IntroduĆ§Ć£o

Este post apresenta os resultados da atividade 8 da disciplina EstatĆ­stica aplicada Ć  CiĆŖncias Humanas em que foram utilizados fundamentos estastĆ­ticos e os recursos do R para responder Ć  questƵes relativos Ć  probabilidades de um conjunto de distribuiƧƵes.

Probabilidades de Z ~ N(0,1)

Dado Z, pede-se:

Pr(-1 < Z < 2,1) = P(-1 < Z < 2,1) = P(-1 < Z < 0) + P(0 < Z < 2,1) = P(0 < Z < 1) + P(0 < Z < 2,1)

plotDistr(x, dnorm(x, mean=0, sd=1), cdf=FALSE, 
          regions=list(c(-1, 0),c(0, 2.1)), 
          col=c('blue','yellow'),
          legend=FALSE)  

pnorm(0) - pnorm(-1) + pnorm(2.1) - pnorm(0)
[1] 0.8234803
pnorm(2.1) - pnorm(-1)
[1] 0.8234803

Pr(-0,87 < Z < 1,54) = P(-0,87 < Z < 1,54) = P(-0,87 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,54)= P(0 < Z < 0,87) + P(0 < Z < 1,54)

plotDistr(x, dnorm(x, mean=0, sd=1), cdf=FALSE, 
          regions=list(c(-0.87, 0),c(0, 1.54)), 
          col=c('tomato4','royalblue'),
          legend=FALSE)  

pnorm(0) - pnorm(-0.87) + pnorm(1.54) - pnorm(0)
[1] 0.7460696
pnorm(1.54) - pnorm(-0.87)
[1] 0.7460696

Pr(Z = 1,54) A probabilidade, neste caso, Ć© zero, pois um Ćŗnico nĆŗmero nĆ£o Ć© capaz de estabelecer uma Ć”rea.

SĆ³ faz sentido falar em probabilidade de um intervalo, dado que somente neste caso Ć© possĆ­vel o cĆ”lculo de uma Ć”rea.

Pr(Z > 2,5) = P(0 < Z < 3,291) - P(0 < Z < 2,5)

plotDistr(x, dnorm(x, mean=0, sd=1), cdf=FALSE, 
          regions=list(c(0, 3),c(2.5, 3)), 
          col=c('red','yellow'),
          legend=FALSE)  

pnorm(3.291) - pnorm(2.5)
[1] 0.005710506

Probabilidades de X ~ N(500,300)

Dado X, pede-se:

Pr(X < 500) = P(X < 500) = P(X < [500-500]/300) = P(X < 0)

plotDistr(x, dnorm(x, mean=0, sd=1), cdf=FALSE, 
          regions=list(c(-3, 0)), 
          col=c('red'),
          legend=FALSE)  

pnorm(500,500,300)
[1] 0.5
pnorm(0)
[1] 0.5

Pr(400 < X < 710) = P(400 < X < 710) = P([400-500]/300 < Z < [710-500]/300)= P(-1/3 < Z < 0,7) = P(0 < Z < 1/3) + P(0 < Z < 0,7)

plotDistr(x, dnorm(x, mean=0, sd=1), cdf=FALSE, 
          regions=list(c(-1/3, 0),c(0, 0.7)), 
          col=c('gray','purple'),
          legend=FALSE)  

pnorm(710,500,300) - pnorm(400,500,300)
[1] 0.388595
pnorm(0) - pnorm(-1/3) + pnorm(0.7) - pnorm(0)
[1] 0.388595
pnorm(0.7) - pnorm(-1/3)
[1] 0.388595

Pr(330<X<450) = P(330 < X < 450) = P([330-500]/300 < Z < [450-500]/300)= P(-17/30 < Z < -1/6) = P(0 < Z < 17/30) - P(0 < Z < 1/6)

plotDistr(x, dnorm(x, mean=0, sd=1), cdf=FALSE, 
          regions=list(c(-17/30, -1/6)), 
          col=c('purple'),
          legend=FALSE)  

pnorm(450,500,300) - pnorm(330,500,300)
[1] 0.1483458
pnorm(-1/6) - pnorm(-17/30)
[1] 0.1483458

Probabilidades de Y ~ N(100,20)

Dado Y, pede-se:

Pr(50 < Y < 70) = P(50 < Y < 70) = P([50-100]/20 < Z < [70-100]/20)= P(-2,5 < Z < -1,5) = P(0 < Z < 2,5) - P(0 < Z < 1,5)

plotDistr(x, dnorm(x, mean=0, sd=1), cdf=FALSE, 
          regions=list(c(-2.5, -1.5)), 
          col=c('red'),
          legend=FALSE)  

pnorm(70,100,20) - pnorm(50,100,20)
[1] 0.06059754
pnorm(-1.5) - pnorm(-2.5)
[1] 0.06059754

Pr(105 < Y < 110) = P(105 < Y < 110)= P([105-100]/20 < Z < [110-100]/20)= P(0,25 < Z < 0,5) = P(0 < Z < 0,5) - P(0 < Z < 0,25)

plotDistr(x, dnorm(x, mean=0, sd=1), cdf=FALSE, 
          regions=list(c(0.25, 0.5)), 
          col=c('blue'),
          legend=FALSE)  

pnorm(110,100,20) - pnorm(105,100,20)
[1] 0.09275614
pnorm(0.5) - pnorm(0.25)
[1] 0.09275614

Pr(Y>75) = P(Y > 75) = P(Z > [75-100]/20) = P(Z > -1,25) = P(0 < Z < 1,25) + P(0 < Z < 3,291)

plotDistr(x, dnorm(x, mean=0, sd=1), cdf=FALSE, 
          regions=list(c(-1.25, 0),c(0, 3.291)), 
          col=c('gray','purple'),
          legend=FALSE)  

1 - pnorm(75,100,20)
[1] 0.8943502
pnorm(0) - pnorm(-1.25) + pnorm(3.291) - pnorm(0)
[1] 0.8938511
pnorm(3.291) - pnorm(-1.25)
[1] 0.8938511