Allgemeiner Hinweis zu den Übungen

Für die meisten Aufgaben werden Sie die Statistiksoftware R brauchen. Die benötigten R-Befehle und kurze Programmiercodesequenzen (Skripte) stellen zur Verfügung (siehe Kursunteralgen). Dabei sind drei Aspekte hervorzuheben:

  1. In diesen Übungen geht es darum, die R-Skripte situativ an die jeweilige Fragestellung anzupassen. Es wird nicht erwartet, dass diese Übungen ohne Kursunterlagen gelöst werden können.
  2. Um die Aufgaben zu lösen, öffnet man am besten ein neues Skript in R und schreibt/kopiert die Codes dort hinein. Das Skript kann man mit Kommentaren (#) versehen und dann abspeichern.
  3. Wir zeigen jeweils einen möglichen Lösungsweg auf. In R gibt es jedoch meistens mehrere Wege, welche zum Ziel führen. Falls dein Vorgehen nicht exakt jenem der Lösung entspricht, ist das nicht weiter ein Problem, solange du auf das gleiche Resultat kommst.


Populationsmittelwert und Populationsstandardabweichung des IQ’s

Ob wir den “wahren” Mittelwert und die “wahre” Standardabweichung des IQ’s in der Population wirklich kennen, ist diskutabel. Für diese Übung sind wir einfach mal ganz naiv und glauben dieser Website. Demnach ist der IQ normalverteilt:

\[ IQ \sim \mathcal{N(\mu = 100, \sigma = 15)}. \]

z-Transformation

\(z_i = \frac{(x_i-\mu)}{\sigma}\)

Anhand des z-Wertes kann die Fläche unter der Normalverteilungskurve berechnet werden. Die Funktion pnorm() gibt dir immer die Fläche links, bzw. unter dem angegebenen z-Wert an. Möchtest du berechnen, wie gross die Fläche ist welche rechts, bzw. über dem z-Wert liegt, muss du die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen. Also 1 - pnorm().

Aufgaben

  1. Wie gross ist die prozentuale Fläche für einen IQ-Wert \(\ge 108\)?
  2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person aus der Population einen IQ-Wert von 108 oder mehr hat (\(Pr(IQ \ge 108)\))?

Lösungen

Die prozentuale Fläche oberhalb des IQ-Wertes von 108 entspricht gerade der Wahrscheinlichkeit für einen Wert von 108 oder mehr:

x <-  108
mu <- 100
sigma <- 15
z <- (x-mu)/sigma
1-pnorm(z)
## [1] 0.2969014

Hier das Ganze noch visuell (nicht als Übung gedacht, du kannst also den Code ignorieren…). Die grüne Fläche beträgt 29.69% der Gesamtfläche.

Merke: Fläche unter der Kurve = Wahrscheinlichkeit

Weitere Übungen

Aufgaben

  1. Berechne \(Pr(IQ \le 76.7)\)
  2. Berechne \(Pr(80 < IQ < 110)\)
  3. Wie gross muss der IQ sein, damit man bei den obersten 30% ist?
  4. Kontrolliere mit der z-Transformation, ob die Lösung zu Aufgabe 4 stimmt.
  5. Berechne das 5%-Quantil von \(Z\).
  6. Welches sind die z-Werte für die Quantile 0.025 und 0.975? (Also wenn 5% gleichmässig auf beide Seiten verteilt werden)
  7. Zwischen welchen Werten muss ein IQ liegen, damit er bei den mittleren 95% liegt?

Lösungen

  1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person einen IQ von 76.7 oder weniger hat?
x <- 76.7
z <- (x-mu)/sigma
pnorm(z)
## [1] 0.06017176

  1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person einen IQ zwischen 80 und 110 hat?
x1 <- 80
z1 <- (x1-mu)/sigma
p1 <- pnorm(z1) # Fläche unterhalb von 80
x2 <- 110
z2 <- (x2-mu)/sigma
p2 <- 1-pnorm(z2)  # Fläche oberhalb von 110
p_tot <- 1-(p1+p2) # Die Randwahrscheinlichkeiten ziehen wir von den 100% ab
p_tot
## [1] 0.6562962

  1. Wie gross muss mein IQ sein, damit ich bei den obersten 30% bin? Hier musst du etwas umdenken…
p <- 0.3
z <- qnorm(1-p) # qnorm um das Quantil der Standardnormalverteilung, also den z-Wert herauszufinden
x <- z*sigma+mu # einfache nach x auflösen
x
## [1] 107.866

  1. Kontrolliere mit der z-Transformation, ob die Lösung zu Übung 4 stimmt.
z <- (x-mu)/sigma
1-pnorm(z)
## [1] 0.3
  1. Welcher z-Wert steht für eine Randfläche, bzw. Wahrscheinlichkeit von 5%?
qnorm(0.05)
## [1] -1.644854

Anmerkung: Weil der z-Wert negativ ist, bezieht er sich auf die untere Randfläche. Für die obere Randfläche von 5% wäre der z-Wert genau gleich, einfach mit positiven Vorzeichen (weil die Kurve symmetrisch ist).

  1. Welches sind die z-Werte für die Quantile 0.025 und 0.975? (Also wenn 5% gleichmässig auf beide Seiten verteilt werden)
qnorm(0.025)
## [1] -1.959964
qnorm(0.975)
## [1] 1.959964

  1. Zwischen welchen Werten muss ein IQ liegen, damit er bei den mittleren 95% liegt?
z1 <- qnorm(0.025) #Die 5% werden auf beide Seiten aufgeteilt, also die tiefsten 2.5%...
z2 <- qnorm(0.975) #... und die höchsten 2.5%
x1 <- z1 * sigma + mu
x2 <- z2 * sigma + mu
x1
## [1] 70.60054
x2
## [1] 129.3995