library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Bab 8 Integral dan integrasi

Anda telah melihat operator kalkulus dasar, diferensiasi, yang diimplementasikan oleh fungsi R mosaicCalc / d(). Operator diferensiasi mengambil sebagai input fungsi dan variabel “sehubungan dengan”. Outputnya adalah fungsi lain yang memiliki variabel “sehubungan dengan” sebagai argumen, dan kemungkinan argumen lain juga.

f <- makeFun( A * x ^  2 ~ x, A = 0.5)
f(1)
## [1] 0.5
f(2)
## [1] 2
f(3)
## [1] 4.5
df <- D(f(x) ~ x)
df(1)
## [1] 1
df(2)
## [1] 2
df(3)
## [1] 3
library(mosaicCalc)
  
slice_plot(df(x) ~ x, domain(x =-1:1), color = "red") %>%
  gf_labs(title = "New function df(x), the derivative of f(x)")

library(mosaicCalc)
slice_plot(f(x) ~ x, domain(x = -1:1)) %>%
  gf_labs(title = "Original function f(x)")

8.1 Antiturunan Operator invers ini diimplementasikan dalam R/mosaicCalcsebagai antiD()fungsi. antiSeperti yang disarankan akhiran , antiD()“membatalkan” apa D()(atau sesuatu seperti itu).

Perhatikan bahwa fungsi DF diciptakan oleh anti-diferensiasi tidak f tetapi df dengan hormat x. Hasilnya adalah fungsi yang “seperti” f. (Mengapa tanda kutip pada “sama seperti”? Anda akan lihat.) Anda dapat melihat bahwa nilai dari DF sama dengan nilai aslinya f.

Anda juga bisa menggunakan cara lain: anti-diferensiasi suatu fungsi dan kemudian mengambil turunannya untuk kembali ke fungsi aslinya.

8.2 Satu variabel menjadi dua argumen

f1 <- makeFun(sin(x ^ 2) ~ x)
f2 <- makeFun(sin(x ^ 2)  +  3 ~ x)
f3 <- makeFun(sin(x ^ 2)  -  100 ~ x)
f1(1)
## [1] 0.841471
f2(1)
## [1] 3.841471
f3(1)
## [1] -99.15853

erlepas dari kenyataan bahwa fungsi f1(x),f2(x), dan f3(x),berbeda,semuanya memiliki turunan yang sama.

df1 = D(f1(x) ~ x)
df2 = D(f2(x) ~ x)
df3 = D(f3(x) ~ x)
df1(1)
## [1] 1.080605
df2(1)
## [1] 1.080605
df3(1)
## [1] 1.080605

ni menimbulkan masalah. Saat Anda “membatalkan” turunan dari salah satu dari df1, df2, atau df3, apa jawabannya? Haruskah Anda mendapatkan f1atau f2atau f3atau fungsi lain? Tampaknya antiturunannya, sampai batas tertentu, tidak terbatas.

Jawaban atas pertanyaan ini sama sekali bukan misteri filosofis. Ada jawaban yang sangat pasti. Atau, lebih tepatnya, ada dua jawaban yang ternyata merupakan wajah berbeda dari hal yang sama. 8.3 Integral Derivatif memberi tahu Anda bagaimana suatu fungsi berubah secara lokal. Anti-derivatif mengumpulkan nilai-nilai lokal tersebut untuk memberi Anda nilai global; itu mempertimbangkan tidak hanya properti lokal dari fungsi pada satu nilai input tertentu tetapi juga nilai pada rentang input.D(f(x)~x)juga memiliki argumen bernama x (dan apa pun parameter lain yang terlibat):

f
## function (x, A = 0.5) 
## A * x^2
## <bytecode: 0x000001ef054d4cb8>
df
## function (x, A = 0.5) 
## 2 * A * x
## <bytecode: 0x000001ef0a142f18>
antiD(f(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## (x^3 * A)/3 + C
antiD(df(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## A * x^2 + C

Nilai C set, secara implisit, ujung bawah rentang di mana akumulasi akan terjadi. Perhatikan bagaimana perhitungan integral tentu melibatkan dua penerapan antiturunan. Interval pasti adalah selisih antara antiturunan yang dievaluasi pada to dan antiturunan yang dievaluasi pada from. Tapi bagaimana kita tahu apa nilai dari c untuk menyediakan ketika menghitung integral tertentu. Jawabannya sederhana: tidak peduli apa C selama itu adalah sama baik dalam to dan from evaluasi anti-turunan.

fun = antiD( x^2 ~ x )
fun
## function (x, C = 0) 
## x^3/3 + C

Saat Anda mengevaluasi fungsi pada nilai numerik tertentu untuk argumen tersebut, Anda berakhir dengan “integral pasti”, sebuah angka:

# This doesn't exist yet. FIX FIX FIX
fun(x = 2) - fun(x = -1)
## [1] 3

8.3.1 Latihan 8.3.1.1 Latihan 1 Tentukan nilai numerik dari setiap integral tertentu berikut. 1.∫5 2 x 1.5 dx JAWABAN: <<>>= f = antiD( x^1.5 ~ x ) f(from=2,to=5) @ 1.∫10 0 ssayan(x2)dx JAWABAN: <<>>= f = antiD(sin(x^2) ~ x) f(dari=0,ke=10) @ {0,58,6,32,20,10,27,29,53,60,107,9, 1486,8 }

8.3.1.2 Latihan 2 Ada hubungan yang sangat sederhana antara ∫ b sebuah f(x) dan f sebuah b f(x) dx- mengintegrasikan fungsi yang sama f, tetapi membalik nilai from dan to . Buat beberapa fungsi, integrasikan, dan bereksperimen dengannya untuk menemukan hubungannya. a.Mereka adalah nilai yang sama. b.Yang satu dua kali lipat nilai yang lain. c.Yang satu negatif yang lain. d.Yang satu adalah kuadrat dari yang lain. 8.3.1.3 Latihan 3 Fungsi yang diintegrasikan dapat memiliki variabel atau parameter tambahan di luar variabel integrasi. Untuk mengevaluasi integral tertentu, Anda perlu menentukan nilai untuk variabel tambahan tersebut.

Misalnya, fungsi yang sangat penting dalam statistik dan fisika adalah Gaussian, yang memiliki grafik berbentuk lonceng:

library(mosaicCalc)
gaussian <- 
  makeFun((1/sqrt(2*pi*sigma^2)) * 
            exp( -(x-mean)^2/(2*sigma^2)) ~ x,
          mean=2, sigma=2.5)
slice_plot(gaussian(x) ~ x, domain(x = -5:10)) %>%
  slice_plot(gaussian(x, mean=0, sigma=1) ~ x, color="red")

Seperti yang Anda lihat, ini adalah fungsi dari x, tetapi juga parameter mean dan sigma. Saat Anda mengintegrasikan ini, Anda perlu memberi tahu antiD()atau integral ()parameter apa yang akan dipanggil:

erf <- antiD(gaussian(x, mean=m, sigma=s) ~ x)
erf
## function (x, C = 0, m, s) 
## {
##     F <- makeF(gaussian(x, mean = m, sigma = s))
##     evalFun(F, x = x, m = m, s = s, .const = C)
## }
## <environment: 0x000001ef161200f8>

Evaluasi setiap integral tertentu berikut: 1.∫1 0 erf(x.m=0,s=1)dx {0,13, 0,34 ,0,48,0,50,0,75,1,00}

MENJAWAB:

erf(x = 1, m=0, s=1) - erf(x = 0, m=0, s=1)
## [1] 0.3413447

Namanya erfsewenang-wenang. Dalam matematika, erfadalah nama dari sesuatu yang disebut Fungsi ERror, sama seperti sinnama fungsi sinus. Definisi formalerf sedikit berbeda dari yang erfdisajikan di sini, tetapi namanya erfsangat menyenangkan sehingga saya ingin memasukkannya ke dalam buku. Yang sebenarnya erfadalah erfHairmsebuahl(x)=2erf here(x) -1 1.∫2 0 f(x,m=0,s=1)dx {0,13,0,34, 0,48 ,0,50,0,75,1,00}

MENJAWAB:

erf(x = 2, m=0, s=1) - erf(x = 0, m=0, s=1)
## [1] 0.4772499

1.∫2 0 f(x,m=0,s=2)dx {-0.48, -0.34 ,-0.13, 0.13, 0.34, 0.48}

MENJAWAB:

erf(x = 0, m=0, s=2) - erf(x = 2, m=0, s=2)
## [1] -0.3413447

1.∫3 −∞ f(x,m=3,s=10)dx {0,13,0,34,0,48,0,50,0,75, 1,00 }

MENJAWAB:

erf(x = -Inf, m=3, s=10) - erf(x = 3, m=3, s=10)
## [1] -0.5

1.∫−∞ ∞ f(x,m=3,s=10)dx {0,13,0,34,0,48,0,50,0,75, 1,00 }

MENJAWAB:

erf(x = Inf, m=3, s=10) - erf(x = -Inf, m=3, s=10)
## [1] 1

R Markdown

This is an R Markdown document. Markdown is a simple formatting syntax for authoring HTML, PDF, and MS Word documents. For more details on using R Markdown see http://rmarkdown.rstudio.com.

When you click the Knit button a document will be generated that includes both content as well as the output of any embedded R code chunks within the document. You can embed an R code chunk like this:

summary(cars)
##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

Including Plots

You can also embed plots, for example:

Note that the echo = FALSE parameter was added to the code chunk to prevent printing of the R code that generated the plot.