Pemodelan dengan Kombinasi Linier

5.1 Aljabar linier

Operasi aljabar linier dasar yang penting adalah:

Proyeksikanvektor tunggal ke ruang yang ditentukan oleh sekumpulan vektor. Buatkombinasi vektor linier. Dalam melakukan operasi ini, Anda akan menggunakan dua fungsi utama, dan, bersama dengan perkalian biasadan operasi penambahan. Ada juga jenis operasi baru yang memberikan deskripsi ringkas untuk mengambil kombinasi linier: “perkalian matriks,” ditulis.project( )mat( )+%%

Pada akhir ;ession ini, Anda harus merasa nyaman dengan dua fungsi tersebut dan bentuk perkalian yang baru.%*%

Untuk memulai, pertimbangkan jenis masalah aljabar linier yang sering disajikan dalam buku teks dalam bentuk persamaan linier simultan. Misalnya:\[\begin{array}{rcrcr} x & + & 5 y & = &1\\ 2x & + & -2 y & = &1\\ 4x & + & 0 y & = & 1\\ \end{array} .\]

Berpikir dalam hal vektor, persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai\[ x \left(\begin{array}{r}1\\2\\4\end{array}\right) + y \left(\begin{array}{r}5\\-2\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right) .\]

Memecahkan persamaan vektor ini melibatkan memproyeksikan vektor\(\vec{b} = \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\)ke ruang yang ditentukan oleh dua vektor\(\vec{v}_1 = \left(\begin{array}{r}1\\2\\4\end{array}\right)\)dan \(\vec{v}_2 = \left(\begin{array}{r}5\\-2\\0\end{array}\right)\)). Solusinya,\(x\)dan\(y\)akan menjadi jumlah kelipatan vektor masing-masing yang diperlukan untuk mencapai vektor yang diproyeksikan.

Saat mengatur ini dengan notasi R yang akan Anda gunakan, Anda perlu membuat masing-masing vektor\(\vec{b}, \vec{v}_1\), dan\(\vec{v}_2\). Berikut caranya:

Proyeksi dicapai dengan menggunakan fungsi:project()

##         v1         v2 
## 0.32894737 0.09210526

Jika Anda ingin melihat apa proyeksi itu, cukup kalikan koefisien dengan vektor dan tambahkan. Dengan kata lain, ambil kombinasi linier

## [1] 0.7894737 0.4736842 1.3157895

Ketika ada banyak vektor yang terlibat dalam kombinasi linier, jauh lebih mudah untuk dapat merujuk semuanya dengan satu objek Nama. Fungsi mengambil vektor dan mengemasnya bersama-sama menjadi sebuah matriks. Ini bekerja seperti, tetapi tidak melibatkan vektor yang sedang diproyeksikan ke subruang. Seperti ini:mat( )project( )

##      v1 v2
## [1,]  1  5
## [2,]  2 -2
## [3,]  4  0

Perhatikan bahwa (A ) tidak memiliki informasi baru; hanya keduanya vectors\(\vec{v}_1\)dan\(\vec{v}_2\)ditempatkan berdampingan.

Mari kita lakukan proyeksi lagi:

##         v1         v2 
## 0.32894737 0.09210526

Untuk mendapatkan kombinasi linier vektor di (A ), Anda matriks-kalikan matriks (A ) kali solusi (z ):

##           [,1]
## [1,] 0.7894737
## [2,] 0.4736842
## [3,] 1.3157895

Ketika bekerja dengan data, ahli statistik hampir selalu menyertakan vektor lain yang disebutintersepsiyang hanya merupakan vektor dari semua 1s. Anda dapat menunjukkan vektor intersep dengan fungsi teori plainin, seperti ini:1mat()project()

##      (Intercept) v1 v2
## [1,]           1  1  5
## [2,]           1  2 -2
## [3,]           1  4  0

## A(Intercept)          Av1          Av2 
## 1.000000e+00 0.000000e+00 2.775558e-17

##      [,1]
## [1,]    1
## [2,]    1
## [3,]    1

Perhatikan bahwa matriksmemiliki vektorketiga: vektor intersepsi. Akibatnya solusinya memiliki tiga koefisien. Perhatikan juga bahwa kombinasi linier dari ketiga vektor persis mencapai vektor\(\vec{b}\). Itu karena sekarang ada tiga vektor yang mendefinisikan subruang:\(\vec{v}_1\),\(\vec{v}_2\), dan vektor intersep dari semua v.A

5.1.1 Contoh: Data bom atom.

File databerisi pengukuran jari-jari bola api dari bom atom (dalam meter) versus waktu (dalam detik). Dalam analisis data ini, adalah tepat untuk mencari hubungan power-law antara radius dan waktu. Ini akan muncul sebagai hubungan linier antara log-radius dan log-time. Dengan kata lain, kita ingin menemukan (m ) dan (b ) dalam hubungan log-radius (= m ) log-time (+ b ) . Ini berarti proyeksiblastdata.csv

## (Intercept)   log(time) 
##   6.2946893   0.3866425

Parameter (m ) adalah koefisien pada waktu log, ditemukan 0,3866.

Daftar Pustaka

https://dtkaplan.github.io/RforCalculus/modeling-with-linear-combinations.html