Ejercicio 9.18

Se investiga la temperatura de deflexión bajo carga de dos tipos diferentes de tubos de plástico. Se prueban dos muestras aleatorias de \(15\) ejemplares, y las temperaturas de deflexión observadas se reportan a continuación (en \(°\)F):

Tipo 1
206 193 192
188 207 210
205 185 194
187 189 178
194 213 205
Tipo 2
177 176 198
197 185 188
206 200 189
201 197 203
180 192 192

a)

Construya gráficas de caja y gráficas de probabilidad normal para las dos muestras. ¿Estas gráficas apoyan los supuestos de normalidad y varianzas iguales? Escriba una interpretación práctica de estas gráficas.

Se consideran los vectores con los datos de las temperaturas de deflexión bajo carga del primer y segundo tipo de tubo de plástico para generar las gráficas de caja y las de probabilidad normal.

temp_defl_1<-c(206,188,205,187,194,193,207,185,189,213,192,210,194,178,205)
temp_defl_2<-c(177,197,206,201,180,176,185,200,197,192,198,188,189,203,192)
library(fitdistrplus)
fn_1 <- fitdist(temp_defl_1, "norm")
fn_2 <- fitdist(temp_defl_2, "norm")
plot.legend <- c("Normal")
par(mfrow = c(2, 2))
boxplot(temp_defl_1, horizontal = TRUE, main = "Tipo 1")
boxplot(temp_defl_2, horizontal = TRUE, main = "Tipo 2")
ppcomp(fn_1, legendtext = plot.legend, main = "Tipo 1", xlab = "Probabilidades teóricas", ylab = "Probabilidades empíricas")
ppcomp(fn_2, legendtext = plot.legend, main = "Tipo 2", xlab = "Probabilidades teóricas", ylab = "Probabilidades empíricas")

De las gráficas de probabilidad normal se ve que ambos tipos parecen satisfacer el supuesto de normalidad pues los datos se encuentran aproximadamente sobre la línea recta. También se puede observar que conforme incrementa el valor de las probabilidades teóricas, el aumento de las probabilidades empíricas es muy similar tanto en la gráfica del Tipo \(1\) como en la del Tipo \(2\), por lo que la igualdad de varianzas también parece satisfacerse. Sin embargo de las gráficas de caja se puede observar que aunque el rango total de las distribuciones para ambos tipos de tubos es muy similar, la forma de la distribución del rango intercuartílico se ve menos simétrica en el Tipo \(1\), por lo que una variación desigual podría presentarse. En este caaso una prueba estadística puede dar una mejor conclusión para este supuesto.

b)

¿Los datos apoyan la información de que la temperatura de deflexión bajo carga del tubo tipo \(2\) excede la del tipo \(1\)? Use \(\alpha = 0.05\) para llegar a una conclusión.

  1. Planteamiento del problema: El parámetro de interés es la diferencia la temperatura de deflexión bajo carga.
  2. Planteamiento de hipótesis nula: \(H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0\).
  3. Planteamiento de hipótesis alternativa: \(H_1: \mu_1 - \mu_2 < 0\).
  4. Asignar nivel de significancia: \(\alpha = 0.05\).
  5. Calcular estadística de prueba: \(t_c=\frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-\Delta_0}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\). Calculando a través de una prueba \(t\) en \(\texttt{R}\) se obtienen los siguientes resultados:
t.test(temp_defl_1,temp_defl_2,alternative="less",var.equal = FALSE)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  temp_defl_1 and temp_defl_2
## t = 1.19, df = 27.698, p-value = 0.8779
## alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
## 95 percent confidence interval:
##      -Inf 10.53011
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  196.4000  192.0667

Y se tiene que el valor de la estadística de prueba es \(t_c=1.19\).

  1. Definir región de rechazo: Se rechaza \(H_0\) si \(t_c<-t_{1-\alpha,n_1+n_2-2}\) donde \(-t_{0.95,28}=-1.701131\).
  2. Conclusión: Como \(t_c=1.19>t_{0.05,28}=-1.1701131\) no se rechaza \(H_0\) y se concluye que la temperatura de deflexión bajo carga promedio del Tipo \(2\) no excede a la temperatura de deflexión bajo carga promedio del Tipo \(1\) al nivel \(\alpha=0.05\) de significancia.

c)

Calcule el valor \(P\) para la prueba del inciso \(b)\)

Para calcular el valor \(P\) se toma la probabilidad \(P(t<t_c=1.19)\), que de la prueba \(t\) del ejercicio \(b)\) se tiene un valor de \(0.8779\), por lo que existe una fuerte concordancia entre las nmuestras obtenidas y la teoría que propone la población, por lo que es necesaria más evidencia para poder rechazar la hipóteis nula.

d)

Suponga que si la temperatura de deflexión media del tubo tipo \(2\) excede la del tipo \(1\) hasta por \(5°\)F, es importante detectar esta diferencia con una probabilidad de al menos \(0.90\). ¿La elección de \(n_1=n_2=15\) en el inciso \(a)\) de este problema es adecuada?

Suponiendo un \(\Delta=5\) y tomando a \(s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}=\sqrt{\frac{14(10.48)^2+14(9.44)^2}{28}}=9.97\) como estimador de \(\sigma\) se tiene que la escala de las abscisas de la curva de operación característica con \(\alpha=0.05\) y \(\beta=0.1\) es \(d=\frac{\mu_1-\mu_2}{2s_p}=\frac{3}{2(9.97)}=0.251\), de donde se obtiene una \(n\approx 100\). Esto implica que \(n_1=n_2=100\), por lo que los tamaños muestrales de \(15\) son inadecuados.