Bab 7 Turunan dan Diferensiasi

Seperti semua perhitungan, operator untuk mengambil turunan, D()mengambil masukan dan menghasilkan keluaran. Bahkan, dibandingkan dengan banyak operator, D()cukup sederhana: hanya membutuhkan satu masukan.

Input: ekspresi menggunakan ~notasi. Contoh: x^2~xatau sin(x^2)~xatauy*cos(x)~y

Di sebelah kiri ~adalah ekspresi matematika, ditulis dalam notasi R yang benar, yang akan dievaluasi menjadi angka ketika nilai numerik tersedia untuk semua besaran yang dirujuk. Di sebelah kanan ~adalah variabel yang akan diambil turunannya. Ini tidak perlu disebut xatau y; setiap nama variabel yang valid diperbolehkan.

Output yang dihasilkan oleh D()adalah fungsi. Fungsi akan mencantumkan sebagai argumen semua variabel yang terdapat dalam ekspresi input. Anda kemudian dapat mengevaluasi fungsi keluaran untuk nilai numerik tertentu dari argumen untuk menemukan nilai fungsi turunan.

Sebagai contoh:

g <- D(x^2 ~ x)
g(1)

## [1] 2

g(3.5)

## [1] 7

7.1 Rumus dan Selisih Numerik

Ketika ekspresi relatif sederhana dan terdiri dari fungsi matematika dasar, D()seringkali akan mengembalikan fungsi yang berisi rumus matematika. Misalnya pada contoh di atas

## function (x) 
## 2 * x
## <bytecode: 0x7fb3973d7e20>

Untuk ekspresi masukan lainnya, D()akan mengembalikan fungsi yang didasarkan pada perkiraan numerik ke turunan — Anda tidak dapat ``melihat” turunannya, tetapi fungsi tersebut ada di dalam metode perkiraan numerik: $lihat” turunannya, tetapi itu ada di dalam metode pendekatan numerik: <div id="cb245" class="sourceCode"> <button type="button" class="copy-to-clipboard-button" title="Menyalin ke clipboard" aria-label="Menyalin ke clipboard"> </button> <pre class="sourceCode r" style="position: relative;"><code class="sourceCode r"><a href="derivatives-and-differentiation.html#cb245-1"></a>h <- D(sin(abs(x - 3) ) ~ x) <a href="derivatives-and-differentiation.html#cb245-2"></a>h</code><div class="open_grepper_editor" title="Edit & Simpan Ke Grepper"></div></pre> </div> <pre style="position: relative;"><code>## function (x) ## numerical.first.partial(.function, .wrt, .hstep, match.call()) ## <environment: 0x7fb3b1ea8bf0></code><div class="open_grepper_editor" title="Edit & Simpan Ke Grepper"></div></pre> </div> <div id="symbolic-parameters" class="section level2"> <h2> 7.2 Parameter Simbolik </h2> Anda dapat menyertakan parameter simbolik dalam ekspresi yang dimasukkan ke <code>D()</code>, misalnya: <div id="cb247" class="sourceCode"> <button type="button" class="copy-to-clipboard-button" title="Menyalin ke clipboard" aria-label="Menyalin ke clipboard"> </button> <pre class="sourceCode r" style="position: relative;"><code class="sourceCode r"><a href="derivatives-and-differentiation.html#cb247-1"></a>s2 <- D(A * sin(2 * pi * t / P) + C ~ t)</code><div class="open_grepper_editor" title="Edit & Simpan Ke Grepper"></div></pre> </div> Parameter, dalam hal ini <code>A</code>, <code>P</code>, dan <code>C</code>, akan diubah menjadi argumen untuk <code>s2()</code>fungsi tersebut. Perhatikan yang <code>pi</code>dipahami sebagai angka , bukan parameter.<mi>&#x03C0;</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 117%; position: relative;">π<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>π</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-2"> <div id="cb248" class="sourceCode"> <button type="button" class="copy-to-clipboard-button" title="Menyalin ke clipboard" aria-label="Menyalin ke clipboard"> </button> <pre class="sourceCode r" style="position: relative;"><code class="sourceCode r"><a href="derivatives-and-differentiation.html#cb248-1"></a>s2</code><div class="open_grepper_editor" title="Edit & Simpan Ke Grepper"></div></pre> </div> <pre style="position: relative;"><code>## function (t, A, P, C) ## A * (cos(2 * pi * t/P) * (2 * pi/P))</code><div class="open_grepper_editor" title="Edit & Simpan Ke Grepper"></div></pre> Fungsi <code>s2()</code>yang dibuat akan berfungsi seperti fungsi matematika lainnya, tetapi Anda perlu menentukan nilai numerik untuk parameter simbolik saat mengevaluasi fungsi: <div id="cb250" class="sourceCode"> <button type="button" class="copy-to-clipboard-button" title="Menyalin ke clipboard" aria-label="Menyalin ke clipboard"> </button> <pre class="sourceCode r" style="position: relative;"><code class="sourceCode r"><a href="derivatives-and-differentiation.html#cb250-1"></a>s2</code><div class="open_grepper_editor" title="Edit & Simpan Ke Grepper"></div></pre> </div> <pre style="position: relative;"><code>## function (t, A, P, C) ## A * (cos(2 * pi * t/P) * (2 * pi/P))</code><div class="open_grepper_editor" title="Edit & Simpan Ke Grepper"></div></pre> <div id="cb252" class="sourceCode"> <button type="button" class="copy-to-clipboard-button" title="Menyalin ke clipboard" aria-label="Menyalin ke clipboard"> </button> <pre class="sourceCode r" style="position: relative;"><code class="sourceCode r"><a href="derivatives-and-differentiation.html#cb252-1"></a>s2( t=3, A=2, P=10, C=4 )</code><div class="open_grepper_editor" title="Edit & Simpan Ke Grepper"></div></pre> </div> <pre style="position: relative;"><code>## [1] -0.3883222</code><div class="open_grepper_editor" title="Edit & Simpan Ke Grepper"></div></pre> <div id="cb254" class="sourceCode"> <button type="button" class="copy-to-clipboard-button" title="Menyalin ke clipboard" aria-label="Menyalin ke clipboard"> </button> <pre class="sourceCode r" style="position: relative;"><code class="sourceCode r"><a href="derivatives-and-differentiation.html#cb254-1"></a>slice_plot(s2(t, A=2, P=10, C=4) ~ t, <a href="derivatives-and-differentiation.html#cb254-2"></a> domain(t=range(0,20)))</code><div class="open_grepper_editor" title="Edit & Simpan Ke Grepper"></div></pre> </div> <img src="070-derivatives_files/figure-html/sine-example-1.png" width="80%"> </div> <div id="partial-derivatives" class="section level2"> <h2> 7.3 Derivatif Parsial </h2> Turunan yang dihitung dengan <code>D( )</code>adalah turunan parsial . Artinya, mereka adalah turunan di mana variabel di sisi kanan <code>~</code>diubah dan semua variabel lainnya tetap konstan. <div id="second-derivatives" class="section level3"> <h3> 7.3.1 Turunan kedua </h3> Turunan kedua hanyalah turunan dari turunan. Anda dapat menggunakan <code>D( )</code>operator dua kali untuk mencari turunan kedua, seperti ini. <div id="cb255" class="sourceCode"> <button type="button" class="copy-to-clipboard-button" title="Menyalin ke clipboard" aria-label="Menyalin ke clipboard"> </button> <pre class="sourceCode r" style="position: relative;"><code class="sourceCode r"><a href="derivatives-and-differentiation.html#cb255-1"></a>df <- D(sin(x) ~ x) <a href="derivatives-and-differentiation.html#cb255-2"></a>ddf <- D(df(x) ~ x)</code><div class="open_grepper_editor" title="Edit & Simpan Ke Grepper"></div></pre> </div> Untuk menghemat pengetikan, terutama bila ada lebih dari satu variabel yang terlibat dalam ekspresi, Anda dapat meletakkan beberapa variabel di sebelah kanan <code>~</code>tanda, seperti pada turunan kedua ini sehubungan dengan :<mi>x</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 117%; position: relative;">x<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">x$

another.ddf <- D(sin(x) ~ x & x)

Bentuk untuk turunan orde kedua dan lebih tinggi ini juga menghasilkan perhitungan yang lebih akurat.

RANGKUMAN 7

UIN Maulana Malik Ibrahim Malang, Tekinik Informatika. Rifky Aryo Wahyu Pratama (220605110052)

2022-12-01

Bab 7 Turunan dan Diferensiasi

7.1 Rumus dan Selisih Numerik