1. En el proceso de fabricación de teléfonos, tres de ellos son seleccionados aleatoriamente por
trabajadores para evaluar su calidad. Cada pieza es categorizada como “funcional” o “con falla”
según los resultados de su evaluación. Si la probabilidad de que un teléfono no tenga fallas es
0.8, siendo la evaluación independiente entre equipos.
a) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.
b) Determine la función de probabilidad de masa.
c) Grafique la distribución.
bim_funct = function(x){
  factorial(3)/(factorial(x)*factorial(3-x)) *0.8^x * 0.2^(3-x)
}
prob1=bim_funct(0)
prob2=bim_funct(1)
prob3=bim_funct(2)
prob4=bim_funct(3)
x = c(0,1,2,3)
y = c(prob1, prob2, prob3, prob4)
datos = data.frame(x, y)
graph1 = ggplot(datos, aes(x = x, y = y)) + geom_bar(stat = "identity", fill = "darkgreen")
graph1 = graph1 + theme_bw() + ggtitle("Distribución binomial (Fabricación de teléfonos)")
graph1 = graph1 + xlab("Número de casos exitosos") + ylab("Probabilidades")
plot(graph1)

2. En un estudio clínico los voluntarios son examinados para encontrar un gen asociado a la aparición de cáncer. La probabilidad de que una persona tenga el gen es 0.1. Si se asume que la
evaluación de una persona es independiente de otra:
a) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro o más evaluaciones deban ser efectuadas
para detectar a dos personas portadoras del gen?
c) ¿Cuál es el número esperado de evaluaciones que debo realizar para detectar
dos personas portadoras del gen?
d) Grafique la distribución.

Distro Binom Negativa Esta fórmula está integrada en la herramienta rstudio por lo que podemos simplemente llamarla como pnbinom.

dos_resultado_b=(1-pnbinom(1,2,0.1))
dos_resultado_b
## [1] 0.972
r=2
p=0.1
dos_resultado_c= r/p
dos_resultado_c
## [1] 20
cantpersonas = seq(0,49)
distro = dnbinom(cantpersonas, 2, prob=0.1)
data=data.frame(cantpersonas,distro)

dos_graph_d = ggplot(data=data,aes(x=cantpersonas,y=distro))
dos_graph_d = dos_graph_d + geom_bar(stat="identity",fill="darkgreen")
dos_graph_d = dos_graph_d + theme_bw() + ggtitle("Distribución binomial negativa (Estudio clínico)")
dos_graph_d = dos_graph_d + xlab("Cantidad de personas") + ylab("Probabilidades")
plot(dos_graph_d)

3. Una empresa contrata a 800 hombres menores de 55 años. Suponga que el 30 % tiene un marcador en el cromosoma masculino que indica un mayor riesgo de cáncer de próstata.
a) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.
b) Si a 10 hombres de la empresa se les hace la prueba del marcador en este
cromosoma, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 1 hombre tenga el marcador?
c) Si a 10 hombres de la empresa se les hace la prueba del marcador en este
cromosoma, ¿cuál es la probabilidad de que más de 1 tenga el marcador?
d) Grafique la distribución
tres_resultado_b=dhyper(x=1,m=240,k=10,n=560)
tres_resultado_b
## [1] 0.1200794
tres_resultado_c=1 - (dhyper(x = 1, m = 240, k = 10, n = 560)) - (dhyper(x = 0, m = 240, k = 10, n = 560))
tres_resultado_c
## [1] 0.8523523
cantpersonas = seq(0,19)
distro = dhyper(x=cantpersonas, m=240, k=20, n=500)
data=data.frame(cantpersonas,distro)

tres_graph_d = ggplot(data=data,aes(x=cantpersonas,y=distro))
tres_graph_d = tres_graph_d + geom_bar(stat="identity",fill="darkgreen")
tres_graph_d = tres_graph_d + theme_bw() + ggtitle("Distribución hipergeométrica (Caso de empresa)")
tres_graph_d = tres_graph_d + xlab("Cantidad de personas") + ylab("Probabilidades")
plot(tres_graph_d)

4. El número de llamadas telefónicas que llegan a una central telefónica se modela como una
variable aleatoria de Poisson. Suponga que en promedio hay 8 llamadas por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres llamadas o menos en una hora?
cuatro_resultado_a = dpois(5,8)
cuatro_resultado_a
## [1] 0.09160366

Estas son las probabilidades de que hayan 5 llamadas en una hora.

cuatro_resultado_b=ppois(3, 8, lower.tail=T)
cuatro_resultado_b
## [1] 0.04238011

Probabilidades de que haya 3 o menos llamadas en el tramo de una hora.

5. Un artículo en Knee Surgery Sports Traumatology, Arthroscopy [“Effect of Provider
Volume on Resource Utilization for Surgical Procedures” (2005, Vol. 13, pp. 273–279)] mostró un tiempo medio de 129 minutos y una desviación estándar de 14 minutos para cirugía de reconstrucción de LCA para hospitales de alto volumen (con más de 300 cirugías de este tipo por año). Si un hospital de alto volumen necesita programar 10 cirugías, ¿cuáles son la media y la varianza del tiempo total para completar estas cirugías? Suponga que los tiempos de las cirugías son independientes y normalmente distribuidos.

Primeramente debemos encontrar la media para luego dar con la varianza, entonces tenemos que:

# MEDIA
cinco_resultado_media=129*10
cinco_resultado_media
## [1] 1290
# VARIANZA
cinco_resultado_varianza=100*(14*14)
cinco_resultado_varianza
## [1] 19600
6. Aborde los ejercicios 1 y 4 efectuando una aproximación mediante una distribución
normal. ¿Qué puede concluir?
avg=0.8*3
desv=sqrt((0.8*0.2*3))
distro1=pnorm((3.5-avg)/desv)
distro1
## [1] 0.9438244

Ahora calculamos inexactitud de la aproximación.

p=0.8
n=3
inex=n*p
inex
## [1] 2.4
p=0.8
n=3
n*(1-p)
## [1] 0.6

A raíz de esto se puede concluir que a causa de que estos valores que se han calculado todos rondan debajo a 5 podemos concluir que la aproximación no es buena. - Ejercicio 4 )

value = (5 - 8)/(sqrt(8))
aprox= pnorm(value, 0, 1)
aprox
## [1] 0.1444222
value0 = (0-8)/(sqrt(8))
value1 = (1-8)/(sqrt(8))
value2 = (2-8)/(sqrt(8))
value3 = (3-8)/(sqrt(8))
aprox= pnorm(value0, 0, 1) + pnorm(value1, 0, 1) + pnorm(value2, 0, 1) + pnorm(value3, 0, 1)
aprox
## [1] 0.06450039

Al tener que lambda toma un valor que es mayor a 5, se puede concluir que las aproximaciones no son buenas.