IntroducciĆ³n

Dentro de regresiones discontinuas, hay un tipo particular de estrategia y diseƱo metodolĆ³gico que se ha hecho popular: el diseƱo de elecciones ajustadas. Esencialmente, este diseƱo explota una caracterĆ­stica de las democracias americanas segĆŗn la cual los ganadores de las contiendas polĆ­ticas se declaran cuando un candidato obtiene el porcentaje mĆ­nimo necesario de votos. En la medida en que las elecciones muy reƱidas representan asignaciones exĆ³genas de la victoria de un partido, podemos utilizar estas elecciones reƱidas para identificar el efecto causal del ganador en una serie de resultados. TambiĆ©n podemos poner a prueba teorĆ­as de economĆ­a polĆ­tica que, de otro modo, serĆ­an casi imposibles de evaluar.
ĀæSon los polĆ­ticos o los votantes quienes eligen las polĆ­ticas? La gran pregunta que motiva a Lee et al.Ā (2004) tiene que ver con si los votantes afectan a la polĆ­tica y de quĆ© manera. Hay dos visiones fundamentalmente diferentes del papel de las elecciones en una democracia representativa: la teorĆ­a de la convergencia y la teorĆ­a de la divergencia. La teorĆ­a de la convergencia afirma que la ideologĆ­a heterogĆ©nea de los votantes obliga a cada candidato a moderar su posiciĆ³n. La teorĆ­a de la divergencia, por su parte, sostiene que cuando los polĆ­ticos partidistas no pueden comprometerse de forma creĆ­ble con determinadas polĆ­ticas, la convergencia se ve socavada y el resultado puede ser una ā€œdivergenciaā€ polĆ­tica total. La divergencia se produce cuando el candidato ganador, tras tomar posesiĆ³n de su cargo, se limita a aplicar su polĆ­tica preferida. En este caso extremo, los votantes son incapaces de obligar a los candidatos a alcanzar ningĆŗn tipo de compromiso polĆ­tico, lo que se traduce en dos candidatos opuestos que eligen polĆ­ticas muy diferentes en distintos escenarios contrafactuales de victoria.

Modelo

\(R\) y \(D\) son candidatos compitiendo por un escaƱo en el Congreso. El espacio polĆ­tico es una sola dimensiĆ³n en la que las preferencias polĆ­ticas de \(R\) y \(D\) en un periodo son funciones de pĆ©rdida cuadrĆ”ticas, \(u(l)\) y \(v(l)\), y \(l\) es la variable polĆ­tica.
Cada jugador tiene un punto de felicidad, que es su posiciĆ³n preferida en la gama unidimensional de polĆ­ticas. Para los demĆ³cratas, es \(l* =c(>0)\), y para los republicanos es \(l* = 0\).
El posible resultado de la votaciĆ³n nominal del candidato tras unas elecciones es:
\[RC_t= D_t x_t+(1-D_t)y_t\]
Donde \(D_t\) indica si un demĆ³crata ganĆ³ las elecciones. Es decir, sĆ³lo se observa la polĆ­tica del candidato ganador. A contuniaciĆ³n se expresan las ecuaciones de regresiĆ³n derivadas de la expresiĆ³n anterior:
\[RC_t= \alpha_0 +\pi_0 P^{*}_t+\pi_1 D_t+\varepsilon_t \] \[RC_{t+1}= \beta_0 +\pi_0 P^{*}_{t+1}+\pi_1 D_{t+1}+\varepsilon_{t+1}\]
Donde \(\alpha_0\) y \(\beta_0\) son constantes y \(P^{*}\) representa la popularidad subyacente del Partido DemĆ³crata, o dicho de otro modo, la probabilidad de que \(D\) ganara si la polĆ­tica elegida \(x\) igualara el punto \(c\) de felicidad del demĆ³crata.
Es importante destacar que la asignaciĆ³n aleatoria de \(D_t\) es crucial. Porque sin ella, esta ecuaciĆ³n reflejarĆ­a \(\pi_1\) y la selecciĆ³n (es decir, los distritos demĆ³cratas tienen puntos de felicidad mĆ”s liberales). AsĆ­ que los autores intentan aleatorizar \(D_t\) utilizando un RDD. Para efectuar la asignacion aleatoria, los autores utilizan una variaciĆ³n posiblemente exĆ³gena en las victorias demĆ³cratas para comprobar si la convergencia o la divergencia son correctas. Si la convergencia es cierta, entonces los republicanos y los demĆ³cratas que apenas ganaron deberĆ­an votar casi idĆ©nticamente, mientras que si la divergencia es cierta, deberĆ­an votar de forma diferente en los mĆ”rgenes de una carrera reƱida. ā€œEn los mĆ”rgenes de una carrera reƱidaā€ es crucial porque la idea es que es en los mĆ”rgenes de una carrera reƱida donde la distribuciĆ³n de las preferencias de los votantes es practicamnerte, la misma. Si las preferencias de los votantes son las mismas, pero las polĆ­ticas divergen en el lĆ­mite, esto sugiere que son los polĆ­ticos, y no los votantes, los que dirigen la elaboraciĆ³n de las polĆ­ticas.
Pare replicar los resultados de los autores se utilizĆ”n regresiones limitadas a la ventana alrededor del punto de corte para estimar el efecto. Se trata de regresiones locales en el sentido de que utilizan datos cercanos al punto de corte. SĆ³lo se utilizan observaciones entre 0,48 y 0,52 votos. Por tanto, esta regresiĆ³n estima el coeficiente en torno al punto de corte.
Model 1 Model 2 Model 3
(Intercept) 31.196*** 18.747*** 0.242***
lagdemocrat 21.284*** 0.484***
democrat 47.706***
Num.Obs. 915 915 915
R2 0.115 0.578 0.235
R2 Adj. 0.114 0.578 0.234
RMSE 29.49 20.36 0.44
Std.Errors by: id by: id by: id
Cuando se utilizan todos los datos, obtenemos efectos algo diferentes. El efecto sobre los resultados futuros del Americans for Democratic Action (ADA) aumenta en 10 puntos, pero el efecto contemporĆ”neo disminuye. Sin embargo, el efecto sobre la ocupaciĆ³n del cargo aumenta considerablemente. AsĆ­ que aquĆ­ vemos que simplemente ejecutando la regresiĆ³n se obtienen estimaciones diferentes cuando incluimos datos alejados del propio punto de corte.
Model 1 Model 2 Model 3
(Intercept) 23.539*** 17.576*** 0.120***
lagdemocrat 31.506*** 0.818***
democrat 40.763***
Num.Obs. 13588 13588 13588
R2 0.227 0.376 0.676
R2 Adj. 0.227 0.376 0.676
RMSE 28.69 25.78 0.28
Std.Errors by: id by: id by: id
Sin embargo, ninguna de estas regresiones incluye controles para la running variable. Tampoco se utiliza el recentrado de la variable de ejecuciĆ³n. Para incorporar estos dos puntos, simplemente restaremos 0,5 a la variable de funcionamiento, de forma que los valores de 0 sean aquellos en los que el porcentaje de votos sea igual a 0,5, los valores negativos sean los porcentajes de votos demĆ³cratas inferiores a 0,5 y los valores positivos sean los porcentajes de votos demĆ³cratas superiores a 0,5.
Model 1 Model 2 Model 3
(Intercept) 22.883*** 11.034*** 0.212***
lagdemocrat 33.451*** 0.552***
demvoteshare_c -5.626** -48.938*** 0.773***
democrat 58.502***
Num.Obs. 13577 13577 13577
R2 0.227 0.424 0.735
R2 Adj. 0.227 0.424 0.735
RMSE 28.68 24.76 0.25
Std.Errors by: id by: id by: id
Es habitual permitir que la variable en curso varĆ­e a ambos lados de la discontinuidad, Para implementarlo necesitamos que haya una lĆ­nea de regresiĆ³n a cada lado, lo que significa necesariamente que tenemos dos lĆ­neas a la izquierda y a la derecha de la discontinuidad. Para ello, necesitamos una interacciĆ³n, especĆ­ficamente, entre la variable de ejecuciĆ³n con la variable de tratamiento.
Model 1 Model 2 Model 3
(Intercept) 31.435*** 16.816*** 0.287***
lagdemocrat 30.508*** 0.526***
demvoteshare_c 66.042*** -5.683* 1.403***
lagdemocrat Ɨ demvoteshare_c -96.475*** -0.849***
democrat 55.431***
democrat Ɨ demvoteshare_c -55.152***
Num.Obs. 13577 13577 13577
R2 0.267 0.434 0.749
R2 Adj. 0.267 0.434 0.749
RMSE 27.94 24.54 0.25
Std.Errors by: id by: id by: id
Por Ćŗltimo, se estimarĆ” el modelo con una cuadrĆ”tica. La inclusiĆ³n de la cuadrĆ”tica hace que el efecto estimado de una victoria democrĆ”tica sobre el voto futuro disminuya considerablemente:
Model 1 Model 2 Model 3
(Intercept) 33.547*** 15.606*** 0.330***
lagdemocrat 13.030*** 0.322***
demvoteshare_c 134.977*** -23.850*** 2.798***
demvoteshare_sq 212.127*** -41.729** 4.294***
lagdemocrat Ɨ demvoteshare_c 57.055*** 0.091
lagdemocrat Ɨ demvoteshare_sq -641.851*** -8.804***
democrat 44.402***
democrat Ɨ demvoteshare_c 111.896***
democrat Ɨ demvoteshare_sq -229.954***
Num.Obs. 13577 13577 13577
R2 0.371 0.456 0.822
R2 Adj. 0.370 0.456 0.822
RMSE 25.89 24.07 0.21
Std.Errors by: id by: id by: id
Esto sugiere que existen fuertes valores atĆ­picos en los datos que estĆ”n causando que la distancia en \(c_0\) se extienda mĆ”s ampliamente. AsĆ­ que una soluciĆ³n natural es limitar de nuevo nuestro anĆ”lisis a una ventana mĆ”s pequeƱa. Lo que esto hace es descartar las observaciones alejadas de \(c_0\) y omitir la influencia de los valores atĆ­picos de nuestra estimaciĆ³n en el punto de corte. Esta vez utilizaremos +/- -0,05. Cuando limitamos nuestro anĆ”lisis a 0,05 alrededor del punto de corte, se utilizan mĆ”s observaciones lejos del punto de corte que las que se utilizaron en nuestro anĆ”lisis inicial. Por eso sĆ³lo tenemos 2.441 observaciones para el anĆ”lisis, frente a las 915 que tenĆ­amos en nuestro anĆ”lisis original.
Model 1 Model 2 Model 3
(Intercept) 37.121*** 21.437*** 0.418***
lagdemocrat 7.347*** 0.167***
demvoteshare_c 830.925*** 450.846** 15.699***
demvoteshare_sq 5333.335*** 7878.904** 91.607***
lagdemocrat Ɨ demvoteshare_c -156.876*** 0.125
lagdemocrat Ɨ demvoteshare_sq -10116.678*** -188.329***
democrat 45.191***
democrat Ɨ demvoteshare_c -688.343**
democrat Ɨ demvoteshare_sq -3887.820
Num.Obs. 2387 2387 2387
R2 0.445 0.563 0.774
R2 Adj. 0.444 0.562 0.774
RMSE 23.50 20.86 0.24
Std.Errors by: id by: id by: id
Los mĆ©todos no paramĆ©tricos significan muchas cosas diferentes para distintas personas en estadĆ­stica, pero en contextos de RDD, la idea es estimar un modelo que no asuma una forma funcional para la relaciĆ³n entre la variable de resultado (Y) y la variable de ejecuciĆ³n (X). A continuaciĆ³n se presentan grĆ”ficamente distintas opciones de ajuste, lineal, cuadrĆ”tico y lowess:
Hahn, Todd y Klaauw (2001) han demostrado que la estimaciĆ³n kernel unilateral, como lowess, puede tener propiedades deficientes porque el punto de interĆ©s se encuentra en el lĆ­mite (es decir, la discontinuidad). Esto se llama el ā€œproblema del lĆ­miteā€. Proponen utilizar en su lugar regresiones lineales locales no paramĆ©tricas. En estas regresiones, se da mĆ”s peso a las observaciones del centro.
TambiĆ©n puede estimar regresiones polinĆ³micas locales ponderadas por kernel, una regresiĆ³n ponderada restringida a una ventana como las que se han realizado previamnete, donde el kernel elegido proporciona los pesos.
Debido a que el supuesto de continuidad implica especĆ­ficamente funciones de expectativas condicionales continuas de los resultados potenciales a lo largo de la lĆ­nea de corte, por lo tanto, no se puede probar. Eso es correcto, es un supuesto no comprobable. Pero, lo que podemos hacer es comprobar si hay cambios en las funciones de expectativa condicional para otras covariables exĆ³genas que no pueden o no deben cambiar como resultado del corte. Luego, la importancia de la selecciĆ³n del ancho de banda, o ventana, para estimar el efecto causal utilizando este mĆ©todo, asĆ­ como la importancia de la selecciĆ³n de la longitud del polinomio. A la hora de elegir el ancho de banda, siempre hay un equilibrio entre el sesgo y la varianza: cuanto mĆ”s corta es la ventana, menor es el sesgo, pero al tener menos datos, aumenta la varianza de la estimaciĆ³n. 
## Sharp RD estimates using local polynomial regression.
## 
## Number of Obs.                13577
## BW type                       mserd
## Kernel                   Triangular
## VCE method                       NN
## 
## Number of Obs.                 5480         8097
## Eff. Number of Obs.            2112         1893
## Order est. (p)                    1            1
## Order bias  (q)                   2            2
## BW est. (h)                   0.086        0.086
## BW bias (b)                   0.141        0.141
## rho (h/b)                     0.609        0.609
## Unique Obs.                    2770         3351
## 
## =============================================================================
##         Method     Coef. Std. Err.         z     P>|z|      [ 95% C.I. ]       
## =============================================================================
##   Conventional    46.491     1.241    37.477     0.000    [44.060 , 48.923]    
##         Robust         -         -    31.425     0.000    [43.293 , 49.052]    
## =============================================================================
Lo ideal es utilizar este tipo de mĆ©todos cuando se dispone de un gran nĆŗmero de observaciones en la muestra, de forma que se tenga un nĆŗmero considerable de observaciones en la discontinuidad. En ese caso, deberĆ­a haber cierta armonĆ­a entre los resultados. Si no es asĆ­, es posible que no tenga suficiente potencia para detectar este efecto.
Por Ćŗltimo, se examina la implementaciĆ³n de la prueba de densidad de McCrary, utilizando la estimaciĆ³n de densidad polinĆ³mica local (Cattaneo, Jansson y Ma 2019) y no se obtiene evidencia de que haya habido manipulaciĆ³n en la variable de ejecuciĆ³n en el punto de corte. 

## [1] 0.5925909

## $Estl
## Call: lpdensity
## 
## Sample size                                      5480
## Polynomial order for point estimation    (p=)    2
## Order of derivative estimated            (v=)    1
## Polynomial order for confidence interval (q=)    3
## Kernel function                                  triangular
## Scaling factor                                   0.40357984678845
## Bandwidth method                                 user provided
## 
## Use summary(...) to show estimates.
## 
## $Estr
## Call: lpdensity
## 
## Sample size                                      8097
## Polynomial order for point estimation    (p=)    2
## Order of derivative estimated            (v=)    1
## Polynomial order for confidence interval (q=)    3
## Kernel function                                  triangular
## Scaling factor                                   0.596346493812611
## Bandwidth method                                 user provided
## 
## Use summary(...) to show estimates.
## 
## $Estplot