Source : https://dtkaplan.github.io/RforCalculus/dynamics.html

9.1 Memecahkan persamaan diferensial

“Memecahkan” persamaan diferensial sama dengan menemukan nilai keadaan sebagai fungsi dari variabel bebas. Dalam “persamaan diferensial biasa”, hanya ada satu variabel bebas, biasanya disebut waktu. Dalam “persamaan diferensial parsial”, ada dua atau lebih variabel dependen, misalnya waktu dan ruang.

Fungsi tersebut integrateODE()menyelesaikan persamaan diferensial biasa yang dimulai dari kondisi awal keadaan tertentu.

Sebagai ilustrasi, berikut adalah persamaan diferensial yang sesuai dengan pertumbuhan logistik:

Ada negara bagian x. Persamaan menggambarkan bagaimana perubahan keadaan dari waktu ke waktu, dx/dt merupakan fungsi negara. Aplikasi umum dari persamaan logistik adalah untuk membatasi pertumbuhan penduduk; untuk xK populasi membusuk. Negara x=K adalah “keseimbangan stabil.” Ini adalah kesetimbangan karena, kapan x=K, perubahan status adalah nihil: dx/dt=0. Itu stabil, karena sedikit perubahan keadaan akan menimbulkan pertumbuhan atau pembusukan yang membawa sistem kembali ke kesetimbangan. Negara x=0 merupakan kesetimbangan yang tidak stabil.

Solusi aljabar untuk persamaan ini adalah bahan pokok buku kalkulus. 4 Itu

Persamaan logistik sangat disukai karena solusi aljabar ini. Persamaan yang sangat erat kaitannya dalam fenomenologinya, tidak memiliki solusi analitik.

Fungsi integrateODE()mengambil persamaan diferensial sebagai input, bersama dengan nilai awal keadaan. Nilai numerik untuk semua parameter harus ditentukan, karena mereka akan menggambar grafik solusinya. Selain itu, Anda harus menentukan rentang waktu yang Anda inginkan untuk fungsi tersebut x(t). Misalnya, inilah solusi untuk waktu berjalan dari 0 hingga 20.

9.2 Sistem persamaan diferensial

Sistem persamaan diferensial dengan lebih dari satu variabel keadaan dapat ditangani juga. Sebagai ilustrasi, berikut adalah model SIR penyebaran epidemi, di mana negara adalah jumlah yang rentan S dan jumlah infektif Saya dalam populasi. Rentan menjadi infektif dengan bertemu infektif, infektif pulih dan meninggalkan sistem. Ada satu persamaan untuk perubahan dalam S dan persamaan yang sesuai untuk perubahan dalam Saya. Inisial Saya=1, sesuai dengan awal epidemi.

Sistem dua persamaan diferensial ini diselesaikan untuk menghasilkan dua fungsi, S(t) dan Saya(t).

Dalam solusinya, Anda dapat melihat epidemi tumbuh ke puncaknya t=5. Pada titik ini, jumlah yang rentan telah turun drastis sehingga jumlah yang menular juga mulai turun. Pada akhirnya, hampir setiap orang yang rentan telah terinfeksi.