Pemodelan dengan kombinasi linier 5.1 Aljabar linier Perhitungan untuk melakukan operasi aljabar linier termasuk yang paling penting dalam sains. Sangat penting bahwa unit yang digunakan untuk mengukur kinerja komputer untuk perhitungan ilmiah disebut “gagal”, singkatan dari “operasi titik mengambang” dan didefinisikan dalam perhitungan aljabar linier. Operasi aljabar linier dasar yang penting adalah:
-Proyeksikan satu vektor ke ruang yang ditentukan oleh sekumpulan vektor. -Buat kombinasi linier vektor.
Dalam melakukan operasi ini, Anda akan menggunakan dua fungsi utama, project( )dan , bersama dengan operasi perkalian dan penjumlahan mat( )biasa . Ada juga jenis operasi baru yang menyediakan deskripsi ringkas untuk mengambil kombinasi linier: “perkalian matriks”, ditulis .+%%
Di akhir sesi ini, Anda akan merasa nyaman dengan kedua fungsi tersebut dan bentuk perkalian yang baru %*%.
Untuk memulai, perhatikan jenis soal aljabar linier yang sering
disajikan dalam buku teks dalam bentuk persamaan linier simultan.
Sebagai contoh: x + 5 y = 1 2 x + − 2 y = 1 4 x + 0 y = 1 . Berpikir
dalam bentuk vektor, persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai x ⎛ ⎜ ⎝ 1
2 4 ⎞ ⎟ ⎠ + y ⎛ ⎜ ⎝ 5 − 2 0 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ . emecahkan
persamaan vektor ini melibatkan memproyeksikan vektor
→ b = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ ke ruang yang didefinisikan oleh dua
vektor
→ ay 1 = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 4 ⎞ ⎟ ⎠ dan → ay 2 = ⎛ ⎜ ⎝ 5 − 2 0 ⎞ ⎟ ⎠ . Solusinya,
x dan y akan menjadi jumlah kelipatan dari masing-masing vektor yang
diperlukan untuk mencapai vektor yang diproyeksikan.
Saat menyiapkan ini dengan notasi R yang akan Anda gunakan, Anda perlu membuat masing-masing vektor → b , → ay 1 , dan → ay 2 . Begini caranya:
Proyeksi dilakukan dengan menggunakan project()fungsi:
Baca ini sebagai “proyek → b ke subruang yang didefinisikan
oleh
→ ay 1 dan → ay 1 .
Jawabannya diberikan dalam bentuk pengali pada → ay 1 dan → ay 2 , yaitu nilai dari x dan y dalam masalah aslinya. Jawaban ini adalah yang “terbaik” dalam arti nilai khusus ini untuk x dan y adalah orang-orang yang datang paling dekat dengan → b , yaitu kombinasi linier yang memberikan proyeksi → b ke subruang yang didefinisikan oleh → ay 1 dan → ay 2 .
Jika Anda ingin melihat apa proyeksi itu, kalikan saja koefisien dengan vektor dan jumlahkan. Dengan kata lain, ambil kombinasi linier
Ketika ada banyak vektor yang terlibat dalam kombinasi linier, jauh lebih mudah untuk merujuk semuanya dengan satu nama objek. Fungsi mat( )mengambil vektor dan mengemasnya menjadi matriks. Ini berfungsi seperti project( ), tetapi tidak melibatkan vektor yang diproyeksikan ke subruang. Seperti ini:
Perhatikan itu SEBUAH tidak memiliki informasi baru; itu hanya dua vektor → ay 1 dan → ay 2 ditempatkan berdampingan.
Mari kita lakukan proyeksi lagi:
Untuk mendapatkan kombinasi linear dari vektor di SEBUAH , Anda mengalikan matriks dengan matriks SEBUAH kali solusinya z :
Perhatikan, itu adalah jawaban yang sama yang Anda dapatkan saat Anda melakukan perkalian “dengan tangan.”
Saat bekerja dengan data, ahli statistik hampir selalu menyertakan vektor lain yang disebut intersep yang hanya merupakan vektor dari semua 1. Anda dapat menunjukkan vektor intersep dengan dataran 1di dalam fungsi mat()or project(), seperti ini:
5.1.1 Contoh: Data bom atom. le data blastdata.csvberisi pengukuran jari-jari bola api dari bom atom (dalam meter) versus waktu (dalam detik). Dalam analisis data ini, tepat untuk mencari hubungan kekuatan-hukum antara jari-jari dan waktu. Ini akan muncul sebagai hubungan linier antara radius log dan waktu log. Dengan kata lain, kami ingin mencari m dan b dalam hubungan log-radius = m waktu log + b . Ini sama dengan proyeksi
Parameter m adalah koefisien pada log-time, ditemukan 0,3866.