5.1 Aljabar linier
Perhitungan untuk melakukan operasi aljabar linier adalah salah satu yang paling penting dalam sains. Sangat penting bahwa unit yang digunakan untuk mengukur kinerja komputer untuk komputasi ilmiah disebut “flop”, singkatan dari “operasi titik apung” dan didefinisikan dalam hal perhitungan aljabar linier.
Bagi Anda, masalah dengan menggunakan komputer untuk melakukan aljabar linier terutama adalah bagaimana mengatur masalah sehingga komputer dapat menyelesaikannya. Notasi yang akan kita gunakan telah dipilih secara khusus untuk berhubungan dengan jenis masalah yang akan Anda gunakan aljabar linier: menyesuaikan model dengan data. Ini berarti bahwa notasi akan sangat kompak.
Operasi aljabar linier dasar yang penting adalah:
· Proyeksikan vektor tunggal ke ruang yang ditentukan oleh sekumpulan vektor.
· Buat kombinasi vektor linier.
Dalam melakukan operasi ini, Anda akan menggunakan dua fungsi utama, project( ) dan mat( ), bersama dengan operasi perkalian * * dan penambahan + biasa. Ada juga jenis operasi baru yang memberikan deskripsi ringkas untuk mengambil kombinasi linier: “perkalian matriks,” ditulis %*%.
Pada akhir ;ession ini, Anda harus merasa nyaman dengan dua fungsi tersebut dan bentuk perkalian yang baru %*%.
Untuk memulai, pertimbangkan jenis masalah aljabar linier yang sering disajikan dalam buku teks dalam bentuk persamaan linier simultan. Misalnya: \[\begin{array}{rcrcr} x & + & 5 y & = &1\\ 2x & + & -2 y & = &1\\ 4x & + & 0 y & = & 1\\ \end{array} .\]
Berpikir dalam hal vektor, persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai \[ x \left(\begin{array}{r}1\\2\\4\end{array}\right) + y \left(\begin{array}{r}5\\-2\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right) .\]
Memecahkan persamaan vektor ini melibatkan memproyeksikan vektor \(\vec{b} = \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\) ke ruang yang ditentukan oleh dua vektor \(\vec{v}_1 = \left(\begin{array}{r}1\\2\\4\end{array}\right)\) dan \(\vec{v}_2 = \left(\begin{array}{r}5\\-2\\0\end{array}\right)\). Solusinya, (x ) dan (y ) akan menjadi jumlah kelipatan dari vektor masing-masing yang diperlukan untuk mencapai vektor yang diproyeksikan.
Saat mengatur ini dengan notasi R yang akan Anda gunakan, Anda perlu membuat masing-masing vektor ( vec {b}, vec {v}_1 ), dan ( vec {v}_2 ). Berikut caranya:
Proyeksi dicapai dengan menggunakan fungsi project():
v1 v2 0.32894737 0.09210526
Baca ini sebagai “project \(\vec{b}\) ke subruang yang ditentukan oleh \(\vec{v}_1\) dan \(\vec{v}_1\).
Jawabannya diberikan dalam bentuk pengganda pada ( vec {v}_1 ) dan ( vec {v}_2 ), yaitu nilai (x ) dan (y ) dalam masalah aslinya. Jawaban ini adalah “yang terbaik” dalam arti bahwa nilai-nilai khusus untuk (x ) dan (y ) adalah yang paling dekat dengan ( vec {b} ), yaitu, kombinasi linier yang memberikan proyeksi ( vec {b} ) ke subruang yang ditentukan oleh ( vec {v} _1 ) dan ( vec {v}_2 ).
Jika Anda ingin melihat apa proyeksi itu, cukup kalikan koefisien dengan vektor dan tambahkan. Dengan kata lain, ambil kombinasi linier
[1] 0.7894737 0.4736842 1.3157895
Ketika ada banyak vektor yang terlibat dalam kombinasi linier, jauh lebih mudah untuk dapat merujuk semuanya dengan satu nama objek. Fungsi mat( ) mengambil vektor dan mengemasnya bersama-sama menjadi matriks. Ini bekerja seperti project( ), tetapi tidak melibatkan vektor yang diproyeksikan ke subruang. Seperti ini:
v1 v2[1,] 1 5
[2,] 2 -2
[3,] 4 0
Perhatikan bahwa (A ) tidak memiliki informasi baru; itu hanya dua vektor ( vec {v}_1 ) dan ( vec {v}_2 ) yang ditempatkan berdampingan.
Mari kita lakukan proyeksi lagi:
v1 v2 0.32894737 0.09210526
Untuk mendapatkan kombinasi linier vektor di (A ), Anda matriks-kalikan matriks (A ) kali solusi (z ): [,1]
[1,] 0.7894737
[2,] 0.4736842
[3,] 1.3157895
Perhatikan, itu adalah jawaban yang sama yang Anda dapatkan ketika Anda melakukan perkalian “dengan tangan.”
Ketika bekerja dengan data, ahli statistik hampir selalu menyertakan vektor lain yang disebut intersepsi yang hanya merupakan vektor dari semua 1s. Anda dapat menunjukkan vektor intersep dengan polos 1 dalam fungsi mat() atau project(), seperti ini:
(Intercept) v1 v2[1,] 1 1 5
[2,] 1 2 -2
[3,] 1 4 0
A() Av1 Av2
1.000000e+00 0.000000e+00 2.775558e-17
[,1][1,] 1
[2,] 1
[3,] 1
Perhatikan bahwa matriks A memiliki vektor ketiga: vektor intersep. Akibatnya solusinya memiliki tiga koefisien. Perhatikan juga bahwa kombinasi linier dari ketiga vektor persis mencapai vektor ( vec {b} ). Itu karena sekarang ada tiga vektor yang mendefinisikan subruang: \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\), dan vektor intersep dari semua v.
5.1.1 Contoh: Data bom atom.
File data blastdata.csv berisi pengukuran jari-jari bola api dari bom atom (dalam meter) versus waktu (dalam detik). Dalam analisis data ini, adalah tepat untuk mencari hubungan power-law antara radius dan waktu. Ini akan muncul sebagai hubungan linier antara log-radius dan log-time. Dengan kata lain, kita ingin menemukan (m ) dan (b ) dalam hubungan log-radius (= m ) log-time (+ b ). Ini berarti proyeksi
(Intercept) log (waktu)
6.2946893 0.3866425
Parameter (m ) adalah koefisien pada log-time, ditemukan 0,3866.
5.1.2 Latihan
5.1.2.1 Latihan 1
Ingat semua itu “temukan garis yang melewati masalah poin” dari kelas aljabar. Mereka bisa sedikit lebih sederhana dengan alat aljabar linier yang tepat.
Contoh: “Temukan garis yang melewati titik ((2,3) ) dan ((7,-8) ).”
Salah satu cara untuk menafsirkan ini adalah bahwa kita mencari hubungan antara (x ) dan (y ) sedemikian rupa sehingga (y = mx + b ). Dalam istilah vektor, ini berarti bahwa \(x\)-koordinat dari dua titik, \(2\) dan \(7\), yang dibuat menjadi vektor \(\left(\begin{array}{c}2\\7\end{array}\right)\) akan diskalakan oleh \(m\), dan vektor intersep \(\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\) akan diskalakan oleh \(b\).
(Intercept) x
7.4 -2.2Sekarang Anda tahu (m ) dan (b ).
TUGAS ANDA: Untuk masing-masing hal berikut, temukan baris yang melewati dua titik Cartesian menggunakan fungsi project(). Ingat, vektor yang terlibat dalam proyeksi akan memiliki bentuk \[\vec{x}=\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right) \mbox{and} \ \ \vec{y}=\left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\end{array}\right)\] dan
(y = x + 2 )
(y = -x + 10 )
(y = x + 0 )
(y = -x + 0 )
(y = x - 2 )
MENJAWAB:
(Intercept) c(9, 3)
10 -1(y = x + 2 )
(y = -x + 10 )
(y = x + 0 )
(y = -x + 0 )
(y = x - 2 )
MENJAWAB:
(Intercept) c(0, 2) -5.551115e-17 -1.000000e+00
(y = x + 2 )
(y = -x + 10 )
(y = x + 0 )
(y = -x + 0 )
(y = x - 2 )
MENJAWAB:
(Intercept) c(1, 7)
2 15.1.2.2 Latihan 2
Berapa nilai (x )?: {-0.2353,0.1617,0.4265,1.3235,1.5739}
MENJAWAB:
c(1, 2, 4) c(5, -2, 0) c(1, -2, 3)
0.4264706 0.1617647 -0.2352941
Berapa nilai (x )? {-0.2353,0.1617,0.4264,1.3235,1.5739}
MENJAWAB:
c(1, 2, 4) c(5, -2, 0) c(1, -2, 3)
1.32352941 0.08823529 -0.76470588
5.1.2.3 Latihan 3
Dengan menggunakan project(), selesaikan rangkaian persamaan linear simultan ini untuk \(x\), \(y\), dan \(z\):
Dua persamaan dalam dua hal yang tidak diketahui: \[\begin{array}{rcrcr} x & + & 2 y & = &1\\ 3 x & + & 2 y & = &7\\ \end{array}\]
(x = 3 ) dan (y = -1 )
(x = 1 ) dan (y = 3 )
(x = 3 ) dan (y = 3 )
MENJAWAB:
x y
3 -1
Tiga persamaan dalam tiga hal yang tidak diketahui: \[\begin{array}{rcrcrcr} x & + & 2 y & + & 7 z & = &1\\ 3 x & + & 2 y & + &2 z&= &7\\ -2 x & + & 3 y & + & z&= &7\\ \end{array} \]
(x = 3,1644 ), (y = -0,8767 ), (z = 0,8082 )
\(x=-0,8767\),\(y=0,8082\), \(z=3,1644\)
(x = 0,8082 ), (y = 3,1644 ), (z = -0,8767 )
MENJAWAB:
x y z 0.8082192 3.1643836 -0.8767123
Empat persamaan dalam empat persamaan yang tidak diketahui: \[\begin{array}{rcrcrcrcr} x & + & 2 y & + & 7 z & +& 8 w& = &1\\ 3 x & + & 2 y & + &2 z& +& 2 w& = &7\\ -2 x & + & 3 y & + & z&+& w&= &7\\ x & + & 5 y & + &3 z&+& w&= &3\\ \end{array} \]
\begin{MultipleChoice} a. \(x=5.500\), \(y=-7.356\), \(z=3.6918\), \(w=1.1096\) #. (x = 1.1096 ), (y = 3.6918 ), (z = -7.356 ), (w = 5.500 ) #. \(x=5.500\), \(y=-7.356\), \(z=1.1096\), \(w=3.6918\) #. (x = 1.1096 ), (y = -7.356 ), (z = 5.500 ), (w = 3.6918 )
MENJAWAB:
x y z w 1.109589 3.691781 -7.356164 5.500000
Tiga persamaan dalam empat hal yang tidak diketahui: \[\begin{array}{rcrcrcrcr} x & + & 2 y & + & 7 z & +& 8 w& = &1\\ 3 x & + & 2 y & + &2 z& +& 2 w& = &7\\ -2 x & + & 3 y & + & z&+& w&= &7\\ \end{array} \]
Tidak ada solusi.
Ada solusinya.
MENJAWAB:
[,1]
[1,] 1
[2,] 7
[3,] 7
Anda mungkin mendengar dikatakan bahwa tidak ada solusi untuk masalah tiga persamaan dalam empat hal yang tidak diketahui. Tetapi pernyataan yang lebih tepat adalah bahwa ada banyak solusi, yang tak terbatas dari mereka. Matematikawan cenderung menggunakan “solusi” untuk mewakili “solusi yang unik dan tepat.” Dalam karya terapan, baik “unik” maupun “tepat” tidak berarti banyak.