Nama : Yazid Shidqi Rabbani

Nim : 220605110064

Kelas : C

Mata Kuliah : Kalkulus

Dosen Pengampuh : Prof.Dr.Suhartono,M.Kom

Jurusan : Teknik Informatika

Universitas : UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

6.3 Fungsi dengan parameter nonlinier

Teknik aljabar linier dapat digunakan untuk mencari kombinasi linier terbaik dari suatu himpunan fungsi. Namun, seringkali, ada parameter dalam fungsi yang muncul secara nonlinier. Contohnya termasuk k dalam f(t)=Aexp(kt)+C dan P dalam Asin(2πPt)+C

. Menemukan parameter nonlinier ini tidak dapat dilakukan secara langsung menggunakan aljabar linier, meskipun metode aljabar linier memang membantu menyederhanakan situasi.

Untungnya, gagasan bahwa jarak antar fungsi dapat diukur berfungsi dengan baik ketika ada parameter nonlinear yang terlibat. Jadi kami akan terus menggunakan “jumlah sisa kuadrat” saat mengevaluasi seberapa dekat perkiraan fungsi dengan sekumpulan data.

6.4 Fungsi eksponensial

Sebagai ilustrasi, perhatikan data “Income-Housing.csv” yang menunjukkan hubungan eksponensial antara fraksi keluarga dengan dua mobil dan pendapatan:

library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
Families <- read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/Income-Housing.csv")
gf_point(TwoVehicles ~ Income, data = Families)

Pola data menunjukkan “pembusukan” eksponensial terhadap hampir 100% keluarga yang memiliki dua kendaraan. Bentuk matematis dari fungsi eksponensial ini adalah Aexp(kY)+C. A dan C adalah parameter linier yang tidak diketahui. k adalah parameter nonlinear yang tidak diketahui – ini akan menjadi negatif untuk peluruhan eksponensial. Aljabar linier memungkinkan kita menemukan parameter linier terbaik A dan C agar sesuai dengan data. Tapi bagaimana menemukan k ?

Misalkan Anda menebak k . Tebakan tidak harus benar-benar acak; Anda dapat melihat dari datanya sendiri bahwa “waktu paruh” adalah sekitar $25.000. Parameter k sesuai dengan waktu paruh, ln(0,5)/waktu paruh, jadi di sini tebakan yang baik untuk k adalah ln(0,5)/25000, yaitu

kguess <- log(0.5) / 25000
kguess
## [1] -2.772589e-05

Dimulai dengan tebakan tersebut, Anda dapat menemukan nilai terbaik dari parameter linier A dan C melalui teknik aljabar linier:

project( TwoVehicles ~ 1 + exp(Income*kguess), data = Families)
##          (Intercept) exp(Income * kguess) 
##             110.4263            -101.5666

Pastikan bahwa Anda benar-benar memahami arti dari pernyataan di atas. Ini TIDAK berarti bahwa TwoVehicles adalah jumlah 1+exp−Income×kguess. Sebaliknya, ini berarti bahwa Anda sedang mencari kombinasi linear dari dua fungsi 1 dan exp−Income×kguess yang sedekat mungkin cocok dengan TwoVehicles. Nilai yang dikembalikan oleh memberi tahu Anda apa kombinasi ini nantinya: berapa banyak dari 1 dan berapa banyak exp−Income×kguess

untuk menambahkan bersama untuk mendekati TwoVehicles.

Anda dapat membuat fungsi yang merupakan kombinasi linier terbaik dengan menambahkan kedua fungsi secara eksplisit:

f <- makeFun( 110.43 - 101.57*exp(Income * k) ~ Income, k = kguess)
gf_point(TwoVehicles ~ Income, data = Families) %>%
  slice_plot(f(Income) ~ Income)

Grafik berjalan sangat dekat dengan titik data. Tapi Anda juga bisa melihat nilai numerik dari fungsi untuk setiap pendapatan:

f(Income = 10000)
## [1] 33.45433
f(Income = 50000)
## [1] 85.0375

Sangat informatif untuk melihat nilai fungsi untuk tingkat Pendapatan tertentu dalam data yang digunakan untuk penyesuaian, yaitu, kerangka data Keluarga:

Results <- Families %>% 
  dplyr::select(Income, TwoVehicles) %>%
  mutate(model_val = f(Income = Income),
         resids = TwoVehicles - model_val)
Results
##   Income TwoVehicles model_val     resids
## 1   3914        17.3  19.30528 -2.0052822
## 2  10817        34.3  35.17839 -0.8783904
## 3  21097        56.4  53.84097  2.5590313
## 4  34548        75.3  71.45680  3.8432013
## 5  51941        86.6  86.36790  0.2320981
## 6  72079        92.9  96.66273 -3.7627306

Residunya adalah selisih antara nilai model ini dan nilai sebenarnya dari TwoVehicles dalam kumpulan data.

Kolom resi memberikan residual untuk setiap baris. Tapi Anda juga bisa menganggap kolom resi sebagai vektor. Ingatlah bahwa panjang kuadrat vektor adalah jumlah residu kuadrat

sum(Results$resids^2)
## [1] 40.32358

Daftar pusaka : https://dtkaplan.github.io/RforCalculus/solving.html