Chapter 9 Dynamics
9.1 Memecahkan persamaan diferensial
“Memecahkan” persamaan diferensial sama dengan menemukan nilai keadaan sebagai fungsi dari variabel bebas. Dalam “persamaan diferensial biasa”, hanya ada satu variabel bebas, biasanya disebut waktu. Dalam “persamaan diferensial parsial”, ada dua atau lebih variabel dependen, misalnya waktu dan ruang.
Fungsi tersebut integrateODE()menyelesaikan persamaan diferensial biasa yang dimulai dari kondisi awal keadaan tertentu.
Sebagai ilustrasi, berikut adalah persamaan diferensial yang sesuai dengan pertumbuhan logistik:
\[\frac{dx}{dt} = rx (1-x/K).\]
Ada keadaan \(x\) . Persamaan menjelaskan bagaimana perubahan keadaan dari waktu ke waktu, \(dx/dt\) adalah fungsi dari keadaan. Aplikasi umum dari persamaan logistik adalah untuk membatasi pertumbuhan penduduk; untuk \(x < K\) populasi bertambah sedangkan untuk \(x > K\) populasi meluruh. Keadaan \(x = K\) adalah “keseimbangan stabil”. Ini adalah kesetimbangan karena, ketika \(x = K\) , perubahan keadaan adalah nil: \(dx/dt = 0\) . Itu stabil, karena sedikit perubahan keadaan akan menimbulkan pertumbuhan atau pembusukan yang membawa sistem kembali ke kesetimbangan. Keadaan \(x = 0\) adalah kesetimbangan tidak stabil.
Persamaan logistik sangat disukai karena solusi aljabar ini. Persamaan yang sangat erat kaitannya dalam fenomenologinya, tidak memiliki solusi analitik.
Fungsi integrateODE()mengambil persamaan diferensial sebagai input, bersama dengan nilai awal keadaan. Nilai numerik untuk semua parameter harus ditentukan, karena mereka akan menggambar grafik solusinya. Selain itu, Anda harus menentukan rentang waktu yang Anda inginkan untuk fungsi tersebut x(t)
Objek yang dibuat oleh integrateODE()adalah fungsi waktu. Atau, lebih tepatnya, ini adalah sekumpulan solusi, satu untuk setiap variabel keadaan. Dalam persamaan logistik, hanya ada satu variabel keadaan xxttt = 0,1,…..,5.
9.2 Sistem persamaan diferensial Sistem persamaan diferensial dengan lebih dari satu variabel keadaan dapat ditangani juga. Sebagai ilustrasi, berikut adalah model SIR penyebaran epidemi, di mana negara adalah jumlah yang rentan S dan jumlah infektif Sayadalam populasi. Rentan menjadi infektif dengan bertemu infektif, infektif pulih dan meninggalkan sistem. Ada satu persamaan untuk perubahan dalam S dan persamaan yang sesuai untuk perubahan dalam I . Inisial I=1
9.2.1 Contoh: Menyelam dari papan tinggi Pertimbangkan seorang penyelam saat dia melompat dari papan setinggi 5 meter dan terjun ke air. Secara khusus, misalkan Anda ingin memahami gaya yang bekerja. Untuk melakukannya, Anda membuat model dinamis dengan variabel status ay (kecepatan) dan x (posisi). Seperti yang mungkin Anda ingat dari ilmu fisika, benda yang jatuh akan dipercepat ke bawah dengan percepatan 9,8 meter per detik 2 . Kami akan menentukan bahwa lompatan awal di papan adalah ke atas dengan kecepatan 1 meter per detik.