Bab 8 Integral dan Integrasi Operator diferensiasi mengambil sebagai input fungsi dan variabel “sehubungan dengan”. Outputnya adalah fungsi lain yang memiliki variabel “sehubungan dengan” sebagai argumen, dan kemungkinan argumen lain juga.

library(mosaicCalc)
## Warning: package 'mosaicCalc' was built under R version 4.1.3
## Loading required package: mosaic
## Warning: package 'mosaic' was built under R version 4.1.3
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## Warning: package 'mosaicCore' was built under R version 4.1.3
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
f <- makeFun( A * x ^  2 ~ x, A = 0.5)
f(1)
## [1] 0.5
f(2)
## [1] 2
f(3)
## [1] 4.5
df <- D(f(x) ~ x)
df(1)
## [1] 1
df(3)
## [1] 3
library(mosaicCalc)

slice_plot(f(x) ~ x, domain(x = -1:1)) %>%
  gf_labs(title = "Original function f(x)")

8.1 Antiturunan

Operator invers ini diimplementasikan dalam R/ mosaicCalcsebagai antiD()fungsi. antiSeperti yang disarankan akhiran , antiD()“membatalkan” apa D() melakukan.

Anda juga bisa menggunakan cara lain: anti-diferensiasi suatu fungsi dan kemudian mengambil turunannya untuk kembali ke fungsi aslinya.

8.2 Satu variabel menjadi dua argumen

Inti masalahnya adalah ada lebih dari satu cara untuk “membatalkan” turunan. Pertimbangkan fungsi-fungsi berikut, yang masing-masing berbeda:

f1 <- makeFun(sin(x ^ 2) ~ x)
f2 <- makeFun(sin(x ^ 2)  +  3 ~ x)
f3 <- makeFun(sin(x ^ 2)  -  100 ~ x)
f1(1)
## [1] 0.841471

Terlepas dari kenyataan bahwa fungsi f semuanya memiliki turunan yang sama

df1 = D(f1(x) ~ x)
df2 = D(f2(x) ~ x)
df3 = D(f3(x) ~ x)
df1(1)
## [1] 1.080605

Semua fungsi yang memiliki turunan yang sama adalah serupa. Faktanya, mereka identik kecuali untuk konstanta aditif. Jadi masalah ketidaktentuan jumlah antiturunan hanya untuk konstanta penjumlahan - antiturunan dari turunan suatu fungsi akan menjadi fungsi memberi atau mengambil konstanta penjumlahan, Jadi, selama Anda tidak memedulikan konstanta penjumlahan, antiturunan dari turunan suatu fungsi mengembalikan fungsi aslinya.

8.3 Integral Derivatif memberi tahu Anda bagaimana suatu fungsi berubah secara lokal. Anti-derivatif mengumpulkan nilai-nilai lokal tersebut untuk memberi Anda nilai global; itu mempertimbangkan tidak hanya properti lokal dari fungsi pada satu nilai input tertentu tetapi juga nilai pada rentang input.

Ingatlah bahwa turunan dari f itu sendiri adalah fungsi, dan fungsi itu memiliki argumen yang sama dengan f . Jadi, karena f(x)didefinisikan memiliki argumen bernama x, fungsi yang dibuat oleh D(f(x) ~ x)juga memiliki argumen bernama x(dan apa pun parameter lain yang terlibat):

f
## function (x, A = 0.5) 
## A * x^2
## <bytecode: 0x0000000023c8b518>
df
## function (x, A = 0.5) 
## 2 * A * x
## <bytecode: 0x0000000024868438>

Operasi anti-derivatif sedikit berbeda dalam hal ini. Saat Anda menggunakan antiD(), nama variabel fungsi diganti dengan dua argumen: nama sebenarnya (dalam contoh ini, x ) dan konstanta C:

antiD(f(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## (x^3 * A)/3 + C
antiD(df(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## A * x^2 + C

Untuk saat ini, ini adalah hal-hal penting yang perlu diingat: 1. Fungsi antiD( )akan menghitung antiturunan. 2. Seperti halnya turunan, antiturunan selalu diambil sehubungan dengan variabel, misalnya antiD( x^2 ~ x ). Variabel itu, di sini x, disebut (cukup masuk akal) “variabel integrasi”. Anda juga bisa mengatakan, “integral sehubungan dengan x .” 3. Integral pasti adalah fungsi dari variabel integrasi … semacam. Lebih tepatnya, variabel integrasi muncul sebagai argumen dalam dua samaran karena integral pasti melibatkan dua evaluasi: satu di x = todan satu di x = from. Batasan yang ditentukan oleh fromdan tosering disebut “wilayah integrasi”.