Rangkuman bab 8

Kalkulus by Prof. Dr. SUHARTONO, M.Kom || Izza Syahri Muharram _ 220605110073 || Teknik Informatika || UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

Including Plots

You can also embed plots, for example:

Note that the echo = FALSE parameter was added to the code chunk to prevent printing of the R code that generated the plot.

Operator diferensiasi mengambil sebagai input sebuah fungsi dan variabel “sehubungan dengan”. Outputnya adalah fungsi lain yang memiliki variabel “sehubungan dengan” sebagai argumen, dan kemungkinan argumen lain juga.

library(mosaicCalc)

## Loading required package: mosaic

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

## Loading required package: mosaicCore

## 
## Attaching package: 'mosaicCore'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally

## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

f <- makeFun( A * x ^  2 ~ x, A = 0.5)
f(1)

## [1] 0.5

df <- D(f(x) ~ x)
df(1)

## [1] 1

slice_plot(f(x) ~ x, domain(x = -1:1)) %>%
  gf_labs(title = "Original function f(x)")

slice_plot(df(x) ~ x, domain(x =-1:1), color = "purple") %>%
  gf_labs(title = "New function df(x), the derivative of f(x)")

// ANTI TURUNAN Misalkan mulai dengan df(x) dan ingin menemukan fungsi DF(x) dimana turunan dari DF(x) adalah f(x). dengan kata lain menerapkan kebalikan dari D() operator ke fungsi df(x) menghasilkan f().

fungsi DF diciptakan oleh anti diferensiasi tidak f tetapi df dengan hormat x. hasilnya adalah fungsi yang seperti f. Adapun cara lain antideferensiasi suatu fungsi yang kemudian mengambil turunannya untuk kembali ke fungsi aslinya.

// SATU VARIABLE MENJADI DUA ARGUMEN

Ini sering disebut “mengintegrasikan” suatu fungsi. “Integrasi” adalah istilah yang lebih pendek dan lebih baik daripada “anti-diferensiasi,” dan merupakan istilah yang lebih umum digunakan. Fungsi yang dihasilkan oleh proses umumnya disebut “integral.” Istilah “integral tak tentu” dan “integral tak tentu” sering digunakan untuk membedakan antara fungsi yang dihasilkan oleh antidiferensiasi dan nilai fungsi tersebut ketika dievaluasi pada input tertentu. Ini akan membingungkan pada awalnya, tetapi Anda akan segera merasakan apa yang terjadi.

Anti-derivatif membatalkan turunan, tetapi apa artinya “membatalkan” properti lokal? Jawabannya adalah bahwa anti-turunan (atau, dengan kata lain, integral) memberi tahu Anda tentang beberapa sifat global atau terdistribusi dari suatu fungsi: bukan hanya nilai pada suatu titik, tetapi nilai yang terakumulasi pada seluruh rentang titik.

Inti masalahnya adalah ada lebih dari satu cara untuk “membatalkan” turunan. Pertimbangkan fungsi-fungsi berikut, yang masing-masing berbeda:

f1 <- makeFun(sin(x ^ 2) ~ x)
f2 <- makeFun(sin(x ^ 2)  +  3 ~ x)
f3 <- makeFun(sin(x ^ 2)  -  100 ~ x)
f1(1)

## [1] 0.841471

df1 = D(f1(x) ~ x)
df2 = D(f2(x) ~ x)
df3 = D(f3(x) ~ x)
df1(1)

## [1] 1.080605

Semua fungsi yang memiliki turunan yang sama adalah serupa. Faktanya, mereka identik kecuali untuk konstanta aditif. Jadi masalah ketidaktentuan jumlah antiturunan hanya untuk konstanta aditif — anti-turunan turunan dari suatu fungsi akan menjadi fungsi memberi atau menerima konstanta aditif.

// INTEGRAL

Anti-turunan mengumpulkan nilai-nilai lokal tersebut untuk memberi Anda nilai global; itu tidak hanya mempertimbangkan properti lokal dari fungsi pada satu nilai input tertentu tetapi juga nilai-nilai pada rentang input.

Ingatlah bahwa turunan dari f itu sendiri merupakan fungsi, dan fungsi itu memiliki argumen yang sama dengan f.Jadi, karena f(x)didefinisikan memiliki argumen bernama x, fungsi yang dibuat oleh D(f(x) ~ x)juga memiliki argumen bernama x(dan apa pun parameter lain yang terlibat):

antiD(f(x) ~ x)

## function (x, A, C = 0) 
## (x^3 * A)/3 + C

antiD(df(x) ~ x)

## function (x, A, C = 0) 
## A * x^2 + C

Interval pasti adalah selisih antara antiturunan yang dievaluasi pada todan antiturunan yang dievaluasi pada from. Tapi bagaimana kita tahu apa nilai dari C untuk menyediakan ketika menghitung integral tertentu. Jawabannya sederhana: tidak peduli apa c selama itu sama dalam todan fromevaluasi anti-turunan.

fun = antiD( x^2 ~ x )
fun

## function (x, C = 0) 
## x^3/3 + C

# This doesn't exist yet. FIX FIX FIX
fun(x = 2) - fun(x = -1)

## [1] 3

Untuk saat ini, ini adalah hal-hal penting yang perlu diingat:

Fungsi antiD( )akan menghitung antiturunan.
Seperti halnya turunan, antiturunan selalu diambil sehubungan dengan variabel, misalnya antiD( x^2 ~ x ). Variabel itu, di sini x, disebut (cukup masuk akal) “variabel integrasi”. Anda juga bisa mengatakan, “integral sehubungan dengan x.”
Integral pasti adalah fungsi dari variabel integrasi … semacam. Lebih tepatnya, variabel integrasi muncul sebagai argumen dalam dua samaran karena integral pasti melibatkan dua evaluasi: satu di x = to dan satu di x = from. Batas-batas yang ditentukan oleh from dan to sering disebut “wilayah integrasi.”

LATIHAN 1. Fungsi yang diintegrasikan dapat memiliki variabel atau parameter tambahan di luar variabel integrasi. Untuk mengevaluasi integral tertentu, Anda perlu menentukan nilai untuk variabel tambahan tersebut.

Misalnya, fungsi yang sangat penting dalam statistik dan fisika adalah Gaussian, yang memiliki grafik berbentuk lonceng:

gaussian <- 
  makeFun((1/sqrt(2*pi*sigma^2)) * 
            exp( -(x-mean)^2/(2*sigma^2)) ~ x,
          mean=2, sigma=2.5)
slice_plot(gaussian(x) ~ x, domain(x = -5:10)) %>%
  slice_plot(gaussian(x, mean=0, sigma=1) ~ x, color="red")

erf <- antiD(gaussian(x, mean=m, sigma=s) ~ x)
erf

## function (x, C = 0, m, s) 
## {
##     F <- makeF(gaussian(x, mean = m, sigma = s))
##     evalFun(F, x = x, m = m, s = s, .const = C)
## }
## <environment: 0x0000027729bc8f38>

∫2 dari 0 f(x,m = 0, s=1)dx

{0,13,0,34, 0,48 ,0,50,0,75,1,00}

erf(x = 2, m=0, s=1) - erf(x = 0, m=0, s=1)

## [1] 0.4772499

Rangkuman bab 8

Izza Syahri

2022-12-12

R Markdown

Including Plots