Bab 6

MENYESUAIKAN FUNGSI KE DATA

Proses pemilihan parameter untuk mencocokkan pengamatan disebut model fitting .

Banyak jenis fungsi yang berbeda dapat digunakan untuk mewakili data ini. Salah satu yang paling sederhana dan paling sering digunakan dalam pemodelan adalah fungsi garis lurus . Dalam fungsi , variabel singkatan dari input, sedangkan A dan B adalah parameter. Penting untuk diingat apa nama input dan output saat menyesuaikan model dengan data – Anda perlu mengatur agar namanya cocok dengan data yang sesuai.

Dengan data utilitas, masukannya adalah suhu, suhu. Keluaran yang akan dimodelkan adalah ccf. Untuk menyesuaikan fungsi model dengan data, tuliskan rumus dengan nama input, parameter, dan output yang sesuai di tempat yang tepat:

Keluaran dari fitModel()adalah fungsi dengan bentuk matematika yang sama seperti yang Anda tentukan di argumen pertama dengan nilai numerik spesifik yang diberikan ke parameter untuk membuat fungsi paling cocok dengan data.

fitModel()mengetahui besaran mana dalam bentuk matematika yang merupakan variabel dan mana yang merupakan parameter? Apa pun yang terkandung dalam data yang digunakan untuk pemasangan adalah variabel (di sini temp); hal-hal lain (di sini, Adan B) adalah parameter.

ini juga bisa ditambahkan fungsi lain ke dalam campuran dengan mudah.misalnya, anda mungkin berpikir itu sqrt(temp)berhasil di sana.

Contoh ini hanya melibatkan satu variabel masukan. Sepanjang ilmu alam dan sosial, teknik yang sangat penting dan banyak digunakan adalah menggunakan banyak variabel dalam sebuah proyeksi. Sebagai ilustrasi, lihat data “used-hondas.csv”harga mobil Honda bekas.

Hondas <- read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/used-hondas.csv")
head(Hondas)
##   Price Year Mileage Location Color Age
## 1 20746 2006   18394  St.Paul  Grey   1
## 2 19787 2007       8  St.Paul Black   0
## 3 17987 2005   39998  St.Paul  Grey   2
## 4 17588 2004   35882  St.Paul Black   3
## 5 16987 2004   25306  St.Paul  Grey   3
## 6 16987 2005   33399  St.Paul Black   2

kumpulan data menyertakan variabel Price, Age, dan Mileage. Tampaknya masuk akal untuk berpikir bahwa harga akan bergantung pada jarak tempuh dan usia mobil. Inilah model yang sangat sederhana yang menggunakan kedua variabel:

library(mosaic)
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
carPrice1 <- fitModel(
  Price ~ A + B * Age + C * Mileage, data = Hondas
)

lalu memplot fungsi yang sesuai

contour_plot(
  carPrice1(Age = age, Mileage = miles) ~ age + miles,
  domain(age=2:8, miles=range(0, 60000)))

Pertimbangkan sekarang cara lain untuk membaca plot kontur. Sebagai contoh, fokus pada kontur seharga $17.000. Setiap kombinasi usia dan mil yang jatuh pada kontur ini menghasilkan harga mobil yang sama: $17.000. Kemiringan kontur memberi tahu Anda pertukaran antara jarak tempuh dan usia. dua titik pada kontur yang berbeda 10.000 mil. Perbedaan usia yang sesuai adalah sekitar 1,5 tahun. Jadi, saat membandingkan dua mobil dengan harga yang sama, penurunan jarak tempuh sebesar 10.000 diimbangi dengan peningkatan usia 1,5 mil.

Model yang agak lebih canggih mungkin mencakup apa yang disebut interaksi antara usia dan jarak tempuh, dengan menyadari bahwa pengaruh usia mungkin berbeda bergantung pada jarak tempuh.

carPrice2 <- fitModel(
  Price ~ A + B * Age + C * Mileage + D * Age * Mileage,
  data = Hondas)

setelah fungsi dipasang ke data, lalu memplotnya dengan biasa:

contour_plot(
  carPrice2(Age=age, Mileage=miles) ~ age + miles,
  domain(age = range(0, 8), miles = range(0, 60000)))

Bentuk konturnya sedikit berbeda dengan di carPrice1(); mereka sedikit menonjol ke atas. menafsirkan kontur seperti itu membutuhkan sedikit latihan. Lihatlah wilayah kecil di salah satu kontur. Kemiringan kontur memberi tahu Anda trade-offantara jarak tempuh dan usia. Untuk melihatnya, lihat kontur $17.000 yang melewati usia = 6 tahun dan jarak tempuh = 10.000 mil. Sekarang lihat kontur $ 17.000 dengan jarak tempuh nol. Dalam bergerak sepanjang kontur, harga tetap konstan. (Begitulah kontur didefinisikan: titik di mana harganya sama, dalam hal ini $17.000.) Menurunkan jarak tempuh sejauh 10.000 mil diseimbangkan dengan menambah usia kurang dari satu tahun. (Kontur $17.000 memiliki titik nol jarak tempuh dan 6,8 tahun.) Cara lain untuk mengatakan ini adalah bahwa efek peningkatan usia 0,8 tahun sama dengan penurunan jarak tempuh 10.000 mil .

Sekarang lihat kontur $17.000 yang sama pada usia nol (yaitu, di ujung kiri grafik). Penurunan jarak tempuh sebesar 10.000 peningkatansesuai dengan usia 1,6 tahun. Dengan kata lain, menurut model, untuk mobil yang lebih baru kepentingan relatif antara jarak tempuh vs. usia lebih rendah daripada mobil yang lebih tua. Untuk mobil berusia nol, 10.000 mil bernilai 1,6 tahun, tetapi untuk mobil berusia enam tahun, 10.000 mil hanya bernilai 0,8 tahun.

Interaksi yang ditambahkan inilah priceFun2()yang menghasilkan pengaruh yang berbeda terhadap harga jarak tempuh untuk mobil yang berbeda umur.

Operator fitModel()membuatnya sangat mudah untuk menemukan parameter dalam model apa pun yang membuat model mendekati data paling dekat. Pekerjaan dalam pemodelan adalah memilih bentuk model yang tepat (Istilah interaksi atau tidak? Apakah akan memasukkan variabel baru atau tidak?) dan menginterpretasikan hasilnya. Di bagian selanjutnya, kita akan melihat beberapa pilihan berbeda dalam bentuk model (linier vs. nonlinier) dan beberapa logika matematis di balik pemasangan.

Kurva dan Model Linier

Kata linier dalam “model linier” mengacu pada “kombinasi linier”, bukan “garis lurus”. mengambil kombinasi fungsi linier, dan menggunakan operasi proyeksi aljabar linier untuk mencocokkan kurva ini sedekat mungkin dengan data. Proses pencocokan itu disebut “pas”.

Sebagai ilustrasi, data dalam file “utilities.csv”merekam suhu rata-rata setiap bulan (dalam derajat F) serta penggunaan gas alam bulanan (dalam kaki kubik, ccf). Ada, seperti yang Anda duga, hubungan yang kuat antara keduanya.

Utilities = read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/utilities.csv")
gf_point(ccf ~ temp, data = Utilities)

Banyak jenis fungsi yang berbeda dapat digunakan untuk mewakili data ini. Salah satu yang paling sederhana dan paling umum digunakan dalam pemodelan adalah fungsi garis lurus. Dalam hal aljabar linier, ini adalah kombinasi linier dari fungsi dan . Secara konvensional, tentu saja, fungsi garis lurus ditulis . (Mungkin Anda lebih suka menulis dengan cara ini: . Hal yang sama.) Notasi konvensional ini hanya menamai skalar sebagai dan yang akan berpartisipasi dalam kombinasi linier.

project(ccf ~ temp + 1, data = Utilities)
## (Intercept)        temp 
##  253.098208   -3.464251

Operator project( )memberikan nilai skalar. Fungsi pemasangan terbaik itu sendiri dibangun dengan menggunakan nilai skalar ini untuk menggabungkan fungsi yang terlibat.

lalu tambahkan fungsi lain ke dalam campuran dengan mudah.misalnya,sqrt(T) berhasil di sana.

Memahami matematika proyeksi penting untuk menggunakannya, tetapi fokus sejenak pada notasi yang digunakan untuk mengarahkan komputer untuk melakukan notasi aljabar linier.

Operator project( )mengambil serangkaian vektor. Saat menyesuaikan fungsi ke data, vektor ini berasal dari kumpulan data sehingga perintah harus mengacu pada nama besaran seperti yang muncul di kumpulan data, misalnya, ccfatau temp. Anda diperbolehkan melakukan operasi pada besaran tersebut, misalnya pada sqrtcontoh di atas, untuk membuat vektor baru. The ~digunakan untuk memisahkan vektor “target” dari kumpulan satu atau lebih vektor tempat proyeksi dibuat. Dalam notasi matematika tradisional,

setelah menyelesaikan proyeksi dan menemukan koefisien, lalu membuat fungsi matematika yang sesuai dengan menggunakan koefisien dalam ekspresi matematika untuk membuat fungsi. Seperti semua fungsi, nama yang gunakan untuk argumen adalah masalah pilihan pribadi, meskipun masuk akal untuk menggunakan nama yang mengingatkan Anda tentang apa yang diwakili oleh fungsi tersebut.

Sepanjang ilmu alam dan sosial, teknik yang sangat penting dan banyak digunakan adalah menggunakan banyak variabel dalam sebuah proyeksi. Sebagai ilustrasi, lihat data “used-hondas.csv”harga mobil Honda bekas.

Hondas = read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/used-hondas.csv")
head(Hondas)
##   Price Year Mileage Location Color Age
## 1 20746 2006   18394  St.Paul  Grey   1
## 2 19787 2007       8  St.Paul Black   0
## 3 17987 2005   39998  St.Paul  Grey   2
## 4 17588 2004   35882  St.Paul Black   3
## 5 16987 2004   25306  St.Paul  Grey   3
## 6 16987 2005   33399  St.Paul Black   2

kumpulan data menyertakan variabel Price, Age, dan Mileage. Tampaknya masuk akal untuk berpikir bahwa harga akan bergantung pada jarak tempuh dan usia mobil. Inilah model yang sangat sederhana yang menggunakan kedua variabel:

project(Price ~ Age + Mileage + 1, data = Hondas)
##   (Intercept)           Age       Mileage 
##  2.133049e+04 -5.382931e+02 -7.668922e-02

lalu memplotnya sebagai fungsi matematika:

car_price <- makeFun(21330-5.383e2*age-7.669e-2*miles ~ age & miles)
contour_plot(car_price(age, miles) ~ age + miles,
  domain(age=range(2, 8), miles=range(0, 60000))) %>%
  gf_labs(title = "Miles per gallon")

Model yang agak lebih canggih mungkin menyertakan apa yang disebut “interaksi” antara usia dan jarak tempuh, menyadari bahwa pengaruh usia mungkin berbeda tergantung pada jarak tempuh.

project(Price ~ Age + Mileage + Age*Mileage + 1, data = Hondas)
##   (Intercept)           Age       Mileage   Age:Mileage 
##  2.213744e+04 -7.494928e+02 -9.413962e-02  3.450033e-03
car_price2 <- makeFun(22137 - 7.495e2*age - 9.414e-2*miles +
                         3.450e-3*age*miles ~ age & miles)
contour_plot(
  car_price2(Age, Mileage) ~ Age + Mileage,  
  domain(Age = range(0, 10), Mileage = range(0, 100000))) %>%
  gf_labs(title = "Price of car (USD)")

Fungsi Dengan Parameter Nonlinier

Teknik aljabar linier dapat digunakan untuk mencari kombinasi linier terbaik dari suatu himpunan fungsi. Namun, seringkali, ada parameter dalam fungsi yang muncul secara nonlinier. Contohnya termasuk di dan di . Menemukan parameter nonlinier ini tidak dapat dilakukan secara langsung menggunakan aljabar linier, meskipun metode aljabar linier memang membantu menyederhanakan situasi.

Untungnya, gagasan bahwa jarak antar fungsi dapat diukur berfungsi dengan baik ketika ada parameter nonlinear yang terlibat. Jadi kita akan terus menggunakan “jumlah residu kuadrat” saat mengevaluasi seberapa dekat perkiraan fungsi dengan sekumpulan data.

Fugsi Eksponensial

Sebagai ilustrasi, pertimbangkan “Income-Housing.csv”data yang menunjukkan hubungan eksponensial antara fraksi keluarga dengan dua mobil dan pendapatan:

Families <- read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/Income-Housing.csv")
gf_point(TwoVehicles ~ Income, data = Families)

Pola data menunjukkan “pembusukan” eksponensial terhadap hampir 100% keluarga yang memiliki dua kendaraan. Bentuk matematika dari fungsi eksponensial ini adalah . A dan C adalah parameter linier yang tidak diketahui. adalah parameter nonlinear yang tidak diketahui – ini akan menjadi negatif untuk peluruhan eksponensial. Aljabar linier memungkinkan kita menemukan parameter linier terbaik dan agar sesuai dengan data.

dapat melihat dari datanya bahwa “waktu paruh” adalah sekitar $25.000. Parameter sesuai dengan waktu paruh.

kguess <- log(0.5) / 25000
kguess
## [1] -2.772589e-05

Dimulai dengan tebakan tersebut, Anda dapat menemukan nilai terbaik dari parameter linier dan melalui teknik aljabar linier:

project( TwoVehicles ~ 1 + exp(Income*kguess), data = Families)
##          (Intercept) exp(Income * kguess) 
##             110.4263            -101.5666

membuat fungsi yang merupakan kombinasi linier terbaik dengan menambahkan kedua fungsi secara eksplisit:

f <- makeFun( 110.43 - 101.57*exp(Income * k) ~ Income, k = kguess)
gf_point(TwoVehicles ~ Income, data = Families) %>%
  slice_plot(f(Income) ~ Income)

Grafik berjalan sangat dekat dengan titik data. Tapi juga bisa dilihat nilai numerik dari fungsi untuk setiap pendapatan:

f(Income = 10000)
## [1] 33.45433
f(Income = 50000)
## [1] 85.0375

Sangat informatif untuk melihat nilai fungsi untuk Incomelevel tertentu dalam data yang digunakan untuk pemasangan, yaitu data frame Families:

Results <- Families %>% 
  dplyr::select(Income, TwoVehicles) %>%
  mutate(model_val = f(Income = Income),
         resids = TwoVehicles - model_val)
Results
##   Income TwoVehicles model_val     resids
## 1   3914        17.3  19.30528 -2.0052822
## 2  10817        34.3  35.17839 -0.8783904
## 3  21097        56.4  53.84097  2.5590313
## 4  34548        75.3  71.45680  3.8432013
## 5  51941        86.6  86.36790  0.2320981
## 6  72079        92.9  96.66273 -3.7627306

Residual adalah perbedaan antara nilai model ini dan nilai sebenarnya dari kumpulanTwoVehicles data.

Kolom residsmemberikan sisa untuk setiap baris. Tapi Anda juga bisa memikirkan residskolom sebagai vektor . Ingatlah bahwa panjang kuadrat vektor adalah jumlah residu kuadrat

sum(Results$resids^2)
## [1] 40.32358

Mengoptimalkan Tebakan

sum_square_resids <- Vectorize(function(k) {
  sum((Families$TwoVehicles - f(Income=Families$Income, k)) ^ 2)
})
slice_plot(
   sum_square_resids(k) ~ k, 
   domain(k = range(log(0.5)/40000,log(0.5)/20000)))

Ini adalah perintah komputer yang agak rumit, tetapi grafiknya langsung. Anda dapat melihat bahwa nilai “terbaik” dari , yaitu nilai yang membuat jumlah residu kuadrat sekecil mungkin, mendekati — tidak terlalu jauh dari tebakan awal, seperti yang terjadi. (Itu karena waktu paruh sangat mudah diperkirakan.)

Untuk melanjutkan eksplorasi Anda dalam penyesuaian kurva nonlinier, Anda akan menggunakan fungsi tujuan khusus yang melakukan sebagian besar pekerjaan untuk Anda sambil memungkinkan Anda mencoba berbagai nilai (k dengan menggerakkan penggeser k.