INTEGRAL DAN INTEGRASI

Operator diferensiasi mengambil sebagai input fungsi dan variabel “sehubungan dengan”. Outputnya adalah fungsi lain yang memiliki variabel “sehubungan dengan” sebagai argumen, dan kemungkinan argumen lain juga.

library(mosaic)
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
f <- makeFun( A * x ^  2 ~ x, A = 0.5)
f(1)
## [1] 0.5
f(2)
## [1] 2
f(3)
## [1] 4.5
df <- D(f(x) ~ x)
df(1)
## [1] 1
df(2)
## [1] 2
df(3)
## [1] 3
slice_plot(f(x) ~ x, domain(x = -1:1)) %>%
  gf_labs(title = "Original function f(x)")

slice_plot(df(x) ~ x, domain(x =-1:1), color = "red") %>%
  gf_labs(title = "New function df(x), the derivative of f(x)")

Antiturunan

Operator invers ini diimplementasikan dalam R/ mosaicCalcsebagai antiD()fungsi. Seperti yang disarankan akhiran anti, antiD()“membatalkan” apa . Seperti ini: D()

DF <- antiD(df(x) ~ x)
DF(1,0.5)
## [1] 0.5
DF(2,0.5)
## [1] 2
DF(3,0.5)
## [1] 4.5
slice_plot(df(x) ~ x, domain(x=-1:1), color = "red") %>%
  gf_labs(title = "Original function df(x)")

anti-diferensiasi suatu fungsi dan kemudian mengambil turunannya untuk kembali ke fungsi aslinya.

h <- antiD( f(x) ~ x )
dh <- D(h(x) ~ x )
dh(1,0.5)
## [1] 0.5
dh(2,0.5)
## [1] 2
dh(3,0.5)
## [1] 4.5

Satu Variabel Menjadi Dua Argumen

“Integrasi” adalah istilah yang lebih pendek dan lebih bagus daripada “anti-diferensiasi”, dan merupakan istilah yang lebih umum digunakan. Fungsi yang dihasilkan oleh proses umumnya disebut “integral”. Istilah “integral tak tentu” dan “integral tak tentu” sering digunakan untuk membedakan antara fungsi yang dihasilkan oleh anti-diferensiasi dan nilai fungsi tersebut ketika dievaluasi pada masukan tertentu. Ini akan membingungkan pada awalnya, tetapi Anda akan segera merasakan apa yang terjadi.

turunan memberi tahu properti lokal dari suatu fungsi: bagaimana fungsi berubah ketika salah satu input diubah dengan jumlah kecil. Turunannya adalah semacam kemiringan.

Anti-derivatif membatalkan turunan, tetapi apa artinya “membatalkan” properti lokal? Jawabannya adalah anti-turunan (atau, dengan kata lain, integral) memberi tahu Anda tentang beberapa properti global atau terdistribusi dari suatu fungsi: bukan hanya nilai pada suatu titik, tetapi nilai yang terakumulasi pada seluruh rentang titik. Sifat antiturunan global atau terdistribusi inilah yang membuat antiturunan sedikit lebih rumit daripada turunan, tetapi tidak lebih dari itu.

Inti masalahnya adalah ada lebih dari satu cara untuk “membatalkan” turunan. Pertimbangkan fungsi-fungsi berikut, yang masing-masing berbeda:

f1 <- makeFun(sin(x ^ 2) ~ x)
f2 <- makeFun(sin(x ^ 2)  +  3 ~ x)
f3 <- makeFun(sin(x ^ 2)  -  100 ~ x)
f1(1)
## [1] 0.841471
f2(1)
## [1] 3.841471
f3(1)
## [1] -99.15853

Terlepas dari kenyataan bahwa fungsi , , dan , berbeda, semuanya memiliki turunan yang sama. f1(x) f2(x) f3(x)

df1 = D(f1(x) ~ x)
df2 = D(f2(x) ~ x)
df3 = D(f3(x) ~ x)
df1(1)
## [1] 1.080605
df2(1)
## [1] 1.080605
df3(1)
## [1] 1.080605

Ini menimbulkan masalah. Saat “membatalkan” turunan dari salah satu dari df1, df2, atau df3, apa jawabannya? Haruskah mendapatkan atau fungsi lainnya? Tampaknya antiturunannya, sampai batas tertentu, tidak terbatas.

Semua fungsi yang memiliki turunan yang sama adalah serupa. Faktanya, mereka identik kecuali untuk konstanta aditif. Jadi masalah ketidaktentuan jumlah antiturunan hanya untuk konstanta penjumlahan - antiturunan dari turunan suatu fungsi akan menjadi fungsi memberi atau mengambil konstanta penjumlahan: Jadi, selama Anda tidak memedulikan konstanta penjumlahan, antiturunan dari turunan suatu fungsi mengembalikan fungsi aslinya.

Integral

Derivatif memberi tahu bagaimana suatu fungsi berubah secara lokal. Anti-derivatif mengumpulkan nilai-nilai lokal tersebut untuk memberi Anda nilai global; itu mempertimbangkan tidak hanya properti lokal dari fungsi pada satu nilai input tertentu tetapi juga nilai pada rentang input.

Ingatlah bahwa turunan dari itu sendiri adalah sebuah fungsi, dan fungsi tersebut memiliki argumen yang sama dengan . Jadi, karena didefinisikan memiliki argumen bernama , fungsi yang dibuat oleh juga memiliki argumen bernama (dan apa pun parameter lain yang terlibat):

f
## function (x, A = 0.5) 
## A * x^2
## <bytecode: 0x000001d97d2e8238>
df
## function (x, A = 0.5) 
## 2 * A * x
## <bytecode: 0x000001d97e289498>

Operasi anti-derivatif sedikit berbeda dalam hal ini. Saat Anda menggunakan antiD(), nama variabel fungsi diganti dengan dua argumen: nama sebenarnya (dalam contoh ini, ) dan konstanta : xC

antiD(f(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## (x^3 * A)/3 + C
antiD(df(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## A * x^2 + C

Nilai Cset, secara implisit, ujung bawah rentang di mana akumulasi akan terjadi.

Ini adalah poin yang agak dikaburkan oleh notasi matematika tradisional, yang memungkinkan Anda menuliskan pernyataan yang tidak sepenuhnya eksplisit. Misalnya, dalam notasi tradisional, cukup diterima untuk menulis pernyataan integrasi seperti ini: Ini terlihat seperti fungsi dari . Tapi itu tidak sepenuhnya benar. Nyatanya, pernyataan lengkap integral melibatkan argumen lain: : Jadi, sungguh, nilai adalah fungsi dari dan . Dalam notasi tradisional.

Gaya tradisional lain untuk menulis integral adalah di mana $.perhitungan integral tentu melibatkan dua penerapan antiturunan. Interval pasti adalah selisih antara antiturunan yang dievaluasi pada todan antiturunan yang dievaluasi pada from. Tapi bagaimana kita tahu berapa nilai yang diberikan saat menghitung integral tertentu. Jawabannya sederhana: tidak masalah apa selama itu sama baik di dalam maupun di evaluasi antiturunan.dalam perhitungan membatalkan dalam perhitungan.Karena dibatalkan, nilai apa pun dari C C to from C from C to CC akan melakukan. Dalam perangkat lunak, kami memilih untuk menggunakan nilai default C=0

fun = antiD( x^2 ~ x )
fun
## function (x, C = 0) 
## x^3/3 + C

Saat mengevaluasi fungsi pada nilai numerik tertentu untuk argumen tersebut, dan berakhir dengan “integral pasti”, sebuah angka:

# This doesn't exist yet. FIX FIX FIX
fun(x = 2) - fun(x = -1)
## [1] 3

Untuk saat ini, ini adalah hal-hal penting yang perlu diingat:

1.Fungsi antiD( )akan menghitung antiturunan.

2.Seperti halnya turunan, antiturunan selalu diambil sehubungan dengan variabel, misalnya antiD( x^2 ~ x ). Variabel itu, di sini x, disebut (cukup masuk akal) “variabel integrasi”. Anda juga bisa mengatakan, “integral terhadap .” x

3.Integral pasti adalah fungsi dari variabel integrasi … semacam. Untuk lebih tepatnya, variabel integrasi muncul sebagai argumen dalam dua samaran karena integral pasti melibatkan dua evaluasi: satu di dan satu di . Batasan yang ditentukan oleh dan sering disebut “wilayah integrasi”. x= to x= fromfromto

Banyaknya istilah kosa kata yang digunakan mencerminkan berbagai cara Anda dapat menentukan atau tidak menentukan nilai numerik tertentu untuk fromdan to: “integral”, “antiturunan”, “integral tak tentu”, dan “integral pasti”. Memang, ini bisa membingungkan, tetapi itu adalah konsekuensi dari sesuatu yang penting: integralnya adalah tentang properti “global” atau “terdistribusi” dari suatu fungsi, “keseluruhan”. Sebaliknya, turunan adalah tentang properti “lokal”: bagian “. Keseluruhan umumnya lebih rumit daripada bagiannya.

Anda akan melakukannya dengan baik jika Anda dapat mengingat satu fakta tentang integral ini: selalu ada dua argumen yang mencerminkan wilayah integrasi: from dan to.