Objetivo

Transformar distribución normal a normal estándar y calcular probabilidades.

Fundamento teórico

La distribución normal estándar o distribución normal tipificada es una distribución normal singular cuya denominación es media igual a cero y desviación igual a 1. \(\mu = 0 ; \sigma = 1\).

Se necesita una variable, Z que representa el producto de una transformación o cambio de variable de la variable aleatoria continua X que sigue una distribución normal del tipo \(N(μ, σ)\).

Esta transformación se llama tipificación (también estandarización o normalización):

¿Porque Z? En general, el valor de \(Z\) se interpreta como el número de desviaciones estándar que están comprendidas entre el promedio y un cierto valor de variable \(x\).

Se identifica \(z\) como la diferencia entre un valor de la variable y el promedio, expresada esta diferencia en cantidad de desviaciones estándar.[@mendenhall2010].

Entonces, a partir de cualquier variable aleatoria \(x\) que siga una distribución, se puede obtener otra característica \(z\) con una distribución normal estándar, sin más que efectuar la transformación conforme y de acuerdo a la fórmula.

Fórmula para calcular Z:

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

\[ x \text{ es el valor de una variable aleatoria continua de una distribución normal} \\ \sigma \text{ desviación estándar de población} \\ \mu \text{ media de la población} \]

Regla empírica

Establece que si una variable aleatoria está normalmente distribuida, entonces:

  1. Aproximadamente 68% de las observaciones caerán entre más y menos una desviación estándar de la media.
  2. Aproximadamente 95% de las observaciones caerán entre más y menos dos desviaciones estándar de la media.
  3. Prácticamente todas, o 99.7% de las observaciones caerán entre más y menos tres desviaciones estándar de la media.[@lind2015].

Ejemplo: una desviación estándar de la media es igual al valor \(z\) de 1.00. Al hablar de la tabla de probabilidad normal estándar, el valor \(z\) de 1.00 corresponde a una probabilidad de 0.3413. Por lo tanto, ¿qué porcentaje de las observaciones caerá entre más y menos una desviación estándar de la media? Se multiplica (2)(0.3413), lo que da 0.6826, o aproximadamente \(68\%\) de las observaciones están entre más y menos una desviación estándar de la media.

Descripción

Cargar librerías y datos para representar una distribución normal y transformar a distribución normal estándar

Desarrollo

Cargar librerías

{r message=FALSE, warning=FALSE} library(cowplot) # Gráficos library(ggplot2) # Gráfico library(mosaic) library(dplyr) # Para proesar filtrar ordenar con arrange

Crear datos

Inicializando variables

La población tiene una variable aleatoria de interés como lo puede ser la altura de las personas. Valores medidos en centímetros.

Se inicializan las variables para generar valores aleatorios y simular una población.

n <- 200
media <- 175
desv <- 10

Se generan 200 valores aleatorios o con las condiciones de una distribución normal de media igual a \(\mu = 175cm.\) y desviación de \(\sigma = 10cm.\).

set.seed(2021)
n <- 200
estaturas<- rnorm(n = n, mean = media, sd = desv)
estaturas

Determinar los parámetros media y desviación de los datos

Se identifican la media aritmética y la desviación de la población generada.

media.p <- round(mean(estaturas),2)
desv.p <- round(sd(estaturas),2)
media.p; desv.p

Visualizar la distribución normal con plotDist()

Se muestra la distribución normal con función plotDist() de la librería mosaic.

g1 <- plotDist(dist = "norm", mean = media.p, sd = desv.p, type = "h", xlab = "x's = Estaturas", col = 'blue')
g1

Transformar a distribución normal estándar

Z se interpreta como los valores que están a la derecha de una distribución normal con media igual a cero y desviación igual a 1.

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

En la siguiente función f.devolver.z() se hace una simulación de transforma cualquier valor de \(x\) a valores de \(z\). Se simula transformar valores de 170 a 180 de 0.5 en 0.5.

En el archivo que se carga a continuación, se encuentra programada una función f.devolver.z() para obtener el valor de z a partir de los parámetros x, media y desviación.

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Enero%20Junio%202022/funciones/funciones.para.distribuciones.r")
x = seq(from = 170, to = 180, by = .5)
# z ?
#f.devolver.z <- function(x, media, desv) {
#  z <- (x - media) / desv
#  z
#}
z <- f.devolver.z(x = x, media = media.p, desv = desv.p)
x; z

Data.frame de x’s y z’s

equivalencias <- data.frame (x = estaturas, z = f.devolver.z(x = estaturas, media = media, desv = desv))
# equivalencias

Ordenando equivalencias

Se muestran ordenados para identificarlos de manera más práctica y únicamente los primeros y últimos veinte registros.

equivalencias <- arrange(equivalencias, x)
head(equivalencias, 20)
tail(equivalencias, 20)

Normal estándar

La media debe ser 0 y la desviación es 1

\[ \mu = 0 \\ \sigma = 1 \]

Gráfica de normal estándar con plotDist()

Se muestran los datos de la distribución estaturas con valores transformados a z.

g2 <- plotDist(dist = "norm", mean = 0, sd = 1, type = "h", xlab = "Z's", col = 'red')
g2

Gráficas en el mismo renglón

plot_grid(g1, g2, nrow = 1, ncol=2)

Visualizando con ggplot

Se muestran las gráficas de distribución normal con datos de estaturas en azul y gráficas de valores de estaturas transformados a \(z\) en color rojo.

gnormal <- ggplot(data = equivalencias) +
  geom_point(aes(x = x, y = dnorm(x = x, mean = media.p, sd = desv.p)), col = 'blue') +
  geom_line(aes(x = x, y = dnorm(x = x, mean = media.p, sd = desv.p)), col = 'blue') +
  geom_vline(xintercept = media.p) +
  ggtitle(label = "Distribución normal", subtitle = paste("Media = ", media.p))
gnormalstd <- ggplot(data = equivalencias) +
  geom_point(aes(x = z, y = dnorm(x = z, mean = 0, sd = 1)), col = 'red') +
  geom_line(aes(x = z, y = dnorm(x = z, mean = 0, sd = 1)), col = 'red') +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  ggtitle(label = "Distribución normal Estándar", subtitle = paste("Media = ", 0))
plot_grid(gnormal, gnormalstd, nrow=1, ncol=2)

Calcular probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga una estatura x por encima de 180 cm.?

\[ P(x \ge 180) = 1 - P(x < 180) = \text {lower tail = FALSE} \]

x <- 180
prob1 <- round(pnorm(q = x, mean = media.p, desv.p, lower.tail = FALSE) * 100, 2)
paste(prob1, "%")

Gráfica

gnormal <- plotDist(dist = "norm", mean = media.p, sd = desv.p, type = "h", xlab = "x's", groups = x >= 180, col = c('blue', 'pink'), main= "Distribución normal", sub= paste("Media = ", media.p, "f(x > ", x , ") = ", prob1, "%"))

Transformar 180 a z

x <- 180
z <- f.devolver.z(x = x, media = media.p, desv = desv.p)
z

La probabilidad con respecto a z

prob2 <- round(pnorm(q = z, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE) * 100, 2)
paste(prob2, "%")

Gráfica con respecto a Z

gnormal.z <- plotDist(dist = "norm", mean = 0, sd = 1, type = "h", xlab = "z's", groups = x >= z, col = c('red', 'pink'), main= "Distribución normal estándar", sub= paste("Media = ", 0, "f(z > ", round(z,2) , ") = ", prob2, "%"))

Gráficas en el mismo renglón

plot_grid(gnormal, gnormal.z, nrow = 1, ncol=2)

¿Cuál es la probabilidad de tener una estatura por debajo o igual que la media?

La respuesta es razonar y deducir si el 50% está a la derecha y el otro 50% está a la izquierda entonces la probabilidad es aproximadamente del 50% \[ P(x <= mean) = 50 \% \\ o \\ P(z <= 0 ) = 50\% \]

Probabilidad en distribución normal

x <- media.p
prob1 <- round(pnorm(q = x, mean = media.p, desv.p, lower.tail = FALSE) * 100, 2)
paste(prob1, "%")

Gráfica

gnormal <- plotDist(dist = "norm", mean = media.p, sd = desv.p, type = "h", xlab = "x's", groups = x<= media.p, col = c('blue', 'pink'), main= "Distribución normal", sub= paste("Media = ", media.p, "f(x < ", x , ") = ", prob1, "%"))

Transformar la media de la población a z

x <- media.p
z <- f.devolver.z(x = x, media = media.p, desv = desv.p)
z

La probabilidad con respecto a z

prob2 <- round(pnorm(q = z, mean = 0, sd=1) * 100, 2)
paste(prob2, "%")

Gráfica con respecto a Z

gnormal.z <- plotDist(dist = "norm", mean = 0, sd = 1, type = "h", xlab = "z's", groups = x <= z, col = c('red', 'pink'), main= "Distribución normal estándar", sub= paste("Media = ", 0, "f(z < ", round(z,2) , ") = ", prob2, "%"))

Gráficas en el mismo renglón

plot_grid(gnormal, gnormal.z, nrow = 1, ncol=2)

Ejercicio

Se toma de referencia algunos ejercicios de distribuciones normales. [@matemovil].

Por ejemplo, si se desea encontrar la probabilidad de que la variable estandarizada \(z\), tome un valor entre \(0\) y \(1.50\); hay que encontrar el área bajo la curva entre \(z = 0\) y \(z = 1.50\), o lo que es lo mismo la probabilidad \(P(0 \le z \le 1.50)\) [@matemovila].

z1 = 0
z2 = 1.5
prob2 <- pnorm(q = z2, mean = 0, sd=1) - pnorm(q = z1, mean = 0, sd = 1)
prob2 <- round(prob2 * 100, 2)
paste(prob2, "%")

Visualizar gráfica

gnormal.z <- plotDist(dist = "norm", mean = 0, sd = 1, type = "h", xlab = "z's", groups = x >= z1 & x <= z2, col = c('grey', 'pink'), main= "Distribución normal estándar", sub= paste("Media = ", 0, "f(",z1, "<= z <=",z2,")", prob2, "%")) 
  
gnormal.z

Usando xpnorm()

La función xpnorm() de librería mosaic refleja el área bajo la curva y los valores porcentuales de probabilidad.

{r message=FALSE, warning=FALSE} grafica <- xpnorm(q = c(0, 1.5), mean = 0, sd = 1) grafica round(grafica[1] - grafica[2], 4)

Salida de xpnorm()

If X ~ N(0, 1), then

P(X <= 0.0) = P(Z <= 0.0) = 0.5000  P(X <= 1.5) = P(Z <= 1.5) = 0.9332
P(X >  0.0) = P(Z >  0.0) = 0.50000 P(X >  1.5) = P(Z >  1.5) = 0.06681

Interpretación

Primero debemos observar que es la distribución normal estándar. En general tiene como trabajo adaptar una variable aleatoria a una función que depende de la media y la desviación estándar.

Dicha distribución tiene la forma de una campana la cual es simétrica con respecto a la media, su forma depende tanto de la media así como de la desviación estándar.

Bibliografía