Operasi Diferensiasi Numerik Metode Beda Hingga Dengan R

NIM : 220605110107

Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Diferensiasi adalah proses mencari slope atau kemiringan suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui persamaan dapat kita lihat pada persamaan dibawah ini.

1. Untuk dapat melakukan sebuah program menghitung turunan pertama sebuah fungsi pada RStudio aktifkan operasi turunan terlebih dahulu melalui sintaks berikut :

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Berikut merupakan pengoperasian Diferensiasi Numerik dengan metode beda tengah melalui persoalan.

Hitunglah turunan pertama f(x)= 3x8 - 5x6 + x4 - x + 11

Penyelesaian Secara Manual :

f(x) = 3x8 - 5x6 + x4 - x + 11

f’(x) = ( 8 * 3x8-1 ) - ( 6 * 5x6-1 ) + ( 4 x4-1 ) - ( 1 * x1-1 )

f’(x) = 24x7 - 30x5 + 4x3 - 1

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama f(x)= 3x8 - 5x6 + x4 - x + 11 dengan x = 1, dan h = 0.05

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 57.67124

Hitunglan turunan pertama dari y = 3x4 + 2x2 + x

Penyelesaian Secara Manual :

y = 3x4 + 2x2 + x

y’ = (4 * 3x4-3 ) + ( 2 * 2x2-1 ) + ( 1 * x1-1 )

y’ = 12x3 + 4x + 1

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglan turunan pertama dari y = 3x4 + 2x2 + x dengan x = 5 dan h = 0.05

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=5, h=0.05,
  method="central")

## [1] 1521.15

Hitunglan turunan pertama dari y = x3 + 3x2

Penyelesaian Secara Manual :

y = x3 + 3x2

y’ =( 3 * x3-1 ) + ( 2 *3x2-1 )

y’ = 3x2 + 6x

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglan turunan pertama dari y = x3 + 3x2 dengan x = 5 dan h = 0.05

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=5, h=0.05,
  method="central")

## [1] 34

Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat Dasar - dasar pengoperasian difrensiasi fungsi konstanta dan pangkat :

Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.

Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.

Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nxn–1.

Berikut merupakan pengoperasian Diferensiasi Fungsi Konstanta dan Pangkat melalui persoalan.

Hitunglah turunan pertama y = 3x4 + 2x2 + ax

Penyelesaian Secara Manual :

y = 3x4 + 2x2 + ax

y’ = ( 4 * 3x4-1 ) + ( 2 * 2x2-1 ) + ( 1 * ax1-1 )

y’ = 12x3 + 4x + a

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = 3x4 + 2x2 + ax dengan a = 5, x = 4, dan h = 0.05

findiff(function(x)
3*(x^4) + 5*(x^2) + 5*x, x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 813.12

Hitunglah turunan pertama y = abx3 + 3x2

Penyelesaian Secara Manual :

y = abx3 + 3x2

y’ = ( 3 * abx3-1 )+ ( 2 * 3x2-1 )

y’ = 3abx2 + 6x

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = abx3 + 3x2 dengan a = 5, b = 5, x = 4, dan h = 0.05

findiff(function(x)
5*5*(x^3) + 3*(x^2), x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 1224.062

Sifat-sifat Diferensiasi Turunan dapat diketahui melalui sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat dari diferensiasi, Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

Jika y = k * u, maka y’ = k * (u’)

Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′

Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′

Jika y = u * v, maka y’ = u’v + u v′

Jika y = u / v, maka y’ = u’v – u v’ / v2

Contoh Pengeoperasian Diferensiasi dalam sifatnya :

Jika y = u*v dengan u = 3x⁴ dan v = 2x² , Tentukan turunan pertama y !

y’ = u’v + u v′

u = 3x⁴ maka u’ = 12x³

v = 2x² maka v’ = 4x

y’ = ( 12x³ * 2x² ) + ( 3x⁴ * 4x)

y’ = 24x⁵ + 12x⁵

y’ = 36x⁵ Berikut merupakan pengoperasian Diferensiasi Fungsi dalam sifatnya melalui persoalan.

Hitunglah turunan pertama f(x) = 2x - 1 / x2 -1

Penyelesaian Secara Manual :

f(x) = 2x - 1 / x2 -1

f’(x) = 2 * ( x2 -1 ) - ( 2x - 1 ) * 2x / ( x2 -1 )2

f’(x) = -2x2 + 2x -2 / ( x2 -1 )2

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama f(x) = 2x - 1 / x2 -1 dengan x = 2, dan h = 0.05

findiff(function(x)
((2*2)-1)/((2^2)-1), x=2, h=0.05,
  method="central")

## [1] 0

Hitunglah turunan pertama y = ( 3x4 + 2x2 + x ) ( x2 + 7 )

Penyelesaian Secara Manual :

y = ( 3x4 + 2x2 + x ) ( x2 + 7 )

u = 3x4 + 2x2 + x maka u’ = 12x3+ 4x + 1

v = x2 + 7 maka v’ = 2x

y’ = ( 12x3+ 4x + 1 ) * ( x2 + 7 ) + ( 3x4 + 2x2 + x ) * ( 2x )

y’ = 12x5 + 88x3 + x2 + 28x + 7 + 6x5 + 4x3 + 2x2

y’ = 18x5 + 92x3 + 3x2 + 28x + 7

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = ( 3x4 + 2x2 + x ) ( x2 + 7 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

findiff(function(x)
(3*x^4+2*x^2+x)*(x^2+7) , x=1, h=0.05,
method="central")

## [1] 148.3826

Hitunglah turunan pertama y = ( x3 + 3x2 ) ( 4x2 + 2 )

Penyelesaian Secara Manual :

y = ( x3 + 3x2 ) ( 4x2 + 2 )

u = x3 + 3x2 maka u’ = 3x2 + 6x

v = 4x2 + 2 maka v’ = 8x

y’ = ( 3x2 + 6x ) * ( 4x2 + 2 ) + ( x3 + 3x2 ) * ( 8x )

y’ = 12x4 + 6x2 + 24x3 + 12x + 8x4 + 24x3

y’ = 20x4 + 48x3 +6x2

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = ( x3 + 3x2 ) ( 4x2 + 2 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

findiff(function(x)
(x^3+3*x^2)*(4*x^2+2) , x=1, h=0.05,
method="central")

## [1] 86.22503

Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 3x2 + 1 )

Penyelesaian Secara Manual :

y = 1 / ( 3x2 + 1 )

y’ = - ( 6x2 ) / ( 3x2 + 1 )

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 3x2 + 1 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

findiff(function(x)
1/(3*x^2+1) , x=1, h=0.05,
method="central")

## [1] -0.3757031

Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 4x2 - 3x + 9 )

Penyelesaian Secara Manual :

y = 1 / ( 4x2 - 3x + 9 )

y’ = ( 3 - 8x ) / ( 4x2 - 3x + 9 )2

Penyelesaian Menggunakan RStudio :

Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 4x2 - 3x + 9 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

findiff(function(x)
1/(4*x^2-3*x+9) , x=1, h=0.05,
method="central")

## [1] -0.04993129