library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Strategi dasar dalam kalkulus adalah membagi masalah yang menantang menjadi bagian-bagian yang lebih mudah, dan kemudian mengumpulkan bagian-bagian tersebut untuk menemukan solusi keseluruhan. Dengan demikian, area direduksi menjadi ketinggian yang terintegrasi. Volume berasal dari integrasi area. Persamaan diferensial memberikan pengaturan yang penting dan menarik untuk mengilustrasikan strategi kalkulus, sekaligus memberikan wawasan tentang pendekatan pemodelan dan pemahaman yang lebih baik tentang fenomena dunia nyata. Persamaan diferensial menghubungkan “keadaan” sesaat suatu sistem dengan perubahan keadaan sesaat.

9.1 Memecahkan persamaan diferensial

“Memecahkan” persamaan diferensial sama dengan menemukan nilai keadaan sebagai fungsi dari variabel bebas. Dalam “persamaan diferensial biasa”, hanya ada satu variabel bebas, biasanya disebut waktu. Dalam “persamaan diferensial parsial”, ada dua atau lebih variabel dependen, misalnya waktu dan ruang.

Fungsi tersebut integrateODE()menyelesaikan persamaan diferensial biasa yang dimulai dari kondisi awal keadaan tertentu.

Sebagai ilustrasi, berikut adalah persamaan diferensial yang sesuai dengan pertumbuhan logistik:

dx/dt = rx(1-x/K)

Ada negara bagian x. Persamaan menggambarkan bagaimana perubahan keadaan dari waktu ke waktu, dx/dt merupakan fungsi negara. Aplikasi umum dari persamaan logistik adalah untuk membatasi pertumbuhan penduduk; untuk xK populasi membusuk. Negara x=K adalah”keseimbangan stabil.” Ini adalah kesetimbangan karena, ketika x=K , perubahan status adalah nihil: dx/dt=0. Itu stabil, karena sedikit perubahan keadaan akan menimbulkan pertumbuhan atau pembusukan yang membawa sistem kembali ke kesetimbangan. Negara x=0 merupakan kesetimbangan yang tidak stabil.

Solusi aljabar untuk persamaan ini adalah bahan pokok buku kalkulus

x(t)= kx(0)/x(0)+(k-x(0)e-rt)

Solusinya memberikan keadaan sebagai fungsi waktu, x(t), sedangkan persamaan diferensial memberikan perubahan keadaan sebagai fungsi keadaan itu sendiri. Nilai awal keadaan (“kondisi awal”) adalah x(0), yaitu x pada waktu nol.

Persamaan logistik sangat disukai karena solusi aljabar ini. Persamaan yang sangat erat kaitannya dalam fenomenologinya, tidak memiliki solusi analitik.

Fungsi integrateODE()mengambil persamaan diferensial sebagai input, bersama dengan nilai awal keadaan. Nilai numerik untuk semua parameter harus ditentukan, karena mereka akan menggambar grafik solusinya. Selain itu, Anda harus menentukan rentang waktu yang Anda inginkan untuk fungsi tersebut x(t). Misalnya, inilah solusi untuk waktu berjalan dari 0 hingga 20.

9.2 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial dengan lebih dari satu variabel keadaan dapat ditangani juga. Sebagai ilustrasi, berikut adalah model SIR penyebaran epidemi, di mana negara adalah jumlah yang rentan S dan jumlah infektif I dalam populasi. Rentan menjadi infektif dengan bertemu infektif, infektif pulih dan meninggalkan sistem. Ada satu persamaan untuk perubahan dalam S dan persamaan yang sesuai untuk perubahan dalam I. Inisial I=1, sesuai dengan awal epidemi.

9.21 Contoh : Menyelam dari papan tinggi

pertimbangkan seorang penyelam saat dia melompat dari papan setinggi 5 meter dan terjun ke air. Secara khusus, misalkan Anda ingin memahami gaya yang bekerja. Untuk melakukannya, Anda membuat model dinamis dengan variabel status ay (kecepatan) dan x (posisi). Seperti yang mungkin Anda ingat dari ilmu fisika, benda yang jatuh akan dipercepat ke bawah dengan percepatan 9,8 meter per detik 2 . Kami akan menentukan bahwa lompatan awal di papan adalah ke atas dengan kecepatan 1 meter per detik.

Penyelam menyentuh air sekitar t=1.1s. Tentu saja, sekali di dalam air, penyelam tidak lagi berakselerasi ke bawah, jadi modelnya tidak berlaku untuk x<0 .Apa yang baik tentang format persamaan diferensial adalah mudah untuk menambahkan fitur seperti daya apung air dan tarikan air. Kami akan melakukannya di sini dengan mengubah percepatan (day istilah) sehingga ketika x<0 percepatannya sedikit positif (buoyant) dengan drag term proporsional ay 2 dengan arah berlawanan dengan gerakan.