library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Proses pemilihan parameter untuk mencocokkan pengamatan disebut model fitting

Sebagai ilustrasi, data dalam file “utilities.csv” mencatat suhu rata-rata setiap bulan (dalam derajat F) serta penggunaan gas alam bulanan (dalam kaki kubik, ccf). Ada, seperti yang Anda duga, hubungan yang kuat antara keduanya.

Utils <- read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/utilities.csv")
gf_point(ccf ~ temp, data = Utils) %>%
  gf_labs(y = "Natural gas usage (ccf/month)", 
          x = "Average outdoor temperature (F)")

Banyak jenis fungsi yang berbeda dapat digunakan untuk mewakili data ini. Salah satu yang paling sederhana dan paling umum digunakan dalam pemodelan adalah fungsi garis lurus f(x)=SEBUAH x + B. Dalam ufngsi f(x), variabel x singkatan dari input, sedangkan A dan B adalah parameter. Penting untuk diingat apa nama input dan output saat menyesuaikan model dengan data – Anda perlu mengatur agar namanya cocok dengan data yang sesuai.

Dengan data utilitas, masukannya adalah suhu, suhu. Keluaran yang akan dimodelkan adalah ccf. Untuk menyesuaikan fungsi model dengan data, tuliskan rumus dengan nama input, parameter, dan output yang sesuai di tempat yang tepat:

f <- fitModel(ccf ~ A * temp + B, data = Utils)

Keluaran dari fitModel() adalah fungsi dengan bentuk matematika yang sama seperti yang Anda tentukan di argumen pertama (di sini, ccf ~ A * temp + B) engan nilai numerik spesifik yang diberikan ke parameter untuk membuat fungsi paling cocok dengan data. Bagaimana cara fitModel() mengetahui besaran mana dalam bentuk matematika yang merupakan variabel dan mana yang merupakan parameter? Apa pun yang terkandung dalam data yang digunakan untuk pemasangan adalah variabel (di sini temp); hal-hal lain (di sini, Adan B) adalah parameter.

gf_point(ccf ~ temp, data = Utils) %>%
  slice_plot(f(temp) ~ temp)

Anda dapat menambahkan fungsi lain ke dalam campuran dengan mudah. Misalnya, sqrt(temp)

f2 <- fitModel(
  ccf ~ A * temp + B + C *sqrt(temp),
  data = Utils)
gf_point(
  ccf ~ temp, data = Utils) %>%
  slice_plot(f2(temp) ~ temp)

Contoh ini hanya melibatkan satu variabel masukan. Sepanjang ilmu alam dan sosial, teknik yang sangat penting dan banyak digunakan adalah menggunakan banyak variabel dalam sebuah proyeksi. Sebagai ilustrasi, lihat data “used-hondas.csv”harga mobil Honda bekas.

Hondas <- read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/used-hondas.csv")
head(Hondas)
##   Price Year Mileage Location Color Age
## 1 20746 2006   18394  St.Paul  Grey   1
## 2 19787 2007       8  St.Paul Black   0
## 3 17987 2005   39998  St.Paul  Grey   2
## 4 17588 2004   35882  St.Paul Black   3
## 5 16987 2004   25306  St.Paul  Grey   3
## 6 16987 2005   33399  St.Paul Black   2

eperti yang Anda lihat, kumpulan data menyertakan variabel Price, Age, dan Mileage. Tampaknya masuk akal untuk berpikir bahwa harga akan bergantung pada jarak tempuh dan usia mobil. Inilah model yang sangat sederhana yang menggunakan kedua variabel:

carPrice1 <- fitModel(
  Price ~ A + B * Age + C * Mileage, data = Hondas
)

Anda dapat memplot fungsi yang sesuai:

contour_plot(
  carPrice1(Age = age, Mileage = miles) ~ age + miles,
  domain(age=2:8, miles=range(0, 60000)))

Pertimbangkan sekarang cara lain untuk membaca plot kontur. Sebagai contoh, mari kita fokus pada kontur seharga $17.000. Setiap kombinasi usia dan mil yang jatuh pada kontur ini menghasilkan harga mobil yang sama: $17.000. Kemiringan kontur memberi tahu Anda pertukaran antara jarak tempuh dan usia. Lihatlah dua titik pada kontur yang berbeda 10.000 mil. Perbedaan usia yang sesuai adalah sekitar 1,5 tahun. Jadi, saat membandingkan dua mobil dengan harga yang sama, penurunan jarak tempuh sebesar 10.000 diimbangi dengan peningkatan usia 1,5 mil.

Model yang agak lebih canggih mungkin mencakup apa yang disebut interaksi antara usia dan jarak tempuh, dengan menyadari bahwa pengaruh usia mungkin berbeda bergantung pada jarak tempuh.

carPrice2 <- fitModel(
  Price ~ A + B * Age + C * Mileage + D * Age * Mileage,
  data = Hondas)

setelah fungsi dipasang ke data, Anda dapat memplotnya dengan cara biasa:

contour_plot(
  carPrice2(Age=age, Mileage=miles) ~ age + miles,
  domain(age = range(0, 8), miles = range(0, 60000)))

Bentuk konturnya sedikit berbeda dengan di carPrice1(); mereka sedikit menonjol ke atas. menafsirkan kontur seperti itu membutuhkan sedikit latihan. Lihatlah wilayah kecil di salah satu kontur. Kemiringan kontur memberi tahu Anda trade-offantara jarak tempuh dan usia. Untuk melihatnya, lihat kontur $17.000 yang melewati usia = 6 tahun dan jarak tempuh = 10.000 mil. Sekarang lihat kontur $ 17.000 dengan jarak tempuh nol. Dalam bergerak sepanjang kontur, harga tetap konstan. (Begitulah kontur didefinisikan: titik di mana harganya sama, dalam hal ini $17.000.) Menurunkan jarak tempuh sejauh 10.000 mil diseimbangkan dengan menambah usia kurang dari satu tahun. (Kontur $17.000 memiliki titik nol jarak tempuh dan 6,8 tahun.) Cara lain untuk mengatakan ini adalah bahwa efek peningkatan usia 0,8 tahun sama dengan penurunan jarak tempuh 10.000 mil.

Sekarang lihat kontur $17.000 yang sama pada usia nol (yaitu, di ujung kiri grafik). Penurunan jarak tempuh sebesar 10.000 peningkatansesuai dengan usia 1,6 tahun. Dengan kata lain, menurut model, untuk mobil yang lebih baru kepentingan relatif antara jarak tempuh vs. usia lebih rendah daripada mobil yang lebih tua. Untuk mobil berusia nol, 10.000 mil bernilai 1,6 tahun, tetapi untuk mobil berusia enam tahun, 10.000 mil hanya bernilai 0,8 tahun.

Interaksi yang ditambahkan priceFun2()inilah yang menghasilkan pengaruh yang berbeda terhadap harga jarak tempuh untuk mobil yang berbeda umur.

Operator fitModel()membuatnya sangat mudah untuk menemukan parameter dalam model apa pun yang membuat model mendekati data paling dekat. Pekerjaan dalam pemodelan adalah memilih bentuk model yang tepat (Istilah interaksi atau tidak? Apakah akan memasukkan variabel baru atau tidak?) dan menginterpretasikan hasilnya. Di bagian selanjutnya, kita akan melihat beberapa pilihan berbeda dalam bentuk model (linier vs. nonlinier) dan beberapa logika matematis di balik pemasangan.

6.0.1 Latihan

6.0.1.1 Latihan 1

Teks bagian ini menjelaskan model carPrice1()dengan Umur dan Jarak Tempuh sebagai jumlah masukan dan harga (dalam USD) sebagai keluaran. Klaim dibuat bahwa harga dapat dilihat sebagai fungsi dari Agedan Mileage. Mari kita buat grafik itu lagi.

contour_plot(
  carPrice1(Age = age, Mileage = miles) ~ age + miles,
  domain(age = range(0, 8), miles = range(0, 60000)))

Apa yang dikatakan kontur vertikal tentang harga sebagai fungsi dari Agedan Mileage?

Setiap kontur sesuai dengan harga yang berbeda. Saat Anda melacak secara horizontal dengan Age, Anda berpindah dari satu kontur ke kontur lainnya. Namun saat Anda melacak secara vertikal dengan Mileage, Anda tidak melewati kontur. Artinya harga tidak bergantung pada Mileage, karena perubahan Mileagetidak menyebabkan perubahan harga. Tapi harga tidak berubah dengan Age.

Grafik fungsi yang sama yang ditampilkan di badan teks memiliki kontur yang miring ke bawah dari kiri ke kanan. Apa yang dikatakan tentang harga sebagai fungsi dari Agedan Mileage?

Saat Anda menjiplak secara horizontal, dengan Age, Anda berpindah dari kontur ke kontur: harga berubah. Jadi harga tergantung Age. Hal yang sama berlaku ketika Anda menjiplak secara vertikal, dengan Mileage. Jadi harga juga tergantung Mileage.

Fungsi yang sama digambarkan baik di badan teks maupun di latihan ini. Tapi grafiknya sangat berbeda! Jelaskan mengapa ada perbedaan dan sebutkan grafik mana yang benar.

Perhatikan tanda centang pada sumbu. Dalam grafik di badan teks, Ageberjalan dari dua hingga delapan tahun. Namun dalam grafik latihan, Agehanya berjalan dari nol hingga satu tahun. Demikian pula, grafik di badan teks Mileageberjalan dari 0 hingga 60.000 mil, tetapi dalam grafik latihan, Mileageberjalan dari 0 hingga 1.

Kedua grafik menunjukkan fungsi yang sama, jadi keduanya “benar”. Tapi grafik latihan itu menyesatkan secara visual. Tidak mengherankan jika harga tidak banyak berubah dari 0 mil menjadi 1 mil, tetapi harganya (agak) berubah dari 0 tahun menjadi 1 tahun.

6.0.1.2 Latihan 2

Ekonom biasanya berpikir tentang harga dalam logaritma mereka. Keuntungan dari melakukan ini adalah bahwa tidak masalah dalam mata uang apa harganya; kenaikan 1 harga log adalah proporsi yang sama terlepas dari harga atau mata uangnya.

Pertimbangkan model dari catatan 0 harga sebagai fungsi dari mil dan usia.

logPrice2 <- fitModel(
  logPrice ~ A + B * Age + C * Mileage + D * Age * Mileage,
  data = Hondas %>% mutate(logPrice = log10(Price)))

Model ini didefinisikan untuk memasukkan interaksi antara usia dan jarak tempuh. Tentu saja, mungkin saja parameternya D mendekati nol. Itu berarti bahwa data tidak memberikan bukti interaksi apa pun.

Sesuaikan model dan lihat kontur harga kayu gelondongan. Apa yang dikatakan bentuk kontur kepada Anda tentang apakah data memberikan bukti interaksi dalam harga log?

contour_plot(
  logPrice2(Age=age, Mileage=miles) ~ age + miles,
  domain(age = range(0, 8), miles = range(0, 60000)))

Konturnya cukup lurus, yang menunjukkan bahwa ada sedikit interaksi. Ketika menginterpretasikan harga log, Anda dapat berpikir tentang kenaikan, katakanlah, 0,05 dalam output yang sesuai dengan kenaikan harga proporsional yang sama. Misalnya, kenaikan harga log dari 4.2 menjadi 4.25 merupakan kenaikan sebesar 12% dari harga sebenarnya. Kenaikan lebih lanjut dalam harga log menjadi 4,3 adalah kenaikan 12% lebih lanjut dari harga sebenarnya.

6.0.1.3 Latihan 3 : Tetap dekat dengan data

Menyesuaikan fungsi dengan data bukanlah sihir. Sejauh data membatasi bentuk model yang masuk akal, model tersebut akan cocok dengan data. Tetapi untuk input yang tidak ada datanya (misalnya mobil berusia 0 tahun dengan jarak tempuh 60.000 mil), sebuah model dapat melakukan hal-hal gila. Ini terutama terjadi jika modelnya rumit, katakanlah termasuk kekuatan variabel, seperti yang satu ini:

carPrice3 <- fitModel(
  Price ~ A + B * Age + C * Mileage + D * Age * Mileage +
    E * Age^2 + F * Mileage^2 + G * Age^2 * Mileage + 
    H * Age * Mileage^2,
  data = Hondas)
gf_point(Mileage ~ Age, data = Hondas, fill = NA) %>%
contour_plot(
  carPrice3(Age=Age, Mileage=Mileage) ~ Age + Mileage)

Untuk mobil di bawah 3 tahun atau lebih tua dengan jarak tempuh sangat tinggi atau sangat rendah, konturnya melakukan beberapa hal gila! Akal sehat mengatakan bahwa jarak tempuh yang lebih tinggi atau usia yang lebih besar menghasilkan harga yang lebih tinggi. Dalam hal kontur, akal sehat diterjemahkan menjadi kontur yang memiliki kemiringan negatif. Tetapi kemiringan kontur ini seringkali positif.

Ini membantu untuk mempertimbangkan apakah ada wilayah di mana hanya ada sedikit data. Sebagai aturan, model rumit seperti carPrice3() tidak dapat diandalkan untuk input di mana ada sedikit atau tidak ada data.

Fokus hanya pada wilayah plot di mana terdapat banyak data. Apakah kontur memiliki bentuk yang diharapkan oleh akal sehat?

Di mana ada banyak data, bentuk lokal kontur memang miring ke bawah dari kiri ke kanan, seperti yang diantisipasi oleh akal sehat.

6.1 Kurva dan Model Linier

Sepintas, istilah “linier” dan “kurva” mungkin tampak kontradiktif. Garis lurus, kurva tidak.

Kata linier dalam “model linier” mengacu pada “kombinasi linier”, bukan “garis lurus”. Seperti yang akan Anda lihat, Anda dapat membuat kurva rumit dengan mengambil kombinasi fungsi linier, dan menggunakan operasi proyeksi aljabar linier untuk mencocokkan kurva ini sedekat mungkin dengan data. Proses pencocokan itu disebut “pas”.

Sebagai ilustrasi, data dalam file “utilities.csv”merekam suhu rata-rata setiap bulan (dalam derajat F) serta penggunaan gas alam bulanan (dalam kaki kubik, ccf). Ada, seperti yang Anda duga, hubungan yang kuat antara keduanya.

Utilities = read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/utilities.csv")
gf_point(ccf ~ temp, data = Utilities)

Banyak jenis fungsi yang berbeda dapat digunakan untuk mewakili data ini. Salah satu yang paling sederhana dan paling umum digunakan dalam pemodelan adalah fungsi garis lurus. Dalam hal aljabar linier, ini adalah kombinasi linier dari fungsi f1(T) = 1 dan f2(T) = T.Secara konvensional, tentu saja, fungsi garis lurus ditulis f(T) = b +mT. otasi konvensional ini hanyalah penamaan skalar sebagai m dan b yang akan berpartisipasi dalam kombinasi linier. Untuk menemukan skalar numerik yang paling cocok dengan data — untuk “menyesuaikan fungsi” dengan data — dapat dilakukan dengan project( )operator aljabar linier.

project(ccf ~ temp + 1, data = Utilities)
## (Intercept)        temp 
##  253.098208   -3.464251

Operator project( )memberikan nilai skalar. Fungsi pemasangan terbaik itu sendiri dibangun dengan menggunakan nilai skalar ini untuk menggabungkan fungsi yang terlibat.

model_fun = makeFun( 253.098 - 3.464*temp ~ temp)
gf_point(ccf ~ temp, data=Utils) %>%
  slice_plot(model_fun(temp) ~ temp)

Anda dapat menambahkan fungsi lain ke dalam campuran dengan mudah. Misalnya, sqrt(T)

project(ccf ~ temp  + sqrt(temp) + 1, data = Utils)
## (Intercept)        temp  sqrt(temp) 
##  447.029273    1.377666  -63.208025
mod2 <- makeFun(447.03 + 1.378*temp - 63.21*sqrt(temp) ~ temp)
gf_point(ccf ~ temp, data=Utils) %>% # the data
  slice_plot(mod2(temp) ~ temp) %>%
  gf_labs(x = "Temperature (F)", 
          y = "Natural gas used (ccf)")

Memahami matematika proyeksi penting untuk menggunakannya, tetapi fokus sejenak pada notasi yang digunakan untuk mengarahkan komputer untuk melakukan notasi aljabar linier.

Operator project( )mengambil serangkaian vektor. Saat menyesuaikan fungsi ke data, vektor ini berasal dari kumpulan data sehingga perintah harus mengacu pada nama besaran seperti yang muncul di kumpulan data, misalnya, ccfatau temp. Anda diperbolehkan melakukan operasi pada besaran tersebut, misalnya pada contoh sqrtdi atas, untuk membuat vektor baru. The ~digunakan untuk memisahkan vektor “target” dari kumpulan satu atau lebih vektor tempat proyeksi dibuat. Dalam notasi matematika tradisional, operasi ini akan ditulis sebagai persamaan yang melibatkan matriks a terdiri dari sekumpulan vektor (ay1,ay2,….,ay3)=a, vektor sasaran b dan himpunan koefisien yang tidak diketahui x.

Setelah Anda menyelesaikan proyeksi dan menemukan koefisien, Anda dapat membuat fungsi matematika yang sesuai dengan menggunakan koefisien dalam ekspresi matematika untuk membuat fungsi. Seperti semua fungsi, nama yang Anda gunakan untuk argumen adalah masalah pilihan pribadi, meskipun masuk akal untuk menggunakan nama yang mengingatkan Anda tentang apa yang diwakili oleh fungsi tersebut.

Pilihan vektor apa yang akan digunakan dalam proyeksi ada di tangan Anda: bagian dari seni pemodel.

Sepanjang ilmu alam dan sosial, teknik yang sangat penting dan banyak digunakan adalah menggunakan banyak variabel dalam sebuah proyeksi. Sebagai ilustrasi, lihat data “used-hondas.csv”harga mobil Honda bekas.

Hondas = read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/used-hondas.csv")
head(Hondas)
##   Price Year Mileage Location Color Age
## 1 20746 2006   18394  St.Paul  Grey   1
## 2 19787 2007       8  St.Paul Black   0
## 3 17987 2005   39998  St.Paul  Grey   2
## 4 17588 2004   35882  St.Paul Black   3
## 5 16987 2004   25306  St.Paul  Grey   3
## 6 16987 2005   33399  St.Paul Black   2

Seperti yang Anda lihat, kumpulan data menyertakan variabel Price, Age, dan Mileage. Tampaknya masuk akal untuk berpikir bahwa harga akan bergantung pada jarak tempuh dan usia mobil. Inilah model yang sangat sederhana yang menggunakan kedua variabel:

project(Price ~ Age + Mileage + 1, data = Hondas)
##   (Intercept)           Age       Mileage 
##  2.133049e+04 -5.382931e+02 -7.668922e-02

Anda dapat memplotnya sebagai fungsi matematika:

car_price <- makeFun(21330-5.383e2*age-7.669e-2*miles ~ age & miles)
contour_plot(car_price(age, miles) ~ age + miles,
  domain(age=range(2, 8), miles=range(0, 60000))) %>%
  gf_labs(title = "Miles per gallon")

Model yang agak lebih canggih mungkin menyertakan apa yang disebut “interaksi” antara usia dan jarak tempuh, menyadari bahwa pengaruh usia mungkin berbeda tergantung pada jarak tempuh.

project(Price ~ Age + Mileage + Age*Mileage + 1, data = Hondas)
##   (Intercept)           Age       Mileage   Age:Mileage 
##  2.213744e+04 -7.494928e+02 -9.413962e-02  3.450033e-03
car_price2 <- makeFun(22137 - 7.495e2*age - 9.414e-2*miles +
                         3.450e-3*age*miles ~ age & miles)
contour_plot(
  car_price2(Age, Mileage) ~ Age + Mileage,  
  domain(Age = range(0, 10), Mileage = range(0, 100000))) %>%
  gf_labs(title = "Price of car (USD)")

Latihan 1 : Pemasangan Polinominal

Sebagian besar mahasiswa mengambil kursus aljabar yang mencakup banyak tentang polinomial, dan polinomial sangat sering digunakan dalam pemodelan. (Mungkin, mereka digunakan lebih sering daripada yang seharusnya. Dan guru aljabar mungkin kecewa mendengar bahwa model polinomial yang paling penting adalah model orde rendah, misalnya, f(x,y) = a +bx+cy+dxy daripada menjadi kubik atau kuartik, dll.) Menyesuaikan polinomial dengan data adalah masalah aljabar linier: menyusun vektor yang sesuai untuk mewakili berbagai kekuatan. Misalnya, inilah cara menyesuaikan model kuadrat dengan variabel ccfversus dalam file data:temp"utilities.csv”

Utilities = read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/utilities.csv")
project(ccf ~ 1 + temp + I(temp^2), data = Utilities)
##  (Intercept)         temp    I(temp^2) 
## 317.58743630  -6.85301947   0.03609138

I( ) perangkat lunak untuk mengambil eksponensial secara harfiah dalam arti matematis.

Koefisien memberi tahu kita bahwa model kuadrat yang paling pas dari ccf versus temp adalah:

ccfQuad <- makeFun(317.587 - 6.853*T + 0.0361*T^2 ~ T)
gf_point(ccf ~ temp, data = Utilities) %>%
  slice_plot(ccfQuad(temp) ~ temp)

Untuk mencari nilai model ini pada temperatur tertentu, evaluasi saja fungsinya. (Dan perhatikan bahwa ccfQuad( )didefinisikan dengan variabel input T.)

ccfQuad(T=72)
## [1] 11.3134

Sesuaikan polinomial orde-3 versus dengan data utilitas. Berapa nilai model ini untuk suhu 32 derajat? {87.103.128, 142 .143.168.184}

project(ccf ~ 1 + temp + I(temp^2) + I(temp^3), data = Utils)
##   (Intercept)          temp     I(temp^2)     I(temp^3) 
##  2.550709e+02 -1.427408e+00 -9.643482e-02  9.609511e-04
ccfCubic <- 
  makeFun(2.551e2 - 1.427*T -
          9.643e-2*T^2 + 9.6095e-4*T^3 ~ T)
gf_point(ccf ~ temp, data = Utils) %>%
  slice_plot(ccfCubic(temp) ~ temp) 

ccfCubic(32)
## [1] 142.1801

Sesuaikan polinomial urutan ke-4 ccfversus tempdengan data utilitas. Berapa nilai model ini untuk suhu 32 derajat? {87.103.128.140, 143 .168.184}

project(ccf ~ 1 + temp + I(temp^2) + I(temp^3) + I(temp^4), 
        data = Utils)
##   (Intercept)          temp     I(temp^2)     I(temp^3)     I(temp^4) 
##  1.757579e+02  8.225746e+00 -4.815403e-01  7.102673e-03 -3.384490e-05
cfQuad <- makeFun(1.7576e2 + 8.225*T -4.815e-1*T^2 + 
                     7.103e-3*T^3 - 3.384e-5*T^4 ~ T) 
gf_point(ccf ~ temp, data = Utils) %>%
  slice_plot(ccfQuad(temp) ~ temp) %>%
  gf_labs(y = "Natural gas use (ccf)", x = "Temperature (F)")

Buat plot perbedaan antara model orde ke-3 dan ke-4 pada rentang suhu dari 20 hingga 60 derajat. Apa perbedaan terbesar (dalam nilai absolut) antara keluaran kedua model?

  1. sekitar 4 ccf
slice_plot(ccfQuad(temp) - ccfCubic(temp) ~ temp, 
           domain(temp = range(20, 60)))

Latihan 2 : Regresi Berganda

Pada tahun 1980, majalah Consumer Reports mempelajari mobil model 1978-79 untuk mengeksplorasi bagaimana berbagai faktor mempengaruhi penghematan bahan bakar. Pengukuran tersebut mencakup efisiensi bahan bakar dalam mil per galon, bobot trotoar dalam pound, tenaga mesin dalam tenaga kuda, dan jumlah silinder. Variabel ini disertakan dalam file “cardata.csv”.

Cars = read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/cardata.csv")
head(Cars)
##    mpg  pounds horsepower cylinders tons constant
## 1 16.9 3967.60        155         8  2.0        1
## 2 15.5 3689.14        142         8  1.8        1
## 3 19.2 3280.55        125         8  1.6        1
## 4 18.5 3585.40        150         8  1.8        1
## 5 30.0 1961.05         68         4  1.0        1
## 6 27.5 2329.60         95         4  1.2        1

Gunakan data ini agar sesuai dengan model penghematan bahan bakar berikut (variabel mpg):

Berapa nilai model untuk input 2000 pound? {14.9,19.4,21.1,25.0, 28.8 ,33.9,35.2}

project(mpg ~ pounds + 1, data = Cars)
##  (Intercept)       pounds 
## 43.188646127 -0.007200773

Gunakan data agar sesuai dengan model ekonomi bahan bakar berikut (variabel mpg):

Berapa nilai model untuk masukan 2000 pon dan 150 tenaga kuda? {14.9, 19.4 ,21.1,25.0,28.8,33.9,35.2}

Berapa nilai model untuk masukan 2000 pon dan 50 tenaga kuda? {14.9,19.4,21.1,25.0,28.8, 33.9 ,35.2}

project(mpg ~ pounds + horsepower  + 1, data = Cars)
##  (Intercept)       pounds   horsepower 
## 46.932738241 -0.002902265 -0.144930546
mod_fun <- makeFun(46.933 - 0.00290*lbs - 0.1449*hp ~ lbs + hp)
mod_fun(lbs = 2000, hp = 50)
## [1] 33.888

6.2 fitmodel()

6.3 Fungsi dengan parameter nonlinier

Teknik aljabar linier dapat digunakan untuk mencari kombinasi linier terbaik dari suatu himpunan fungsi. Namun, seringkali, ada parameter dalam fungsi yang muncul secara nonlinier. Contohnya termasuk di f(t)=a exp(kt) + C dan P di a dosa (2phi/p*t)+c Menemukan parameter nonlinier ini tidak dapat dilakukan secara langsung menggunakan aljabar linier, meskipun metode aljabar linier memang membantu menyederhanakan situasi.

Untungnya, gagasan bahwa jarak antar fungsi dapat diukur berfungsi dengan baik ketika ada parameter nonlinear yang terlibat. Jadi kita akan terus menggunakan “jumlah residu kuadrat” saat mengevaluasi seberapa dekat perkiraan fungsi dengan sekumpulan data.

6.4 Fungsi Eksponensial

Sebagai ilustrasi, pertimbangkan “Income-Housing.csv”data yang menunjukkan hubungan eksponensial antara fraksi keluarga dengan dua mobil dan pendapatan:

Families <- read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/Income-Housing.csv")
gf_point(TwoVehicles ~ Income, data = Families)

Pola data menunjukkan “pembusukan” eksponensial terhadap hampir 100% keluarga yang memiliki dua kendaraan. Bentuk matematis dari fungsi eksponensial ini adalah a exp(kY)+C. A dan C dalah parameter linier yang tidak diketahui. k adalah parameter nonlinear yang tidak diketahui – ini akan menjadi negatif untuk peluruhan eksponensial.

Misalkan Anda menebak k . Tebakan tidak harus benar-benar acak; Anda dapat melihat dari datanya sendiri bahwa “waktu paruh” adalah sekitar $25.000. Parameter k adalah sesuai dengan paruh, itu di(0,5)/setengah hidup, jadi inilah tebakan yang bagus untuk k adalah di (0,5)/ 25000, itu adalah

kguess <- log(0.5) / 25000
kguess
## [1] -2.772589e-05

Dimulai dengan tebakan tersebut, Anda dapat menemukan nilai terbaik dari parameter linier A dan C melalui teknik aljabar linier :

project( TwoVehicles ~ 1 + exp(Income*kguess), data = Families)
##          (Intercept) exp(Income * kguess) 
##             110.4263            -101.5666

Anda dapat membuat fungsi yang merupakan kombinasi linier terbaik dengan menambahkan kedua fungsi secara eksplisit:

f <- makeFun( 110.43 - 101.57*exp(Income * k) ~ Income, k = kguess)
gf_point(TwoVehicles ~ Income, data = Families) %>%
  slice_plot(f(Income) ~ Income)

Grafik berjalan sangat dekat dengan titik data. Tapi Anda juga bisa melihat nilai numerik dari fungsi untuk setiap pendapatan:

f(Income = 10000)
## [1] 33.45433
f(Income = 50000)
## [1] 85.0375

Sangat informatif untuk melihat nilai fungsi untuk Incomelevel tertentu dalam data yang digunakan untuk pemasangan, yaitu data frame Families:

Results <- Families %>% 
  dplyr::select(Income, TwoVehicles) %>%
  mutate(model_val = f(Income = Income),
         resids = TwoVehicles - model_val)
Results
##   Income TwoVehicles model_val     resids
## 1   3914        17.3  19.30528 -2.0052822
## 2  10817        34.3  35.17839 -0.8783904
## 3  21097        56.4  53.84097  2.5590313
## 4  34548        75.3  71.45680  3.8432013
## 5  51941        86.6  86.36790  0.2320981
## 6  72079        92.9  96.66273 -3.7627306

Residual adalah perbedaan antara nilai model ini dan nilai sebenarnya dari TwoVehicleskumpulan data.

Kolom residsmemberikan sisa untuk setiap baris. Tapi Anda juga bisa memikirkan residskolom sebagai vektor . Ingatlah bahwa panjang kuadrat vektor adalah jumlah residu kuadrat

sum(Results$resids^2)
## [1] 40.32358

Panjang persegi residsvektor ini merupakan cara penting untuk mengukur seberapa cocok model dengan data.

6.5 Mengoptimalkan tebakan

Perlu diingat bahwa jumlah residu kuadrat adalah fungsi dari k. Nilai di atas hanya untuk tebakan khusus kita $k = $ kguess. Daripada hanya menggunakan satu tebakan untuk k, Anda dapat melihat berbagai kemungkinan. Untuk melihat semuanya pada saat yang sama, mari kita gambarkan jumlah residu kuadrat sebagai fungsi dari k. Kita akan melakukan ini dengan membuat fungsi yang menghitung jumlah sisa kuadrat untuk nilai tertentu dari k.

sum_square_resids <- Vectorize(function(k) {
  sum((Families$TwoVehicles - f(Income=Families$Income, k)) ^ 2)
})
slice_plot(
   sum_square_resids(k) ~ k, 
   domain(k = range(log(0.5)/40000,log(0.5)/20000)))

sumber : https://dtkaplan.github.io/RforCalculus/fitting-functions-to-data.html#exponential-functions