Z ~ N(0,1)

P(-1<z<2.1)

A área pedida é sempre aferida a partir do menor valor de z. Uma vez buscamos um intervalo delimitado, o que deve ser feito é encontrar a diferença entre a área da probabilidade maior e menor. \[P(-1<z<2.1) = P(z<2.1)-P(z<-1)\]

plotDistr(x=x,dnorm(x,mean=media,sd=sd),cdf=F
          ,regions=list(c(-3.5,-1),c(-1,2.1))
          ,col=c('grey','red'),legend = F
          ,main="Diferença entre áreas",xlab='z')

Queremos, então, descobrir a área marcada em Vermelho da curva projetada acima. Para obtermos os valores da figura acima, usamos a função pnorm:

P1<-pnorm(2.1,mean=media,sd=sd)
P2<-pnorm(-1,mean=media,sd=sd)
print(P1-P2)
## [1] 0.8234803

P(-0.87<z<1.54)

\[ P(-0.87<z<1.54) = P(z<1.54)-P(z<-0.87)\]

plotDistr(x=x,dnorm(x,mean=media,sd=sd),cdf=F
          ,regions=list(c(-3.5,-0.87),c(-0.87,1.54))
          ,col=c('grey','red'),legend = F
          ,main="Diferença entre áreas",xlab='z')

P1<-pnorm(1.54,mean=media,sd=sd,lower.tail=T)
P2<-pnorm(-0.87,mean=media,sd=sd,lower.tail=T)
print(P1-P2)
## [1] 0.7460696

P(z=1.54)

O valor desta probabilidade será igual a 0. Uma vez que a distribuição normal se dá para valores contínuos e a probabilidade é a área sob a curva normal delimitada, quando calculamos a probabilidade de um valor único, estabelecemos uma linha. Geometricamente, uma linha é uma figura cuja área é zero. Portanto a probabilidade é zero.

plotDistr(x=x,dnorm(x,mean=media,sd=sd),cdf=F
          ,regions=list(c(1.54,1.5401))
          ,col=c('red'),legend = F
          ,main="Probabilidade de valor único contínuo",xlab='z')

Podemos descrever, matematicamente como:

\[P(z=1.54)=P(1.54\leq z\le 1.54) = P(z<1.54)-P(z<1.54)\]

Ao calcularmos, temos:

P1<-pnorm(1.54,mean=media,sd=sd)
P2<-pnorm(1.54,mean=media,sd=sd)
print(P1-P2)
## [1] 0

P(z>2.5)

Ao contrário dos exemplo anteriores, agora devemos calcular o valor da cauda superior da curva. Matematicamente, calculamos: \[P(z>2.5)=1-P(z<2.5)\]

plotDistr(x=x,dnorm(x,mean=media,sd=sd),cdf=F
          ,regions=list(c(2.5,3.5))
          ,col=c('red'),legend = F
          ,main="Área delimitada",xlab='z')

No R, podemos calcular seguindo a fórmula acima:

1-pnorm(2.5)
## [1] 0.006209665

Ou calcular diretamente a área da cauda superior, aplicando o parâmetro lower.tail=FALSE na função pnorm:

pnorm(2.5,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.006209665

X~N(500,300)

Para utilizar a distribuição de forma corrta, precisamos antes normalizar a distribuição, seguindo a formula a seguir:

\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}\] Onde \(x\) é o valor pedido, \(\mu\) é a média e \(\sigma\) é o desvio-padrão.

P(x<500)

\[z=\frac{500-500}{300}=0\] \[P(x<500)=P(z<0)\]

plotDistr(x=x,dnorm(x,mean=media,sd=sd),cdf=F
          ,regions=list(c(-3.5,0))
          ,col=c('red'),legend = F
          ,main="Diferença entre áreas",xlab='z')

pnorm(0,mean=media,sd=sd,lower.tail=T)
## [1] 0.5

P(400<x<710)

\(P(400<x<710) = P(x<710)-P(x<400)\) \(z=\frac{710-500}{300}=0.7\) \(z=\frac{400-500}{300}=-0.33\)

\(P(400<x<710)=P(-0.33<z<0.7)=P(z<0.7)-P(z<-0.33)\)

plotDistr(x=x,dnorm(x,mean=media,sd=sd),cdf=F
          ,regions=list(c(-3.5,-0.33),c(-0.33,0.7))
          ,col=c('grey','red'),legend = F
          ,main="Diferença entre áreas",xlab='z')

P1<-pnorm(0.7,mean=media,sd=sd)
P2<-pnorm(-0.33,mean=media,sd=sd)
print(P1-P2)
## [1] 0.3873364

P(330<x<450)

\(P(330<x<450) = P(0.1<x<1.5)\)

plotDistr(x=x,dnorm(x,mean=media,sd=sd),cdf=F
          ,regions=list(c(-3.5,0.1),c(0.1,1.5))
          ,col=c('grey','red'),legend = F
          ,main="Diferença entre áreas",xlab='z')

P1<-pnorm(1.5,mean=media,sd=sd)
P2<-pnorm(0.1,mean=media,sd=sd)
print(P1-P2)
## [1] 0.393365

Y~N(100,20)

P(50<y<70)

\(P(50<y<70)=P(-2.5<z<-1.5)\)

plotDistr(x=x,dnorm(x,mean=media,sd=sd),cdf=F
          ,regions=list(c(-3.5,-2.5),c(-2.5,-1.5))
          ,col=c('grey','red'),legend = F
          ,main="Diferença entre áreas",xlab='z')

P1<-pnorm(-1.5,mean=media,sd=sd)
P2<-pnorm(-2.5,mean=media,sd=sd)
print(P1-P2)
## [1] 0.06059754

P(105<y<110)

\(P(105<y<110) = P(-0.25<z<0.5)\)

plotDistr(x=x,dnorm(x,mean=media,sd=sd),cdf=F
          ,regions=list(c(-3.5,-0.25),c(-0.25,0.5))
          ,col=c('grey','red'),legend = F
          ,main="Diferença entre áreas",xlab='z')

P1<-pnorm(0.5,mean=media,sd=sd)
P2<-pnorm(-0.25,mean=media,sd=sd)
print(P1-P2)
## [1] 0.2901688

P(y>75)

\(P(y>75) = P(z>-1.25)\)

plotDistr(x=x,dnorm(x,mean=media,sd=sd),cdf=F
          ,regions=list(c(-1.25,3.5))
          ,col=c('red'),legend = F
          ,main="Área delimitada",xlab='z')

pnorm(-1.25,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.8943502