Sobre este material

Os modelos matemáticos aplicados às epidemias ganharam destaque nos últimos anos. No início da emergência da COVID-19, na ausência de dados, eles foram utilizados para antecipar cenários plausíveis. Então, em muitos países, suas aplicações foram além da pesquisa em saúde pública e abordagens retrospectivas, até mesmo acompanhando e apoiando a tomada de decisões voltadas para o futuro. Neste sentido, o desenvolvimento deste material tentará demonstrar que a aplicação destes métodos de análise pode aumentar o valor dos dados coletados pelos sistemas de vigilância epidemiológica.

Assim, do ponto de vista da análise de dados, análises baseadas em modelos matemáticos nos permitem estender as abordagens descritivas convencionais às generalizações para diagnosticar e avaliar o impacto das intervenções (abordagens retrospectivas), para fazer previsões e prescrições (abordagens prospectivas). Em termos de previsão, sob algumas suposições (hipóteses), queremos responder o que pode acontecer? Enquanto que com abordagens prescritivas, queremos responder o que poderia acontecer sem tomar medidas A ou B. Os modelos, portanto, representam leis de relações lógicas de causa e efeito que nos permitem antecipar situações e tomar decisões.

Publico objetivo del material

Este material é uma introdução à modelagem de epidemias. É destinado a analistas de saúde com conhecimento prévio do R. Para uma introdução ao software R no domínio da saúde você pode consultar R for Health Data Science. Enquanto que para uma introdução no campo da epidemiologia recomendamos [R para epidemiologia aplicada e saúde pública] (“https://epirhandbook.com/en/”).

Organização do material

Este material foi organizado em 9 capítulos. No Capítulo 2 fornecemos generalidades e nossa perspectiva sobre as aplicações e o escopo dos modelos matemáticos. Em Capítulo 3 introduzimos os fundamentos teóricos para a construção e análise de modelos matemáticos com foco na epidemiologia. Em Capítulo 4 veremos exemplos de simulações numéricas com os modelos. Em Capítulo 5 vamos analisar os métodos de ajuste de curvas e a estimativa de parâmetros. No Capítulo 6 vamos dar uma olhada nos métodos para avaliar o desempenho dos modelos e contrasta-los. Enquanto, em Capítulo 7 vamos analisar estudos de caso para COVID-19, Arbovirus e MPox. Depois, no Capítulo 8 introduziremos como fazer relatórios automáticos e apresentar fluxos de trabalho com Rmarkdown. Finalmente, em Capítulo 9 veremos alguns exemplos de implementação de painéis para simulações.

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Modelo SIR

Você pode acessar o painel implementado para este modelo clicando aqui.

O modelo SIR considera a dinâmica de:

• S: Susceptíveis
• I: Infecciosos
• R: Recuperados

Nesta versão do modelo, consideramos o compartimento recuperado como o Reportado (Total Confirmado). Isto se justifica quando há um atraso para diagnóstico e notificação de casos.

O modelo SIR (R: Susceptível, I: Infeccioso, R: Recuperado) a dinâmica é governada pelo sistema de equações diferenciais. \[\begin{align} \dot S =& -\frac{\beta}{N} I S,\\ \dot I =& \frac{\beta}{N} I S - \gamma I,\\ \dot R =& \gamma I. \end{align}\] De tal forma que o número reprodutivo básico deste modelo é \[ \mbox{R}_0 = \frac{\beta}{\gamma} \].

O parâmetro beta no modelo representa a taxa de infecção. É um parâmetro composto pela probabilidade de transmissão e a taxa de contatos por dia. Enquanto o parâmetro gamma é o recíproco da duração do período infeccioso.

A versão do modelo aqui proposta assume que no horizonte de simulação não há perda de imunidade. Isto não é verdade para doenças como a COVID-19 a longo prazo.

Para simplificar, a partir da solução numérica do modelo assumimos que uma proporção das pessoas ativamente infectadas terá um resultado severo ou grave. Além disso, do número total relatado, uma proporção terá um resultado fatal determinado pela relação de fatalidade.

Com este painel você pode simular como uma intervenção que afeta a transmissividade afeta o comportamento de uma onda. Você pode avaliar quando é mais apropriado fazer uma intervenção. Por exemplo: numa fase inicial, perto do pico ou após o pico.

Modelo SEIR

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O modelo SEIR considera a dinâmica de:

• S: Susceptíveis
• E: Expostos
• I: Infecciosos
• R: Recuperados

Nesta versão do modelo, consideramos o compartimento recuperado como o Reportado (Total Confirmado). Isto se justifica quando há um atraso para diagnóstico e notificação de casos.

O modelo SEIR além do modelo SIR (R: Susceptível, I: Infeccioso, R: Recuperado) considera a existência de um período de latência tal que é necessário \(1/\delta\) para que um indivíduo infectado passe para o período infeccioso. Portanto, no modelo SEIR, o estado de exposição E é adicionado às condições suscetíveis, infectadas e recuperadas.

Portanto, a dinâmica é governada pelo sistema de equações diferenciais \[\begin{align} \dot S =& -\frac{\beta}{N} I S,\\ \dot E =& \frac{\beta}{N} I S - \delta E\\ \dot I =& \delta E - \gamma I,\\ \dot R =& \gamma I. \end{align}\] De tal forma que o número reprodutivo básico deste modelo é \(\mbox{R}_0 = \frac{\beta}{\gamma}\).

O parâmetro beta no modelo representa a taxa de infecção. É um parâmetro composto pela probabilidade de transmissão e a taxa de contatos por dia. O parâmetro delta é o recíproco da duração do período de latência. Enquanto o parâmetro gamma é o recíproco da duração do período infeccioso.

A versão do modelo aqui proposta assume que no horizonte de simulação não há perda de imunidade. Isto não é verdade para doenças como a COVID-19 a longo prazo.

Para simplificar, a partir da solução numérica do modelo assumimos que uma proporção das pessoas ativamente infectadas terá um resultado severo ou grave. Além disso, do número total relatado, uma proporção terá um resultado fatal determinado pela relação de fatalidade.

Com este painel você pode simular como uma intervenção que afeta a transmissividade afeta o comportamento de uma onda. Você pode avaliar quando é mais apropriado fazer uma intervenção. Por exemplo: numa fase inicial, perto do pico ou após o pico.

Modelo SEIRS

Você pode acessar o painel implementado para este modelo clicando aqui.

O modelo SEIRS que considera a dinâmica de:

• S: Susceptíveis
• E: Expostos
• I: Infecciosos
• R: Recuperados

O modelo SEIRS além do modelo SIR (R: Susceptível, I: Infeccioso, R: Recuperado) considera a existência de um período de latência tal que é necessário \(1/\delta\) para que um indivíduo infectado passe para o período infeccioso.

No modelo SEIRS, o estado de exposição E é adicionado às condições suscetíveis, infectadas e recuperadas. Ademais, considera uma taxa constante de perda de imunidade, de transição entre R e S.

Portanto, a dinâmica é governada pelo sistema de equações diferenciais \[\begin{align} \dot S =& -\frac{\beta}{N} I S + \kappa R,\\ \dot E =& \frac{\beta}{N} I S - \delta E\\ \dot I =& \delta E - \gamma I,\\ \dot R =& \gamma I - \kappa R. \end{align}\] De tal forma que o número reprodutivo básico deste modelo é \(\mbox{R}_0 = \frac{\beta}{\gamma}\).

O parâmetro beta no modelo representa a taxa de infecção. É um parâmetro composto pela probabilidade de transmissão e a taxa de contatos por dia. O parâmetro delta é o recíproco da duração do período de latência. Enquanto o parâmetro gamma é o recíproco da duração do período infeccioso.

Entretanto, o parâmetro kappa é o recíproco do período de duração da imunidade vezes a proporção de perda de imunidade.

Modelo SIR-X

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No modelo SIR-X proposto como generalização do modelo SIR, a dinâmica é regida por \[\begin{align} \dot S =& - \frac{\beta}{N}I S - \kappa_0 S ,\\ \dot I =& \frac{\beta}{N} I S - \gamma I -\kappa_0 I - \kappa I,\\ \dot R =& \gamma I + \kappa_0 S,\\ \dot X =& (\kappa_0 + \kappa) I. \end{align}\]

Neste modelo, o impacto dos esforços de contenção é capturado pelos termos proporcionais à taxa de contenção \(\kappa_0\) que é efetiva para a população de \(I\) e \(S\), uma vez que medidas como distanciamento físico e confinamentos afetam toda a população igualmente. Os indivíduos \(I\) são removidos da população a uma taxa de \(\kappa\) correspondente às medidas de quarentena (isolamento) que só afetam os infectados sintomáticos. Assim, o novo compartimento \(X\) quantifica as infecções de quarentena. O modelo assume que \(X\) corresponde a casos confirmados empiricamente e que o período de tempo entre a amostragem e os resultados dos testes pode ser negligenciado.

Como o modelo SIR, o número básico de reprodução irrestrita é dado por \(\mbox{R}_0\equiv \mbox{R}_{0,free} = \frac{\beta}{\gamma}\), de tal forma que \(\gamma^{-1}=\tau_I\) é o tempo médio do período infeccioso. Portanto, o período de tempo pelo qual um indivíduo permanece efetivamente infeccioso no modelo SIR-X é dado por \(\tau_{I,e}=(\gamma + \kappa_0 + \kappa)^{-1}\) tal que o número efetivo (ou observado) reprodutivo \(\mbox{R}_{0,e}\) é inferior a \(\mbox{R}_{0,free}\) quando \(\kappa_0>0\) e/ou \(\kappa>0\).

Modelo SIDARTHE

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O modelo SIDARTHE, que é mais complexo em termos de estados variáveis, é representado por um sistema de equações diferenciais. O modelo considera os diferentes tipos de infecções esperadas descritas para a COVID-19, diferenciando entre casos sintomáticos e assintomáticos, casos graves e mortes esperadas.

No modelo SIDARTHE a dinâmica é regida por \[\begin{align} \dot S\left( t \right) = & - S\left( t \right)\left( {\alpha I\left( t \right) + \beta D\left( t \right) + \gamma A\left( t \right) + \delta R\left( t \right)} \right),\\ \dot I\left( t \right) = & S\left( t \right)\left( {\alpha I\left( t \right) + \beta D\left( t \right) + \gamma A\left( t \right) + \delta R\left( t \right)} \right) - \left( {\varepsilon + \zeta + \lambda } \right)I\left( t \right),\\ \dot D\left( t \right) =& \varepsilon I\left( t \right) - \left( {\eta + \rho } \right)D\left( t \right),\\ \dot A\left( t \right) =& \zeta I\left( t \right) - \left( {\theta + {\mathrm{\mu }} + \kappa } \right)A\left( t \right),\\ \dot R\left( t \right) =& \eta D\left( t \right) + \theta A\left( t \right) - \left( {\nu + \xi } \right)R\left( t \right),\\ \dot T\left( t \right) =& {\mathrm{\mu }}A\left( t \right) + \nu R\left( t \right) - \left( {\sigma + \tau } \right)T\left( t \right),\\ \dot H\left( t \right) =& \lambda I\left( t \right) + \rho D\left( t \right) + \kappa A\left( t \right) + \xi R\left( t \right) + \sigma T\left( t \right),\\ \dot E\left( t \right) =& \tau T\left( t \right) \end{align}\]

As letras latinas maiúsculas (variáveis de estado) representam a fração da população em cada etapa, e todos os parâmetros considerados, denotados por letras gregas, são números positivos.

• α, β, γ e δ respectivamente denotam a taxa de transmissão (a probabilidade de transmissão da doença em um único contato multiplicada pelo número médio de contatos por pessoa) devido aos contatos entre um sujeito suscetível e uma pessoa infectada, diagnosticada, severa ou severamente detectada. Geralmente, α é maior que γ (assumindo que as pessoas tendem a evitar contatos com indivíduos que apresentam sintomas, mesmo que um diagnóstico ainda não tenha sido feito), o que por sua vez é maior que β e δ (assumindo que os indivíduos que foram diagnosticados estão devidamente isolados). Estes parâmetros podem ser modificados por políticas de distanciamento social (por exemplo, fechamento de escolas, trabalho remoto, confinamento). O risco de contágio por sujeitos na UTI é assumido como insignificante.

• ε e θ capturam a probabilidade de taxa de detecção, relativa a casos assintomáticos e sintomáticos, respectivamente. Estes parâmetros, que também são modificáveis, refletem o nível de atenção à doença e o número de testes realizados na população: eles podem ser aumentados através da realização de uma campanha de rastreamento e teste de contato em massa. Note que θ é normalmente mais alto que ε, pois um indivíduo sintomático tem mais probabilidade de ser testado.

• ζ e η indicam a taxa de probabilidade na qual um sujeito infectado, respectivamente inconsciente e consciente de estar infectado, desenvolve sintomas clinicamente relevantes, e são comparáveis na ausência de tratamento específico. Estes parâmetros são dependentes da doença, mas podem ser parcialmente reduzidos através de terapias melhoradas e da aquisição de imunidade contra o vírus.

• µ e ν , respectivamente, indicam a taxa na qual sujeitos infectados detectados e não detectados desenvolvem sintomas que ameaçam a vida; eles são comparáveis se não houver um tratamento específico conhecido como eficaz contra a doença, caso contrário µ pode ser mais alto. Por outro lado, ν pode ser maior porque os indivíduos infectados com sintomas mais agudos, que têm maior risco de agravamento, têm maior probabilidade de terem sido diagnosticados. Estes parâmetros podem ser reduzidos através de terapias melhoradas e da aquisição de imunidade ao vírus.

• τ denota a taxa de mortalidade (para indivíduos infectados com sintomas que ameaçam a vida) e pode ser reduzida através de terapias melhoradas.

• λ , κ , ξ , ρ e σ indicam a taxa de recuperação para as cinco classes de indivíduos infectados; eles podem diferir significativamente se o tratamento adequado da doença for conhecido e adotado para pacientes diagnosticados, mas é provável que sejam comparáveis em outros casos. Estes parâmetros podem ser aumentados através de tratamentos melhorados e da aquisição de imunidade ao vírus.

Modelo sazonal SIR

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O modelo SIR seazonal que considera a dinâmica de:

• S: Susceptíveis
• I: Infecciosos
• R: Recuperados

A dinâmica é governada pelo sistema de equações diferenciais. \[\begin{align} \dot S =&\mu -\frac{\beta(t)}{N} I S - \mu S,\\ \dot I =& \frac{\beta(t)}{N} I S - \gamma I - \mu I,\\ \dot R =& \gamma I- \mu R. \end{align}\] De tal forma que o número reprodutivo básico deste modelo é \(\mbox{R}_0 = \frac{\beta_0}{\gamma + \mu}\).

O parâmetro beta no modelo representa a taxa de infecção. É um parâmetro composto pela probabilidade de transmissão e a taxa de contatos por dia. Enquanto o parâmetro gamma é o recíproco da duração do período infeccioso. O parâmetro mu é uma taxa constante de nascimento e morte.

Este modelo simula a dinâmica temporal sazonal dos surtos de sarampo.

O comportamento sazonal do modelo é dado por \[ \beta(t) = \beta_0(\alpha + \beta_1\cos(\theta\pi t)), \] onde \(\beta_0\) é a taxa básica de transmissibilidade, \(\alpha\) é o iterct na sazonalidade, \(\beta_1\) é a amplitude, enquanto \(\theta\) define o período da sazonalidade. Esta função pode ser modificada, por exemplo, de acordo com a dinâmica vetorial sazonal para doenças como a dengue.