integral dan integrasinya

dari operator kalkulus dasar, diferensiasi, yang di aplikasikan pada mosaicCalc. operator diferesiansi mengambil sebagai input fungsi dan variabel.

outputnya adalah fungsi lain yang memiliki variabel “sehubungan dengan” sebagai argumen, dan kemungkinan argumen lainnya.

library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
f <- makeFun( A * x ^  2 ~ x, A = 0.5)
f(1)
## [1] 0.5

funsi f menentukan angka yang akan dimasukkan ke dalam fungsi

f <- makeFun( A * x ^  2 ~ x, A = 0.5)
f(2)
## [1] 2
f <- makeFun( A * x ^  2 ~ x, A = 0.5)
f(7)
## [1] 24.5

contoh lain

df <- D(f(x) ~ x)
df(1)
## [1] 1
slice_plot(f(x) ~ x, domain(x = -1:1)) %>%
  gf_labs(title = "Original function f(x)")

slice_plot(df(x) ~ x, domain(x =-1:1), color = "red") %>%
  gf_labs(title = "New function df(x), the derivative of f(x)")

sekarang bayangkan dengan df(x) dengan menemukan fungsi dimana turunandari df(x) adalah f(x). dengan kata lain bayangkanmenerapkan kebalikan dari D(). operator ke fumgsi Df(x) menghasilkan f().

operator invers ini diaplikasikan di mosaicCalc sebagai fungsi antiD().

Anti turunan

DF <- antiD(df(x) ~ x) DF(1)

perhatikan bahwa fungsi DF diciptakan oleh anti diferensiasi tidak f. tetapi df mengarah ke x. Hasilnya adalah fungsi seperti f.

h <- antiD( f(x) ~ x ) dh <- D(h(x) ~ x ) dh(1)

satu yang membatalkan yang lain jadi tidak ada gunanya kecuali meng ilustrasikan dalam buku terkait satu sama lain. tetapi, seringkali seseorang menggunakan turunan beberapa fungsi yang tidak diketahui.

ini sering disebut “mengintegrasikan suatu fungsi. integrasi adalah istilak dari yang lebih bagus dari anti diferesiansi. fungsi yang dihasilkan oleh proses umumnya disebut integral. integral dibagi dua; integral tentu dan integral tak tentu.

anti derivatif artinya membatalkan. bukan hanya menilai pada suatu titik tetapi nilai yang terakumulasi tertanda pada rentang titik. properti anti turunan inilah yang membuat antiturunan sedikit lebih rumit daripada turunan.

kunci utama pada permasalahannya adalah banyak cara untuk membatalkan turunan; pertimbangan fungsi masing-masing berikut:

f1 <- makeFun(sin(x ^ 2) ~ x)
f2 <- makeFun(sin(x ^ 2)  +  3 ~ x)
f3 <- makeFun(sin(x ^ 2)  -  100 ~ x)
f1(1)
## [1] 0.841471
df1 = D(f1(x) ~ x)
df2 = D(f2(x) ~ x)
df3 = D(f3(x) ~ x)
df1(1)
## [1] 1.080605
 menimbulkan masalah saat membatalkan turunan tampaknya antiturunan sampai batas tak tertentu, tidak terbatas. jawabannya atas pertanyaan ini sama sekali bukan dari misteri filosofi. karna hal biasa ada dua jawaban atau lebih tepatnya memiliki multi jawaban.

untuk memulai, sebaiknya perlu dilihat tentang notasi matematika sehingga dapat dilihat secara berdampingan dengan notasi komputer. Diberikan suatu fungsi f(x)f(x), turunan terhadap x kemudia di tulis df/dx dan antiturunannya di tulis ∫f(x)d∫f(x)dx semua fungsi pada turunan yang sama adalah serupa. mereka sama kecuali pada konstanta aditif. jadi masalh ketidak tentuan jumlah pad anti turunan hanya untuk konstanta penjumlahan- anti turunan dari turunan suatu fungsi yang akan mengambil konstanta penjumlahan:

∫dfdxdx=f(x)+C.

THE INTEGRAL

turunan memberi bagaimana suatu fungsi berubah secara lokal. anti turunan mengumpulkan nilai-niali lokal untuk memberi tahu nilai lokal. yang dimana tidak hanya memberikan nilai dari input tapi juga nilai rentang pada suatu input.

perlu di ingat bahwa turunan f adalah fungsi itu sendiri dan fungsi tersebut memiliki argumenn yang sama dengan turunan f itu sendiri. karna f(x) dis=definikan memiliki argumen x maka fungsi yang dibuat oleh D(f(x)~x) juga memiliki argumen bernama x.

operasi anti turunan sedikit berbeda ketika menggunakan antiD(), nama variabel fungsi diganti dengan dua argumen:

antiD(f(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## (x^3 * A)/3 + C
antiD(df(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## A * x^2 + C

Nilai c ditetapkan , ujung rentang di akumulasi itu terjadi. Poin yang akan di buatkan pada notasi matematika memungkinkan anda menuliskan pernyataan yang tidak sepenuhnya eksplisit. contoh pernyataan ini adalah:

∫x^2dx=1/3x^3.

ini terlihat seperti fungsi dari x. tapi itu tidak sepenuhnya benar, nyatanya, pernyataan lengkap integral melibatkan argumen:

∫x^2dx=1/3x^3+C Jadi, nilai dari ∫x^2dx adalah fungsi dari x dan c. banyak yang melupakan fungsi dari c. argumen ini sering di tinggalkan integralx^2dx adalah “integral tak tentu”.

contoh lain dalam menulisnya adalah: ∫to fromx^2dx=13x^3∣∣∣tofrom,

perlu dilihat bahwa tidak masalah apakah fungsi telah di definikan atau dijabarkan x dan y atau sesuatu yang lain. akhirnya, integral tak tentu adalah fungsi dari dan ke.

interval pasti adalah perbedaan antara antiturunan yang di evaluasi pada antiturunan. untuk menyediakan ketika menghitung integral tertentu. jawaban sederhana tidak perlu melihat C.

fun = antiD( x^2 ~ x )
fun
## function (x, C = 0) 
## x^3/3 + C