Ejericio 8.19

Se requiere que la resistencia a la ruptura de la fibra textil usada en la fabricación de material para cortinas sea de al menos $100$ psi. La experiencia pasada indica que la desviación estándar de la resistencia de la ruptura es $2$ psi. Se prueba una muestra aleatoria de nueve observaciones, y se encuentra que la resistencia a la ruptura promedio es $98$ psi.

a)

¿La fibra se considerará aceptable con $\alpha=0.05$?

Planteamiento del problema: El parámetro de interés es la resistencia a la ruptura promedio verdadera.
Planteamiento de hipótesis nula: $H_0: \mu \leq 100$.
Planteamiento de hipótesis alternativa: $H_1: \mu > 100$.
Asignar nivel de significancia: $\alpha=0.05$.
Calcular estadística de prueba: $z_c=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{98-100}{2/\sqrt{9}}=-3$
Definir región de rechazo: Se rechaza $H_0$ si $z_c>z_{1-\alpha}$ donde $z_{1-\alpha}=z_{0.95}=1.644854$ al tratarse de una prueba unilateral.
Conclusión: Como $z_c=-3<z_{1-\alpha}$ no se rechaza $H_0$ y se concluye que la fibra no es aceptable al nivel $\alpha=0.05$.

b)

¿Cuál es el valor $P$ para esta prueba?

El valor $P$ es $P(Z\geq -3)=1-\Phi(-3)$ que al calularlo se obtiene:

pnorm(-3,lower.tail=FALSE)

## [1] 0.9986501

Entonces, casi $999$ casos por cada $1000$ no muestran evidencia concreta de que una muestra de la resistencia a la ruptura promedio de $98$ pueda provenir de la población de resistencias a la ruptura promedio verdaderas. Así, el valor de $P$ no muestra concordancia con está muestra y la población.

c)

¿Cuál es la probabildiad de aceptar la hipótesis nula con $\alpha=0.05$ si la resistencia a la ruptura real de la fibra $104$ psi?

Planteamiento del problema: El parámetro de interés sigue siendo la resistencia a la ruptura promedio verdadera.
Planteamiento de hipótesis nula: $H_0: \mu \leq 104$.
Planteamiento de hipótesis alternativa: $H_1: \mu > 104$, pues se requiere que la alternativa al menos supere el nivel requerido.
Asignar nivel de significancia: $\alpha=0.05$.
Calcular estadística de prueba: $z_c=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-100}{2/\sqrt{9}}$.
Al estar en función de $\alpha$ solamente, no se rechaza $H_0$ si $z_c <z_{1-\alpha}$, es decir si $\frac{\overline{X}-\mu}{2/\sqrt{9}}<z_{1-0.05}$ lo que implica no rechazar cuando $\overline{X}<100+1.64485\frac{2}{\sqrt{9}}=101.1$.
Conclusión: La prueba es inconclusa, pues se requiere evaluar la probabilidad de concordancia de esta nueva información.

Así, combinando los enfoques de Neyman-Pearson con $\alpha=0.05$ con el cálculo del valor $P$, se tiene $P(\overline{X} \leq 101.1 \,\ \text{cuando} \,\ \mu =104)=P\Big(Z \leq \frac{101.1-104}{2/\sqrt{9}}\Big)$, que al calcular se obtiene un resultado de:

pnorm((101.1-104)/(2/sqrt(9)))

## [1] 6.806877e-06

Con esta combinación de enfoques con significancia del $0.95$, se obtuvo una probabilidad de $0$ de que haya concordancia para no rechazar la hipótesis nula de que la resistencia a la ruptura promedio verdadera sea de $104$ psi.

d)

Encuentre un intervalo de confianza de dos colas de $95\%$ para la verdadera media de la resistencia de la ruptura.

Para este intervalo bilateral se tiene $z_{1-\alpha/2}=z_{0.975}$ y aplicando la fórmula para estimar el intervalo de confianza para una media con varianza conocida se tiene que $\overline{x}-z_{0.975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq \overline{x}+z_{0.975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Calculando, sus valores son:

c(98-pnorm(0.975)*2/sqrt(9),98+pnorm(0.975)*2/sqrt(9))

## [1] 97.44319 98.55681

Por lo que con una confianza del $95\%$ se tiene que la media de la resistencia de la ruptura está entre $97.44$ psi y $98.55$ psi.

Ejercicio 8.20

Se está estudiando el rendimiento de un proceso químico. Por experiencias previas con este proceso, se sabe que la desviación estándar del rendimiento es $3$. En los últimos cinco días de operación se observaron los siguientes rendimientos: $91.6\%, 88.75\%, 90.8\%, 89.95\%$ y $91.3\%$. Use $\alpha=0.05$.

a)

¿Hay evidencia de que el rendimiento no es de $90\%$?

Planteamiento del problema: El parámetro de interés es la verdadera media del rendimiento.
Planteamiento de hipótesis nula: $H_0: \mu = 90$.
Planteamiento de hipótesis alternativa: $H_1: \mu \neq 90$.
Asignar nivel de significancia: $\alpha=0.05$.
Calcular estadística de prueba: $z_c=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{90.48-100}{3/\sqrt{5}}=0.36$.
Definir región de rechazo: Se rechaza $H_0$ si $z_c<-z_{1-\alpha/2}$ o si $z_c>z_{1-\alpha/2}$, pues se trata de una prueba bilateral, donde $z_{1-\alpha/2}=z_{0.975}= 1.959964$. Como $-1.96<0.36<1.96$ no se rechaza $H_0$.
Conclusión: El rendimiento no es significativamente diferente del $90\%$ a una significancia de $\alpha=0.05$.

b)

¿Cuál es el valor $P$ para esta prueba?

$P(Z\geq 0.36) + P(Z\leq -0.36)=1-\Phi(0.36)+\Phi(-0.36)=1-\Phi(0.36)+[1-\Phi(0.36)]=2[1-\Phi(0.36)]$, lo que da un valor de:

2*(pnorm(0.36,lower.tail = FALSE))

## [1] 0.7188471

Esta probabilidad va en concordancia de que la muestra obtenida viene de una distribución con un rendimiento medio del $90\%$.

c)

¿Qué tamaño de la muestra se necesitaría para detectar un rendimiento medio real de $85\%$ con probabilidad $0.95$?

Aplicando la fórmula para encontrar el tamaño de la muestra de una prueba bilateral se tiene que $n=\frac{(z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta})^2\sigma^2}{\delta ^2}=\frac{(z_{0.975}+z_{0.95})^23^2}{(85-90) ^2}$, lo que da un valor de:

(qnorm(0.975)+qnorm(0.95))**2*3**2/(85-90)**2

## [1] 4.678096

Y se requiere un tamaño de $n\approx 5$.

d)

¿Cuál es la probabilidad del error tipo II si el rendimiento medio real es $92\%$?

Aplicando la fórmula para calcular la probabilidad de cometer el error tipo II, se tiene que $\beta=\Phi\Big(z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\Big)-\Phi\Big(-z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\Big)=\Phi\Big(z_{0.975}-\frac{(90-92)\sqrt{5}}{3}\Big)-\Phi\Big(-z_{0.975}-\frac{(90-92)\sqrt{5}}{3}\Big)$, que al calularla da:

pnorm(qnorm(0.975)-(90-92)*sqrt(5)/3)-pnorm(-qnorm(0.975)-(90-92)*sqrt(5)/3)

## [1] 0.6802756

e)

Encuentre un intervalo de confianza de dos colas de $95\%$ para el rendimiento medio real.

Con $\alpha=0.05, z_{1-\alpha/2}=z_{0.975}$ y la fórmula para calcular el intervalo de confianza para una media con varianza conocida queda $\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=90.48-z_{0.975}\frac{3}{\sqrt{5}}\leq \mu\leq 90.48+z_{0.975}\frac{3}{\sqrt{5}}$. Su valor numérico es:

c(mean(c(91.6,88.75,90.8,89.95,91.3))-pnorm(0.975)*3/sqrt(5),mean(c(91.6,88.75,90.8,89.95,91.3))+pnorm(0.975)*3/sqrt(5))

## [1] 89.35943 91.60057

Por lo que con una confianza del $95\%$, se tiene que el rendimiento medio real del proceso químico se encuentra entre el $89.36\%$ y el $91.6\%$.

Ejercicio 8.21

Se sabe que el diámetro de los agujeros de un arnés para cables tiene una desviación estándar de $0.01$ pulgadas. Una muestra aleatoria de tamaño $10$ produce un diámetro promedio de $1.5045$ pulgadas. Use $\alpha=0.01$.

a)

Pruebe la hipóteis de que la verdadera media del diámetro de los agujeros es igual a $1.50$ pulgadas.

Planteamiento del problema: El parámetro de interés es la verdadera media del diámetro de los agujeros.
Planteamiento de hipótesis nula: $H_0: \mu = 1.50$.
Planteamiento de hipótesis alternativa: $H_1: \mu \neq 1.50$.
Asignar nivel de significancia: $\alpha=0.01$.
Calcular estadística de prueba: $z_c=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{1.5045-1.50}{0.01/\sqrt{10}}=1.423$.
Definir región de rechazo: Se rechaza $H_0$ si $z_c<-z_{1-\alpha/2}$ o si $z_c>z_{1-\alpha/2}$ (prueba bilateral), donde $z_{1-\alpha/2}=z_{0.995}= 2.575829$. Como $-2.58<1.423<2.58$ no se rechaza la hipóteis nula $H_0$.
Conclusión: El rendimiento no es significativamente diferente a $1.50$ pulgadas, a una significancia de $\alpha=0.01$.

b)

¿Cuál es el valor $P$ para esta prueba?

$P(Z\geq 1.423) + P(Z\leq -1.423)=1-\Phi(1.423)+\Phi(-1.423)=1-\Phi(1.423)+[1-\Phi(1.423)]=2[1-\Phi(1.423)]$, lo que da un valor de:

2*(pnorm(1.423,lower.tail = FALSE))

## [1] 0.1547362

Esta probabilidad no va en concordancia de que la muestra obtenida viene de una distribución con un diámetro medio de los agujeros de $1.50$ pulgadas.

c)

¿Qué tamaño de la muestra se necesitaría para detectar una verdadera media del diámetro de los agujeros de $1.505$ pulgadas con una probabilidad de al menos $0.90$?

Aplicando la fórmula para encontrar el tamaño de la muestra de una prueba bilateral se tiene que $n=\frac{(z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta})^2\sigma^2}{\delta ^2}=\frac{(z_{0.995}+z_{0.99})^2(0.01)^2}{(1.505-1.50) ^2}$, lo que da un valor de:

(qnorm(0.995)+qnorm(0.9))**2*(0.01)**2/(1.505-1.50)**2

## [1] 59.51755

Por lo que se requiere un tamaño de $n\approx 60$.

d)

¿Cuál es el error $\beta$ si la verdadera media del deiámetro de los agujeros es $1.505$ pulgadas?

Aplicando la fórmula para calcular la probabilidad de cometer el error tipo II, se tiene que $\beta=\Phi\Big(z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\Big)-\Phi\Big(-z_{1-\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\Big)=\Phi\Big(z_{0.995}-\frac{(1.50-1.505)\sqrt{10}}{0.01}\Big)-\Phi\Big(-z_{0.995}-\frac{(1.505-1.50)\sqrt{10}}{0.01}\Big)$, que al calularla da:

pnorm(qnorm(0.995)-(1.505-1.50)*sqrt(10)/.01)-pnorm(-qnorm(0.995)-(1.505-1.50)*sqrt(10)/.01)

## [1] 0.8400405

e)

Encuentre un intervalo de confianza de dos colas de $99\%$ para la media del diámetro de los agujeros. ¿Los resultados de este cálculo parecen intuitivamente correctos con base en la respuesta de los incisos a) y b) de este problema? Favor de comentar la respuesta.

Con $\alpha=0.01, z_{1-\alpha/2}=z_{0.995}$ y la fórmula para calcular el intervalo de confianza para una media con varianza conocida queda $\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1.5045-z_{0.995}\frac{0.01}{\sqrt{10}}\leq \mu\leq 1.5045+z_{0.995}\frac{0.01}{\sqrt{10}}$. Su valor numérico es:

c(1.5045-pnorm(0.995)*0.01/sqrt(10),1.5045+pnorm(0.995)*0.01/sqrt(10))

## [1] 1.501843 1.507157

Este intervalo de confianza muestra que $ 1.496341< 1.5 < 1.512659$, por lo que el valor real de la media de diámetros de los agujeros puede muy posibliemente ser de $1.5$ a un nivel de confianza del $99\%$. Como la obtención del intervalo de confianza de una prueba bilateral es quivalente con la obtención de una prueba de hipótesis bilateral con una significancia de $\alpha=0.01$, las conclusiones con los incisos a) y b) son consistentes con este nivel ded confianza.

Tarea 5. Inferencia sobre la media de una población, varianza conocida.

Juan Pablo Acuña González

2022-12-06

Ejericio 8.19

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 8.20

a)

b)

c)

d)

e)

Ejercicio 8.21

a)

b)

c)

d)

e)