daerah Penolakan ( Rejection region ):
\(T>t_\alpha\) (atau \(T<-t_\alpha\))
p-value \(=P(T \ge t_c)\) \([\)atau \(P(T \le t_c)]\)
Uji Dua Arah ( Two-Tailed Test )
\(H_0:\mu=\mu_0\)
\(H_1:\mu\neq\mu_0\)
Statistik Uji ( Test statistic ):
\[T=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\]
Daerah Penolakan ( Rejection region ):
\(|T|>t_{\alpha/2}\))
p-value \(=2P(T \ge |t_c|)\)
dimana distribusi \(t\) didasarkan pada derajat bebas \((n-1)\); \(P(T>t_{\alpha})=\alpha\); \(P(T>t_{\alpha/2})=\alpha/2\), dan \(t_c\) adalah nilai statistik uji yang dihitung.
Contoh Permasalahan
Diberikan data kadar Benzena (ppm) dalam 20 sampel udara sebagai berikut.
| 0.21 | 1.44 | 2.54 | 2.97 | 0.00 | 3.91 | 2.24 | 2.41 | 4.50 | 0.15 |
| 0.30 | 0.36 | 4.50 | 5.03 | 0.00 | 2.89 | 4.71 | 0.85 | 2.60 | 1.26 |
Lakukan pengujian apakah \(\mu\), yakni rata-rata kadar benzena, lebih dari 1 ppm. Gunakan taraf signifikansi 5%. Asumsikan bahwa distribusi frekuensi relatif dari populasi kadar benzena untuk semua sampel udara berdistribusi normal.
Solusi
Tentukan hipotesis nol (\(H_0\)) dan hipotesis alternatif (\(H_1\))
\(H_0:\mu=1\)
\(H_1:\mu>1\)Tentukan taraf signifikansi (\(\alpha\))
Digunakan taraf signifikansi \(\alpha=.05\).Daerah penolakan
Untuk \(\alpha=.05\) dan df \(=(n-1)=19\), \(H_0\) ditolak jika \(T>t_{.05}=1.729\). Daerah penolakan ( rejection region ) ditampilkan pada gambar berikut.
Hitung statistik uji
Dari data sampel diperoleh nilai rata-rata \(\overline{x}=2.143\) dan standar deviasi \(s=1.736\). Dengan demikian, statistik uji dapat dihitung sebagai berikut. \[T=\frac{\overline{x}-1}{s/\sqrt{n}}=\frac{2.143}{1.736/\sqrt{20}}=2.95\]Keputusan
Karena \(T=2.95>t_{.05}=2.58\), maka \(H_0\) ditolak. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa rata-rata kandungan benzena secara signifikan lebih dari 1 ppm.