Name: Farhan Dzaffa Arfianto
NIM: 220606511099
Institute: Maulana Malik Ibrahim Islamic State University of Malang
Departement: Computer Science
Lecturer: Prof. Dr. Suhartono, M.Kom


Untuk dapat melakukan sebuah program menghitung turunan pertama sebuah fungsi pada RStudio aktifkan operasi turunan terlebih dahulu melalui sintaks berikut :ing of the R code that generated the plot.

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Berikut merupakan pengoperasian Diferensiasi Numerik dengan metode beda tengah melalui persoalan.

  1. Hitunglah turunan pertama f(x)= 3x8 - 5x6 + x4 - x + 11

Penyelesaian Secara Manual :

f(x) = 3x8 - 5x6 + x4 - x + 11

f’(x) = ( 8 * 3x8-1 ) - ( 6 * 5x6-1 ) + ( 4 x4-1 ) - ( 1 * x1-1 )

f’(x) = 24x7 - 30x5 + 4x3 - 1

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama f(x)= 3x8 - 5x6 + x4 - x + 11 dengan x = 1, dan h = 0.05

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 57.67124
  1. Hitunglan turunan pertama dari y = 3x4 + 2x2 + x

Penyelesaian Secara Manual :

y = 3x4 + 2x2 + x

y’ = (4 * 3x4-3 ) + ( 2 * 2x2-1 ) + ( 1 * x1-1 )

y’ = 12x3 + 4x + 1

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglan turunan pertama dari y = 3x4 + 2x2 + x dengan x = 5 dan h = 0.05

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=5, h=0.05,
  method="central")
## [1] 1521.15
  1. Hitunglan turunan pertama dari y = x3 + 3x2

Penyelesaian Secara Manual :

y = x3 + 3x2

y’ =( 3 * x3-1 ) + ( 2 *3x2-1 )

y’ = 3x2 + 6x

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglan turunan pertama dari y = x3 + 3x2 dengan x = 5 dan h = 0.05

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=5, h=0.05,
  method="central")
## [1] 34

Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

Dasar - dasar pengoperasian difrensiasi fungsi konstanta dan pangkat :

Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.

Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.

Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nxn–1.

Berikut merupakan pengoperasian Diferensiasi Fungsi Konstanta dan Pangkat melalui persoalan.

  1. Hitunglah turunan pertama y = 3x4 + 2x2 + ax

Penyelesaian Secara Manual :

y = 3x4 + 2x2 + ax

y’ = ( 4 * 3x4-1 ) + ( 2 * 2x2-1 ) + ( 1 * ax1-1 )

y’ = 12x3 + 4x + a

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = 3x4 + 2x2 + ax dengan a = 5, x = 4, dan h = 0.05

findiff(function(x)
3*(x^4) + 5*(x^2) + 5*x, x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 813.12
  1. Hitunglah turunan pertama y = abx3 + 3x2

Penyelesaian Secara Manual :

y = abx3 + 3x2

y’ = ( 3 * abx3-1 )+ ( 2 * 3x2-1 )

y’ = 3abx2 + 6x

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = abx3 + 3x2 dengan a = 5, b = 5, x = 4, dan h = 0.05

findiff(function(x)
5*5*(x^3) + 3*(x^2), x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 1224.062

Sifat-sifat Diferensiasi

Turunan dapat diketahui melalui sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat dari diferensiasi, Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

  1. Jika y = k * u, maka y’ = k * (u’)

  2. Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′

  3. Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′

  4. Jika y = u * v, maka y’ = u’v + u v′

  5. Jika y = u / v, maka y’ = u’v – u v’ / v2

Berikut merupakan pengoperasian Diferensiasi Fungsi dalam sifatnya melalui persoalan.
  1. Hitunglah turunan pertama f(x) = 2x - 1 / x2 -1

Penyelesaian Secara Manual :

f(x) = 2x - 1 / x2 -1

f’(x) = 2 * ( x2 -1 ) - ( 2x - 1 ) * 2x / ( x2 -1 )2

f’(x) = -2x2 + 2x -2 / ( x2 -1 )2

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama f(x) = 2x - 1 / x2 -1 dengan x = 2, dan h = 0.05

findiff(function(x)
((2*2)-1)/((2^2)-1), x=2, h=0.05,
  method="central")
## [1] 0
  1. Hitunglah turunan pertama y = ( 3x4 + 2x2 + x ) ( x2 + 7 )

Penyelesaian Secara Manual :

y = ( 3x4 + 2x2 + x ) ( x2 + 7 )

u = 3x4 + 2x2 + x maka u’ = 12x3+ 4x + 1

v = x2 + 7 maka v’ = 2x

y’ = ( 12x3+ 4x + 1 ) * ( x2 + 7 ) + ( 3x4 + 2x2 + x ) * ( 2x )

y’ = 12x5 + 88x3 + x2 + 28x + 7 + 6x5 + 4x3 + 2x2

y’ = 18x5 + 92x3 + 3x2 + 28x + 7

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = ( 3x4 + 2x2 + x ) ( x2 + 7 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

findiff(function(x)
(3*x^4+2*x^2+x)*(x^2+7) , x=1, h=0.05,
method="central")
## [1] 148.3826
  1. Hitunglah turunan pertama y = ( x3 + 3x2 ) ( 4x2 + 2 )

Penyelesaian Secara Manual :

y = ( x3 + 3x2 ) ( 4x2 + 2 )

u = x3 + 3x2 maka u’ = 3x2 + 6x

v = 4x2 + 2 maka v’ = 8x

y’ = ( 3x2 + 6x ) * ( 4x2 + 2 ) + ( x3 + 3x2 ) * ( 8x )

y’ = 12x4 + 6x2 + 24x3 + 12x + 8x4 + 24x3

y’ = 20x4 + 48x3 +6x2

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = ( x3 + 3x2 ) ( 4x2 + 2 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

findiff(function(x)
(x^3+3*x^2)*(4*x^2+2) , x=1, h=0.05,
method="central")
## [1] 86.22503
  1. Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 3x2 + 1 )

Penyelesaian Secara Manual :

y = 1 / ( 3x2 + 1 )

y’ = - ( 6x2 ) / ( 3x2 + 1 )

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 3x2 + 1 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

findiff(function(x)
1/(3*x^2+1) , x=1, h=0.05,
method="central")
## [1] -0.3757031
  1. Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 4x2 - 3x + 9 )

Penyelesaian Secara Manual :

y = 1 / ( 4x2 - 3x + 9 )

y’ = ( 3 - 8x ) / ( 4x2 - 3x + 9 )2

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 4x2 - 3x + 9 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

findiff(function(x)
1/(4*x^2-3*x+9) , x=1, h=0.05,
method="central")
## [1] -0.04993129