Bab 5: Pemodelan Dengan Kombinasi Linier

Aljabar Linier

Perhitungan untuk melakukan operasi aljabar linier termasuk yang paling penting dalam sains. Sangat penting bahwa unit yang digunakan untuk mengukur kinerja komputer untuk perhitungan ilmiah disebut “gagal”, singkatan dari “operasi titik mengambang” dan didefinisikan dalam perhitungan aljabar linier.

Umumnya, masalah menggunakan komputer untuk melakukan aljabar linier terutama adalah bagaimana menyiapkan masalah sehingga komputer dapat menyelesaikannya. Notasi yang akan digunakantelah dipilih secara khusus untuk berhubungan dengan jenis soal yang akan digunakan dengan menggunakan aljabar linier: menyesuaikan model dengan data. Artinya notasi akan sangat kompak.

Operasi aljabar linier dasar yang terpenting adalah: 1. Proyeksikan satu vektor ke ruang yang ditentukan oleh sekumpulan vektor. 2. Buat kombinasi linier vektor.

Dalam melakukan operasi ini, Anda akan menggunakan dua fungsi utama, [project( )dan mat( )], bersama dengan operasi perkalian [* ] dan penjumlahan biasa [+]. Ada juga jenis operasi baru yang menyediakan deskripsi ringkas untuk mengambil kombinasi linier: “perkalian matriks”, ditulis %*%.

Di akhir sesi ini, Umumnya akan terasa nyaman dengan kedua fungsi tersebut dan bentuk perkalian yang baru %*%.

Untuk memulai, perhatikan jenis soal aljabar linier yang sering disajikan dalam buku teks dalam bentuk persamaan linier simultan. Sebagai contoh:

Berpikir dalam bentuk vektor, persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai

Memecahkan persamaan vektor ini melibatkan memproyeksikan vektor

ke ruang yang didefinisikan oleh dua vektor:

Solusinya, x dan y akan menjadi jumlah kelipatan dari masing-masing vektor yang diperlukan untuk mencapai vektor yang diproyeksikan.

Saat menyiapkan ini dengan notasi R yang akan Anda gunakan, Anda perlu membuat masing-masing vektor → b , → ay 1 , dan → ay 2 . Begini caranya:

Proyeksi dilakukan dengan menggunakan project()fungsi: ##

##         v1         v2 
## 0.32894737 0.09210526

Baca ini sebagai “proyek → b ke subruang yang didefinisikan oleh
→ ay 1 dan → ay 1 .

Jawabannya diberikan dalam bentuk pengali pada → ay 1 dan → ay 2 , yaitu nilai dari x dan y dalam masalah aslinya. Jawaban ini adalah yang “terbaik” dalam arti nilai khusus ini untuk x dan y adalah orang-orang yang datang paling dekat dengan → b , yaitu kombinasi linier yang memberikan proyeksi → b ke subruang yang didefinisikan oleh → ay 1 dan → ay 2 .

Jika Anda ingin melihat apa proyeksi itu, kalikan saja koefisien dengan vektor dan jumlahkan. Dengan kata lain, ambil kombinasi linier ##

## [1] 0.7894737 0.4736842 1.3157895

Ketika ada banyak vektor yang terlibat dalam kombinasi linier, jauh lebih mudah untuk merujuk semuanya dengan satu nama objek. Fungsi mat( )mengambil vektor dan mengemasnya menjadi matriks. Ini berfungsi seperti project( ), tetapi tidak melibatkan vektor yang diproyeksikan ke subruang. Seperti ini: ##

##      v1 v2
## [1,]  1  5
## [2,]  2 -2
## [3,]  4  0

Perhatikan itu SEBUAH tidak memiliki informasi baru; itu hanya dua vektor → ay 1 dan → ay 2 ditempatkan berdampingan.

Mari kita lakukan proyeksi lagi: ##

##         v1         v2 
## 0.32894737 0.09210526

Untuk mendapatkan kombinasi linear dari vektor di SEBUAH , Anda mengalikan matriks dengan matriks SEBUAH kali solusinya z : ##

##           [,1]
## [1,] 0.7894737
## [2,] 0.4736842
## [3,] 1.3157895

Perhatikan, itu adalah jawaban yang sama yang Anda dapatkan saat Anda melakukan perkalian “dengan tangan.”

Saat bekerja dengan data, ahli statistik hampir selalu menyertakan vektor lain yang disebut intersep yang hanya merupakan vektor dari semua 1. Anda dapat menunjukkan vektor intersep dengan dataran 1di dalam fungsi mat()or project(), seperti ini: ##

##      (Intercept) v1 v2
## [1,]           1  1  5
## [2,]           1  2 -2
## [3,]           1  4  0

## A(Intercept)          Av1          Av2 
## 1.000000e+00 0.000000e+00 2.775558e-17

##      [,1]
## [1,]    1
## [2,]    1
## [3,]    1

Perhatikan bahwa matriks Amemiliki vektor ketiga : vektor intersep. Solusinya akibatnya memiliki tiga koefisien. Perhatikan juga bahwa kombinasi linear dari tiga vektor tepat mencapai vektor tersebut → b . Itu karena sekarang ada tiga vektor yang mendefinisikan subruang: → ay 1 , → ay 2 , dan vektor intersep dari semuanya.