Bab 8 Integral dan integrasi

Operator diferensiasi mengambil sebagai input fungsi dan variabel “sehubungan dengan”. Outputnya adalah fungsi lain yang memiliki variabel “sehubungan dengan” sebagai argumen, dan kemungkinan argumen lain juga.

library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
f <- makeFun( A * x ^  2 ~ x, A = 0.5)
f(1)
## [1] 0.5
f(2)
## [1] 2
f(3)
## [1] 4.5
f(4)
## [1] 8
df <- D(f(x) ~ x)
df(1)
## [1] 1
df(3)
## [1] 3
df(2)
## [1] 2
slice_plot(f(x) ~ x, domain(x = -1:1)) %>%
  gf_labs(title = "Original function f(x)")

slice_plot(df(x) ~ x, domain(x =-1:1), color = "red") %>%
  gf_labs(title = "New function df(x), the derivative of f(x)")

Satu variabel menjadi dua argumen

Jarang sekali Anda ingin anti-diferensiasi fungsi yang baru saja Anda bedakan. Yang satu membatalkan yang lain, jadi tidak ada gunanya kecuali mengilustrasikan dalam buku teks bagaimana diferensiasi dan anti-diferensiasi terkait satu sama lain. Tetapi sering kali Anda bekerja dengan fungsi yang mendeskripsikan turunan dari beberapa fungsi yang tidak diketahui, dan Anda ingin menemukan fungsi yang tidak diketahui tersebut.

Ini sering disebut “mengintegrasikan” suatu fungsi. “Integrasi” adalah istilah yang lebih pendek dan lebih bagus daripada “anti-diferensiasi”, dan merupakan istilah yang lebih umum digunakan. Fungsi yang dihasilkan oleh proses umumnya disebut “integral”. Istilah “integral tak tentu” dan “integral tak tentu” sering digunakan untuk membedakan antara fungsi yang dihasilkan oleh anti-diferensiasi dan nilai fungsi tersebut ketika dievaluasi pada masukan tertentu. Ini akan membingungkan pada awalnya, tetapi Anda akan segera merasakan apa yang terjadi.

Inti masalahnya adalah ada lebih dari satu cara untuk “membatalkan” turunan. Pertimbangkan fungsi-fungsi berikut, yang masing-masing berbeda:

f1 <- makeFun(sin(x ^ 2) ~ x)
f2 <- makeFun(sin(x ^ 2)  +  3 ~ x)
f3 <- makeFun(sin(x ^ 2)  -  100 ~ x)
f1(1)
## [1] 0.841471
f3(1)
## [1] -99.15853
f2(1)
## [1] 3.841471

Terlepas dari kenyataan bahwa fungsi f1(x), f2(x), dan f3(x), berbeda, semuanya memiliki turunan yang sama.

df1 = D(f1(x) ~ x)
df2 = D(f2(x) ~ x)
df3 = D(f3(x) ~ x)
df1(1)
## [1] 1.080605
df2(1)
## [1] 1.080605
df3(1)
## [1] 1.080605

Untuk memulai, ada baiknya meninjau notasi matematika tradisional, sehingga dapat dibandingkan secara berdampingan dengan notasi komputer. Diberikan suatu fungsi f(x), turunan terhadap x ditulis df/dx dan antiturunannya ditulis ∫f(x)dx.

Semua fungsi yang memiliki turunan yang sama adalah serupa. Faktanya, mereka identik kecuali untuk konstanta aditif. Jadi masalah ketidaktentuan jumlah antiturunan hanya untuk konstanta penjumlahan - antiturunan dari turunan suatu fungsi akan menjadi fungsi memberi atau mengambil konstanta penjumlahan